Модуль 2 Элементы теории поля

2.1.В каждой точке поверхности Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , лежащей в первом октанте, уравнение которой Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , распределена масса с плотностью Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , где Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru . Вычислить массу пластинки.

Решение. Масса вычисляется по формуле Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru . Имеем:

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru ,

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

Следовательно, масса Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru кв. ед.

2.2.Вычислить Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru по нижней стороне поверхности Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , заданной уравнением Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru над областью Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , ограниченной прямыми Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

Решение.

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru В соответствии с теоремой существования и принимая во внимание, что поверхностный интеграл берётся по нижней стороне поверхности Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , получим Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

2.3. С помощью формулы Остроградского вычислить интеграл Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , где Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru – часть конической поверхности Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , а Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru – направляющие косинусы внешней нормали к поверхности.

Решение. Формула Остроградского применима в случае замкнутой поверхности.

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

Чтобы получить замкнутую поверхность, присоединим к поверхности конуса соответствующую часть плоскости Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru . Обозначив эту часть плоскости через Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , по формуле Остроградского получаем:

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

Таким образом,

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru - Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

Для решения задачи необходимо вычислить интегралы, стоящие в правой части. В случае области Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru – косинусы углов с осями координат нормали к плоскости Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , а именно: Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru . Поэтому

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru ,

Так как на плоскости Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru и двойной интеграл равен площади круга радиуса Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , получающегося при пересечении конуса плоскостью.

При вычислении интеграла по объему Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru производим сначала интегрирование по Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru от Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru до Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru . Затем двойной интеграл по области Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru в плоскости Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru . Эта область является кругом Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru . Она получается проецированием объема Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru на плоскость Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

Таким образом,

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

Обозначая последний интеграл через Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru и переходя к полярным координатам по формулам

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru ,

находим

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

Итак, Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

2.4.Вычислить поверхностный интеграл Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru по верхней стороне полусферы

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

Решение: Преобразуем уравнение поверхности к виду: Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

Заданная поверхность проецируется на плоскость XOY в круг, уравнение которого:

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

Для вычисления двойного интеграла перейдем к полярным координатам:

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

2.5 Найти объем шара Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

Решение: Найти объем шара можно по формуле:

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

2.6. С помощью формулы Стокса вычислить криволинейный интеграл

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , где Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru – окружность Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , пробегаемая против часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оси Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

Решение.

В нашем случае Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , поэтому Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

По формуле

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru
Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , где Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru – часть плоскости Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , ограниченная окружностью. Приводя уравнение окружности к нормальному виду, находим

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

Таким образом, Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , где Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru – радиус круга, ограниченного указанной окружностью.

2.7. Найти частные производные функции Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

Решение.

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

2.8.Найти частные производные второго порядка функции Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

Решение. Так как Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru и Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , то Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru и Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru . Смешанные производные Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru и Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

2.9. Найти производную скалярного поля Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru по направлению кривой Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru от точки Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru к точке Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru в точке Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru Решение. Найдём единичный вектор Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , касательный к параболе Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru в точке Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru . (рис.32). Найдём угловой коэффициент прямой, на которой лежит вектор Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru : Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru . Прямая имеет угловой коэффициент Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru и проходит через точку Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , следовательно, её уравнение Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .
 

Запишем это уравнение в каноническом виде: Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru . Вектор Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru - направляющий вектор этой прямой, причём его направление соответствует направление на кривой от точки Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru к точке Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru . Соответствующий ему единичный вектор Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , т.е. его направляющие косинусы Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

Найдём теперь Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , а тогда производная по направлению функции Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru в точке Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru по кривой Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru от точки Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru к точке Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru будет

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru ,

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

2.10.Найти дивергенцию векторного поля

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru в точке Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

Решение. Вычислим частные производные Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru в точке Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru ,

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru ,

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

Подставляя полученные значения в формулу

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , получаем:

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

2.11. Найти поток векторного поля Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru из тела, ограниченного координатными плоскостями Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru и плоскостью Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru наружу по теореме Остроградского и непосредственно .

