Дифракция Фраунгофера на дифракционной решетке
Большое практическое значение имеет дифракция, наблюдаемая при прохождении света через одномерную дифракционную решетку – систему параллельных щелей равной ширины, лежащих в одной плоскости и разделенных равными по ширине непрозрачными промежутками.
Для наглядности рассмотрим дифракционную решетку, состоящую из двух щелей: BC и DЕ (рис. 26.6). Если ширина каждой щели равна а, а ширина непрозрачных участков между щелями b, то величина d = a + b называется постоянной (периодом) дифракционной решетки. Пусть плоская монохроматическая волна падает нормально к плоскости решетки. Так как щели находятся друг от друга на одинаковых расстояниях, то разности хода лучей, идущих от двух соседних щелей, будут для данного направления j одинаковы в пределах всей дифракционной решетки:
(26.6)
Очевидно, что в тех направлениях, в которых ни одна из щелей не распространяет свет, он не будет распространяться и при двух щелях, т.е. прежние (главные) минимумы интенсивности будут наблюдаться в направлениях, определяемых условием (26.7)
(26.7)
Кроме того, вследствие взаимной интерференции световых лучей, посылаемых двумя щелями, в некоторых направлениях они будут гасить друг друга, т.е. возникнут дополнительные минимумы. Очевидно, что эти дополнительные минимумы будут наблюдаться в тех направлениях, которым соответствуют разность хода лучей , посылаемых, например, от крайних левых точек B и D обеих щелей. Таким образом, с учетом (26.7) условие дополнительных минимумов:
. (26.8)
Наоборот, действие одной щели будет усиливать действие другой, если
(26.9)
т.е. направлениям (26.9) соответствуют так называемые главные максимумы.
Таким образом, полная дифракционная картина для двух щелей определяется из условий:
- главные минимумы а sin j = l, 2 l, 3 l, . . . ,
- дополнительные минимумы d sin j =
- главные максимумы d sin j = 0, l, 2 l, 3 l, . . . ,
т.е. между двумя главными максимумами располагается один дополнительный минимум.
Аналогично можно показать, что между каждыми двумя главными максимумами при трех щелях располагаются два дополнительных минимума, при четырех щелях – три и т. д.
Если дифракционная решетка состоит из N щелей, то условием главных минимумов является условие (26.7), условием главных максимумов – условие (26.9), а условием дополнительных минимумов:
(26.10)
где может принимать все целочисленные значения, кроме 0, N, 2N, . . . , т.е. кроме тех, при которых условие (26.10) переходит в условие (26.9). Следовательно, в случае N щелей между двумя главными максимумами располагается (N – 1) дополнительных минимумов, разделенных вторичными максимумами, создающими весьма слабый фон.
Примеры решения задач
Задача 1.Интенсивность, создаваемая на экране некоторой монохроматической световой волной, в отсутствие преград равна . Какова будет интенсивность J в центре дифракционной картины, если на пути волны поставить преграду с круглым отверстием, открывающим: 1) одну зону Френеля; 2) две зоны Френеля; 3) сто зон Френеля?
Дано:
J1 - ? J2 - ? J3 - ?
Рис. 26.7
Решение
Интенсивность света, попадающего в данную точку экрана М, пропорциональна квадрату суммарной амплитуды всех световых волн, попадающих в данную точку, т.е. ~ . Для вычисления амплитуды А применяется метод зон Френеля (стр. 231 - 232). Разность хода лучей, приходящих в точку М от двух соседних зон, по условию построения зон равна , т.е. волны от соседних зон попарно друг друга гасят, так как в одну точку эти волны приходят в противоположных фазах. Тогда
,
где - амплитуда колебаний т-й зоны. При этом
Сумма членов такого ряда равна
Если фронт волны открыт полностью (нет преграды), то ® 0, следовательно
а интенсивность
~
1. Если открыта одна зона Френеля, то амплитуда в точке М равна . Тогда интенсивность J ~ , отношение
Интенсивность света, прошедшего через круглое отверстие, в четыре раза больше, чем интенсивность от открытого фронта. Произошло усиление интенсивности.
2. Открыты две зоны Френеля. Найдем амплитуду колебаний, прошедших через такое отверстие:
Так как мало отличается от (зоны расположены рядом), то в точке М получится ослабление интенсивности, т.е. В точке М будет темное пятно.
3. Отверстие оставляет открытыми сто зон. Тогда
но ,
следовательно, амплитуда уменьшится незначительно, , т.е. она будет почти такой же, как .
В случае двух зон темнота в точке М будет гуще, чем в случае ста зон.
Ответ: наибольшая интенсивность в точке М будет , когда открыта одна зона Френеля; Интенсивность , так как две соседние зоны друг друга гасят, , интенсивность будет уменьшена, но темнота неполная.
