Ортогональный метод проецирования

Введение в курс.

Курс лекций Начертательная геометрияв которой рассматриваются следующие основные вопросы :

1) Построение изображений или чертежей предметов;

2) Решение геометрических задач в пространстве при помощи чертежей на плоскости.

Начертательная геометрия является лучшим средством развития у человека пространственного воображения, без которого не мыслимо инженерное творчество.

Основы этой науки заложены были при разработке первых чертежей. Дошедшие до нас чертежи и рисунки Древней Руси говорят о том, что при их создании применялись методы близкие к геометрическим методам. Древние памятники инженерной графики свидетельствуют, что графическое искусство на Руси было на высоком уровне.

Научное обоснование методов начертательной геометрии произошло в семнадцатом веке в связи с начавшемся бурным развитием в Европе промышленности. Основоположником считается видный французский ученый и политический деятель Гаспар Монж (1746 - 1818 гг.). Его учение о ортогональном методе проецированная сохранилось до нашего времени .

В России начертательную геометрию впервые стали изучать с 1810 года в Институте корпуса инженеров путей сообщения (С-Петербург), а с 1830 года стали преподавать во всех высших учебных заведениях России.

Первым русским ученым издавшим труд “Основания начертательной геометрии “ в 1821 году был профессор Р.А. Севастьянов.

Для изучения Начертательной геометрии в Московском автомобильно-дорожном институте студентами специальности ........................... можно рекомендовать следующие учебники и учебные пособия :

1) Кузнецов Н.С. Начертательная геометрия. М. “Высшая школа”,1969, 496 с.

2) Рыжов Н.Н. Главные позиционные задачи . Методические указания по курсу начертательной геометрии. М., МАДИ., 32 с.

3) Н.Н. Рыжов, О.А. Оганесов Задание поверхностей на комплексном чертеже (Методические указания к выполнению самостоятельной работы №1), МАДИ, Москва., 1990, 34 с.

4) Фролов С.А. Начертательная геометрия. М. “Машиностроение”, 1978, 240 с.

5) Луговой М.А., Ляшкевич П.А. , Оганесов О.А. , Фамин Л.Б. Тетрадь по начертательной геометрии для студентов специальностей ДМ, КМ, ТВ, ТУ, АП, ОД. М. 1995 г.

Обозначения и символика. Знакокодовая система обозначений.

Для обозначения геометрических фигур, их проекций , для краткой записи геометрических предложений , алгоритмов решения задач используется геометрический язык составленный из символов принятых в курсе математики.

Этот язык будет изучаться последовательно по мере изложения данного курса начертательной геометрии. Литература № 4 , с. 6 - 11. Знакокодовая система обозначений приведена в приложении 1 к данному конспекту лекций.

Метод проецирования .

Исходя из различных методов изображения начертательная геометрия содержит четыре основных раздела :

- ортогональные проекции;

- проекции с числовыми отметками;

- аксонометрические проекции;

- перспективные проекции.

Ортогональный метод проецирования.

Метод проецирования заключается в том, что любая точка пространства может быть спроецирована с помощью проецирующих лучей на любую поверхность. Ортогональное проецирование это такой метод когда проецирующие лучи параллельны между собой и перпендикулярны к плоскости проекций.

Рассмотрим это на примере проекции точки на плоскость, но предварительно зададимся плоскостями проекций : горизонтальнойП1, фронтальной П 2 и

профильной П3.

Z 6 октант

2 октант П 2 (фронтальная) 5 октант

П 3

(профильная)

3 октант

1 октант

П 1 (горизонтальная)

4 октант

8 октант

Линия пересечения горизонтальной П1 и фронтальной П2 плоскостей обозначается Xи называется осью абсцисс, соответственно линия пересечения горизонтальной П1 и профильной П3 плоскостей проекций - Yось ординат , плоскостей фронтальной П2 и профильной П3 Z - ось аппликат.

Плоскости проекций делят пространство на восемь частей - октантов.

Положительными направлениями осей координат считаются : для оси ОХ влево от начала координат, для оси ОY в сторону наблюдателя, для оси ОZ вверх. Противоположные направления координатных осей считаются отрицательными.

Пусть некоторая точка А,не принадлежащая плоскостям проекций

( АËП1 ^ А Ë П2), будет являться объектом проецирования . Построим проекцию точки А на плоскость П1 при помощи проецирующей прямой проходящей через точку А и перпендикулярной плоскости П1. Проецирующая прямая пересечет плоскость П1 в точке А1. Точка А1 - это проекция точки Ана плоскость П1.

Аналогично построим проекцию точки Ана плоскость П2 и П3. Это точки А2 и А3.

Точку А1 будем называть горизонтальной проекцией точки А, точку А2 - фронтальной проекцией точки А, а А3 - профильной проекцией точки А.

П1 А 2 ·

А · . · А3

П3

·

П2 А1

Прямые АА1, АА2, АА3 называют проецирующими прямыми :

АА1 - горизонтально проецирующей прямой (она проецирует точку А на горизонтальную плоскость), АА2 - фронтально проецирующей прямой, а АА3 - профильно проецирующей прямой.

Построенная нами система взаимно перпендикулярных плоскостей проекций с проекциями точки на них является обратимой, позволяющей определить положение точки А в пространстве, но не является чертежом.

Для получения плоского комплексного чертежа преобразуем пространственное изображение совместив плоскости проекций.

Повернем горизонтальную плоскость проекций П1 вокруг оси ОХ на 90 градусов таким образом, чтобы передняя часть плоскости совместившись с плоскостью П2 заняла положение ниже оси ОХ, а задняя часть плоскости П2 высше оси ОХ.

При этом горизонтальная проекция точки А1 вместе с плоскостью опустится вниз и расположится на одном перпендикуляре к оси ОХ с фронтальной проекцией А2.

Профильная проекция А3 будет вращаться вместе с профильной плоскостью П3 вокруг оси ОZ и займет положение на перпендикуляре к оси ОZ. Построим все это на рисунке который будем назвать эпюром (от фр. глагола исправлять, улучшать рисунок) или комплексным чертежом.

Z

* А2Аz * А3

X Аx0 АyY

* А1Аy Ao

Y ko

Биссектрису ОАо называют постоянной прямой ko эпюра Монжа.

Эта биссектриса позволяет установить связь между горизонтальной и профильными проекциями точки. Эта связь может быть установлена с помощью дуги окружности с центром в точке пересечения координатных осей.

Таким образом все проекции точки на комплексном чертеже находятся в проекционной связи.

Прямые соединяющие проекции точки меду собой называются линиями проекционной связи (А1,А2 или А2,А3).

Мы рассмотрели как зафиксировать положение точки в пространстве и отобразить это на комплексном чертеже. Точка относится к нульмерным геометрическим образам, не имеет измерений и не является материальной. На следующей лекции мы рассмотрим одномерные геометрические образы к которым относятся линии.

Линия имеет измерение вдоль, но не имеет толщины. При измерении длинны линии нам иногда потребуется вводить дополнительную плоскость проекций (в дополнение к уже рассмотренным : горизонтальной П1, фронтальной П2, профильной П3).