Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Структура общего решения линейного однородного дифееренциального уравнения. ФСР. Определитель Вронского и его свойства
ЛДУ n-ого порядка- ур-е, линейное относительно неизвестной ф-ии и ее производных и имеет вид
a0(x)y(n)+a1(x)y(n-1)+…+an-1(x)y’+an(x)y=φ(x)|: a0(x)
φ(x)=0- ЛОУ
φ(x)≠0- ЛНОУ
y(n)+p1(x)y(n-1)+…+pn-1(x)y’+pn(x)y=g(x)- (1)ур-е в приведенном виде
Для ЛОУ:
*если y1- решение ЛОУ, то С y1, где С- произвольная постоянная также является решением этого ур-я.
*Сумма y1+ y2 решений ЛОУ является решением того же ур-я.
10Линейная комбинация с произвольными постоянными 
реш-й y1, y2,…, ym ЛОУ является реш-ем того же ур-я.
*если ЛОУ (1) с действительными коэффициентами pi(x)∈R имеет комплексное решение y(x)=u(x)+iv(x),то действительная часть этого решения Rey=u(x) и его мнимая часть Imy=v(x) в отдельности являются решениями одного и того же ур-я.
Ф-ии y1(x), y2(x),…, yn(x) называются линейно зависимыми на некотором интервале (a,b), если существуют постоянные величины a1,a2,…,an≠0 такие, что для всех x интервала (a,b) справедливо тождество a1 y1(x)+a2 y2(x)+…+an-1(x)y’+an yn(x)=0. Если ф-ии линейно завис.,то хотя бы одна из них является линейной комбинацией остальных.
Если же тождество справедливо лишь при a1=a2=…=an=0, то ф-ии y1(x), y2(x),…, yn(x) называются линейно независимыми на интервале (a,b).
*если ф-ии y1(x), y2(x),…, yn(x) линейно зависимы на интервале (a,b), то определитель(о. Вронского)
W(x)=W[y1, y2,…, yn]= 
=0 на этом интервале.
Условие линейной независимости частных решений:
* если линейно независимые ф-ии y1(x), y2(x),…, yn(x) являются решениями ЛОУ (1) с непрерывными на интервале (a,b) коэффициентами pi(x), то составленный для них определитель Вронского ни в одной точке интервала (a,b) не= 0.
Общим решением ЛОУ (1) с непрерывными на (a,b) коэффициентами pi(x) (i=1,2,…,n) является линейная комбинация yоо= 
n линейно независимых на том же интервале частных решений yi с произвольными постоянными коэффициентами.
10максимальное число линейно независимых решений ЛОУ равно его порядку.
ФСР- любые n независимых частных реш-й ЛОУ n-ого порядка.
*yoн=yoo+yчн
Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Метод вариации произвольных постоянных для отыскания частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка.
ЛНДУ решаются методом вариации произвольных постоянных. Сначала находится общее решение 
однородного уравнения 
, имеющего ту же левую часть, что и исходное неоднородное уравнение 
. Затем решение уравнения находится в виде 
, т.е. предполагается, что постоянные С явл ф-ми независимой переменной х. При этом ф-и С1(х) и С2(х) могут быть получены как решение системы
Уон=уоо+учн
максимальное число решений уравнения равно его порядку.
общее решение
44*. Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение. Построение фундаментальной системы решений в случае простых корней характеристического многочлена (действительных и комплексных).
Уравнение вида y'+p(x)y=f(x), где p(x), f(x)- непрерывные ф-ии на интервале a<x<b называется ЛДУ 1ого порядка.
Если f(x)= 0, то уравнение называется однородным.
Если в ЛО ур-ии y(n)+p1(x)y(n-1)+…+pn-1(x)y’+pn(x)y=0
Все коэффициенты pi постоянны, то его частные решения могут быть найдены в виде y=ekx, где k- постоянная. Подставляя в ур-е
(kn+p1kn-1+….+pn-1 k+ pn) ekx=0
Сокращая на ekx получаем так наз. Характеристическое ур-е
kn+p1kn-1+….+pn-1 k+ pn =0
Это ур-е n-ой cтепени определяет те значения k, При которых y= ekx является решение исходного ДУ с постоянными коэф-ами.
1.k1, k2,…,kn –вещественные и различные
ФСР: ek1x, ek2x,…, eknx
2. k1= k2=…=km=k~,
k~- m -кратный корень ур-я, а все остальные n- m корней различные
ФСР: e k~ x,x e k~ x,…, xm-1 e k~ x, e km+1 x, e kn x
3. k1=α+iβ, k2= α-iβ, k3=γ+iδ, k4= γ-iδ, остальные корни вещественные
ФСР: eαxcosβx, eαxsinβx, eγxcosδx, eγxsinδx, ek5x,…, eknx
4. Если k1=α+iβ- m-кратный корень характерестического ур-я (m≤n/2), то k2= α-iβ также будет m-кратным корнем
ФСР: eαxcosβx, eαxsinβx, xeαxcosβx, xeαxsinβx,xm-1 eαxcosβx, xm-1 eαxsinβx,…, ek2m+1x,…, eknx
Построение фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами в случае кратных корней характеристическгог многочлена (действительных и комплексных).
1. k1= k2=…=km=k~,
k~- m -кратный корень ур-я, а все остальные n- m корней различные
ФСР: e k~ x,x e k~ x,…, xm-1 e k~ x, e km+1 x, e kn x
2. Если k1=α+iβ- m-кратный корень характерестического ур-я (m≤n/2), то k2= α-iβ также будет m-кратным корнем
ФСР: eαxcosβx, eαxsinβx, xeαxcosβx, xeαxsinβx,xm-1 eαxcosβx, xm-1 eαxsinβx,…, ek2m+1x,…, eknx