Задача 2. Тонкая металлическая пластинка имеет отверстие диаметром d = 4 мм и освещается светом с длиной волны l = 5 . 10 –7 м. Экран расположен на расстоянии м от пластины. Темное или светлое пятно наблюдается в центре экрана?
Дано:
d = 4 мм = 4 . 10-3 м
l = 5 . 10 –7 м
= 1 м
т - ?
Рис. 26.8
Решение
Построим зоны Френеля. Пусть - радиус нулевой зоны Френеля, а - радиус последней зоны Френеля, укладывающейся в отверстии:
, (1)
где т – число зон Френеля.
Из прямоугольного треугольника АВМ можно определить
. (2)
Решая уравнения (1) и (2) совместно, найдем
Величиной можно пренебречь как величиной второго порядка малости; - квадрат радиуса отверстия.
Тогда
Число зон
(3)
Вычисления:
зон.
Ответ: число зон, укладывающихся в отверстии, четное, следовательно, в центре экрана наблюдается минимум освещенности (темное пятно).
Анализ решения: из выражения (3) видно, что число зон, укладывающихся в отверстии, зависит от расстояния данного отверстия до экрана. При увеличении расстояния число зон уменьшается. Увеличивая расстояние , можно получить т = 7 зон в отверстии; получится светлое пятно в центре. Если дальше увеличивать расстояние можно получить 6 зон (min) , 5 зон (max), т.е. при увеличении расстояния в центре экрана чередуются светлое и темное пятна. Последнее четное число зон равно двум, следовательно, если еще увеличивать расстояние, то зоны погасить друг друга полностью не смогут. При т = 2 в центре будет последний раз темное пятно. При дальнейшем увеличении т = 1 (свет), т = - тоже свет и т. д.
Задача 3. На узкую щель нормально падает монохроматический свет. Угол отклонения лучей, соответствующий второй светлой дифракционной полосе j = 10. скольким длинам волн падающего света равна ширина щели?
Дано:
j = 10
т = 2 (max)
Рис. 26.9
Построим зоны Френеля. Пусть а – ширина щели, b – ширина зоны. Для этого выберем из всех лучей, прошедших через щель и отклоненных вследствие дифракции (огибания) от прямолинейного распространения, лучи, идущие параллельно друг другу под углом j к первоначальному направлению. Лучи от соседних зон должны иметь разность хода (рис. 26.9). Тогда соседние зоны попарно друг друга гасят. Если число зон нечетное, то одна зона остается непогашенной и в точке экрана эта зона даст свет, т.е. получится максимум освещенности. Обозначим число зон, укладывающихся в щели , где а – ширина щели, b – ширина зоны. Из малого треугольника (прямоугольного), один катет равен , гипотенуза равна b, получим
.
Тогда
. (1)
Если число зон нечетное, т.е. Z = (2 т + 1), т = 0, 1, 2, 3 . . ., то лучи, идущие под углом j, дадут максимум освещенности, что и требуется по условию задачи.
Условие max от одной щели:
. (2)
Решение
; т = 2 (вторая светлая полоса);
;
Ответ: а = 143 l, т.е. ширина щели равна 143 длинам волн.
Задача 4. На щель шириной 2 . 10 –3 см падает нормально параллельный пучок лучей с длиной волны l = 5 . 10 –5 см. Найти ширину изображения щели на экране, удаленном от нее на расстояние L = 1 м. Шириной изображения считать расстояние между двумя первыми дифракционными минимумами, расположенными по обе стороны от центрального максимума.
Дано:
а = 2 . 10 –3 см = 2 . 10 –5 м
l = 5 . 10 –7 м
L = 1 м
х - ?
Решение
Согласно принципу Гюйгенса, лучи после прохождения щели отклоняются в разные стороны под разными углами. Лучи эти когерентны, так как принадлежат одному фронту волны, следовательно, они интерферируют и дают перераспределение энергии падающей волны в пространстве. Метод зон позволяет рассчитать дифракционную картину.
- условие максимума.
Если т = 0, то в данной точке получится нулевой максимум (т – порядок максимума). Число зон при этом равно 1. Этот максимум будет в центре картины.
, т = ±1, ±2, ±3 . . . условие минимума освещенности.
Если т = 1, то в щели укладывается две зоны и получается первый минимум.
Картина будет состоять из чередующихся светлых и темных полос со светлой полосой в центре. Ширина изображения (рис. 26.10) обозначена х. Из треугольника АВС найдем :
L – расстояние от щели до экрана, j - угол отклонения лучей, дающих первый минимум.
Условие min: (число зон четное).
Тогда
Так как угол j мал (L = 1 м, а = 2 . 10 –5 м), то sin j » tg j:
Вычислим
м.