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru Решение. 1-й метод решения. Вычислим поток векторного поля по теореме Остроградского. Найдём Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru . Имеем: Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru . Значит, Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru . Следовательно, Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .
 

Поток векторного поля Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

2-й метод решения. Вычислим поток векторного поля с помощью интеграла первого рода.

Имеем: Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , где Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru полная поверхность тела Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , состоящая из четырёх частей: Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru ; здесь Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru и Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru - направляющие косинусы внешней нормали к поверхности;

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru ;

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

Поток Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru можно представить в виде суммы четырёх потоков:

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru . Вычислим каждый из потоков:

1. Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , т.е.

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

Следовательно, Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , т.к. Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru есть поверхность Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

2. Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , т.е.

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

Таким образом: Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru . Здесь Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru : Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , следовательно, Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

3. Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , т.е.

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru ,

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , т.к. на поверхности Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

4. Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

Поверхность Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru имеет уравнение Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , следовательно,

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru ,

тогда Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru . Поверхностный интеграл здесь вычисляется по верхней стороне поверхности Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , значит направляющие косинусы нормали Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru будут равны:

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

Тогда получим

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

Окончательно: Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

3-й метод решения. Вычислим тот же самый поток с помощью поверхностного интеграла второго рода Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

В нашем случае Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , как и в предыдущем случае, поток Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru представим в виде суммы четырёх потоков соответственно, через поверхности Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru :

1. На Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , а значит Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

2. На Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru . Сторона поверхности, по которой вычисляется интеграл, нижняя. Нормаль к поверхности образует тупой угол с осью Ох. Значит

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

3. На Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , сторона поверхности нижняя и Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

4. Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

На Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

Следовательно,

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

9.25 Найти ротор поля Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

Решение.

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

= Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

2.12. Вычислить циркуляцию векторного поля Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru по линии пересечения конуса Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru с координатными плоскостями, лежащей в первом октанте, непосредственно и по теореме Стокса
 

Решение.

1) Непосредственное вычисление циркуляции. Контур Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru можно разбить на три части: Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru и Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , лежащие в координатных плоскостях Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru и Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru соответственно, таким образом циркуляция Ц=Ц123 , где

Ц1= Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru . На кривой Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru : Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru . Следовательно, Ц1= Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru . Далее

Ц2= Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru . На кривой Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru : Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , т.е.

Ц2= Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru . И, наконец,

Ц3= Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru . На кривой Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru : Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , следовательно, Ц3= Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

Окончательно Ц=Ц123 = Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

2) Вычисление циркуляции по теореме Стокса:

Ц= Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

Подставим сюда Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , получим

Ц1= Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru . Перейдём в правой части к поверхностному интегралу первого рода Ц= Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , где интеграл вычисляется по верхней стороне поверхности Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

Уравнение поверхности Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru : Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , следовательно,

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru ;

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru ; Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru ; Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

Подставляя найденные значения в выражение для циркуляции, получим

Ц= Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

Перейдём к полярным координатам:

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru ,

тогда

Ц= Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru Вычислим внутренний интеграл: Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

Тогда Ц= Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru .

2.13Найти Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru , если Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

Решение: Найдем скалярное произведение: Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

Найдем скалярное произведение:

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

2.14Найти поток векторного поля Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru через сторону треугольника S, вырезанного из плоскости Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru координатными плоскостями.

Решение:

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

2.15Найти div(grad u), если Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

Решение: Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

2.16Определить является ли векторное поле Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

потенциальным и найти его потенциал.

Решение: Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

Если поле потенциально, то должны выполняться следующие условия:

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

Эти условия эквивалентны условию равенства нулю ротора векторного поля, справедливость этого утверждения видна из формулы ротора.

Таким образом, поле потенциальное. Потенциал находится по формуле:

Модуль 2 Элементы теории поля - student2.ru

Наши рекомендации