Ответ: ширина изображения щели на экране х = 5 . 10 –2 м.
Задача 5. На щель шириной 2 мкм нормально падает параллельный пучок света с длиной волны 5,89.10 –7 м. Найти углы, в направлении которых наблюдаются минимумы света.
Дано:
а = 2 мкм = 2 . 10 –6 м
l = 5,89 . 10 –7 м
- ? - ? . . . ?
Каждому значению т, начиная с т = 1, соответствуют минимум освещенности и определенное значение угла j, под которым идут лучи, дающие этот минимум.
Наибольшее возможное значение угла равно так как больше, чем на 900, лучи от первоначального направления отклониться не могут. Следовательно, , - наибольший порядок минимума (номер минимума по порядку, считая от центра картины). Он является целым числом, следовательно, = 3. Четвертый минимум наблюдаться не будет. Найдем углы отклонения лучей , и :
Ответ: φ1 = 17,12о; φ2 = 36о; φ3 = 62о.
Задача 6. На щель шириной а = 0,1 мм падает монохроматический свет (l = 0,5 мкм). Что видит наблюдатель, если он смотрит в направлении, образующем с нормалью угол = ; ?
Дано: Решение
l = 0,5 мкм = 5 . 10 –7 м
=
а = 0,1 мм = 10 –4 м
- ? - ?
где а – ширина щели, b – ширина зоны Френеля (см. рис. 26.9). Из рисунка видно, что ( - разность хода лучей от соседних зон).
Тогда
(четное число зон укладывается при угле , следовательно полоса будет темная – min).
(полоса будет светлой, так как одна зона останется непогашенной).
Ответ: = 2 (наблюдатель увидит темную полосу); = 5 (наблюдатель увидит светлую полосу).
Дифракционная решетка
Задача 7. Сколько штрихов на один миллиметр содержит дифракционная решетка, если зеленая линия ртути (l = 5, 46 . 10 –7 м) в спектре первого порядка наблюдается под углом ?
Дано:
l = 5, 46 . 10 –7 м
т = 1
j =
- ?
Рис. 26.11
Периодом дифракционной решетки называется величина, равная сумме ширины щели и ширины непрозрачного промежутка между соседними щелями: d = a + b. Число штрихов (непрозрачных промежутков) равно .
Лучи, идущие от соответствующих точек соседних щелей (рис. 26.11), называются соответственными и находятся друг от друга на расстоянии d. Эти лучи являются когерентными и при наложении интерферируют. Соответственные лучи дадут максимум (усилят друг друга), если разность хода этих лучей D = т l, целому числу длин волн. Тогда лучи придут в одну точку в одинаковых фазах и усилят друг друга. Из треугольника АВС
.
Тогда условие главного максимума дифракционной решетки
,
где т = 0, ±1, ±2, . . ., ±т – порядок максимума (номер максимума, считая от центра картины).
Решение
Тогда
Ответ: п = 600 .
Задача 8. Дифракционная решетка содержит 200 штрихов на 1мм. Максимум какого наибольшего порядка дает эта решетка (l = 6 . 10 –7 м)?
Дано:
п = 200 = 2 . 105
l = 6 . 10 –7 м
тпред - ?
Решение
Условие максимума для дифракционной решетки
,
где т = 0, ±1, ±2, ±3 . . . ±¥ - порядок дифракционного максимума, j - угол отклонения соответственных лучей. Наибольший угол, на который могут отклониться лучи при прохождении через дифракционную решетку равен 900.
Тогда
;
;
Ответ: наибольший порядок максимума равен 8.
Задача 9. Определить длину волны линии в дифракционном спектре 2-го порядка, совпадающей с линией спектра третьего порядка (l2 = 400 нм).
Дано: Решение
= 400 нм
- ?
Поэтому белый свет после прохождения решетки даст спектр в каждом порядке (длины волн видимой части спектра от 400 нм до 800 нм). При этом возможно наложение спектров друг на друга в разных порядках (линии разных порядков видны под одним углом) ( , ).
м.
Ответ: = 6 . 10 –7 м (произошло наложение желтой линии спектра второго порядка на фиолетовую линию спектра третьего порядка).
Задача 10. Чему равна постоянная дифракционной решетки, если в направлении j = 410 совпадают две линии = 6,536 . 10 –7 м и = 4,1.10 –7 м.
Дано: Решение
j = 410
= 6,536 . 10 –7 м
= 4,1 . 10 –7 м
d - ?
Найдем отношение порядков линий:
т.е. , а
Зная порядки максимумов (линий), можно из условия максимума найти d:
~ 5 . 10 –6 м.
Ответ: постоянная (период) дифракционной решетки d = 5 . 10 –6 м.