ЗАДАЧИ К ИНДИВИДУАЛЬНОМУ ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ №2

1.Частица движется в плоскости x0y по закону x = At, y = At (1 - Bt), где A и B положительные константы. Найдите уравнение кривой, описывающей траекторию частицы, и изобразите ее график. Определите зависимости от времени абсолютных величин скорости и ускорения частицы.

2.Колесо радиусом R = 5 см вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением j = A + Bt + Ct² + Dt³, где D = 1 с^-3. Найдите для точек обода изменение модуля тангенциального ускорения Da_t за пятую секунду движения.

3.Колесо вращается с постоянным угловым ускорением e = 2 с^-2. Через t = 0.5 с после начала движения полное ускорение точек на ободе колеса стало равным a = 13.6 см/с². Найти радиус колеса.

4.Через t = 10 с после начала вращения с постоянным угловым ускорением полное ускорение точек на ободе диска радиусом R = 10 см равно a = 15 см/с². Определите угловое ускорение диска, а также нормальное и тангенциальное ускорения точек обода через t = 5 с после начала вращения.

5.Закон движения двух материальных точек выражается уравнениями x₁= A₁+ B₁t + C₁t²; B₁ = 2 м/с, C₁ = - 4 м/с², x₂ = A₂+ B₂t + C₂t²; B₂ = 2 м/с, C₂ = 0.5 м/с². Определите момент времени t_e , когда скорости точек будут одинаковы. Найдите значения скорости и ускорений точек в этот момент.

6.По дуге окружности радиусом R = 10 м движется частица. В некоторый момент времени нормальное ускорение частицы a_n = 4.9 м/с², а вектор полного ускорения образует с радиусом вращения угол 60⁰ . Найдите скорость v и тангенциальное ускорение a_t этой частицы в этот момент времени.

7.В момент времени t = 0 частица начала двигаться из начала координат в положительном направлении оси x. Ее скорость меняется по закону v= v₀ (1 - t/T), где v₀ - вектор начальной скорости, модуль которого v₀ = 0.1 м/с; T = 5.0 с. Найдите координату частицы в момент времени t₁= 6 с и постройте график зависимости пути от времени.

8.Частица движется по окружности радиуса R = 10 см так, что зависимость пути от времени дается уравнением S = A+Bt+Ct², где B = - 2 м/с, C = 1 м/с². Найдите линейную скорость частицы, ее нормальное и полное ускорение через t = 3 с после начала движения.

9.Зависимость координаты частицы от времени дается уравнением x = A + Bt + Ct² + Dt³, где A = 0.1 м, B = 0.1 м/с, C = 0.14 м/с², D = 0.01 м/с³. Найдите среднее ускорение и среднюю скорость за первые 12 с движения.

10.Частица движется в плоскости x0y по закону x = Asinwt, y = Bcoswt, где A, B и w положительные константы, A = B = 4 cм. Найдите уравнение кривой, описывающей траекторию частицы, изобразите ее вид и направление движения частицы.

11.Частица движется по дуге окружности радиуса R по закону L = A sinwt, где L смещение из начального положения, отсчитываемое вдоль дуги, A и w положительные константы. Найдите полное ускорение частицы в точке L = 0.

12.В течение интервала времени T = 4 с скорость тела меняется по закону v = At² + Bt , где A = 2 м/с³, B =4 м/с², (0 ≤ t ≤ T). Найдите среднюю скорость, и среднее ускорение за этот промежуток времени.

13.Движение частицы по кривой задано уравнениями x = A₁t³ и y = A₂t где A₁ = 1 м/с³, A₂ = 2 м/с. Определите скорость и полное ускорение частицы через 0.8 с после начала движения.

14.Частица движется по окружности радиусом R = 2 м согласно уравнению L = At³, где A = 2 м/с³, L путь, пройденный частицей. В какой момент времени тангенциальное ускорение частицы будет равно нормальному? Вычислите полное ускорение частицы в этот момент времени.

15.С вышки бросили камень в горизонтальном направлении. Через t = 2 с камень упал на землю на расстоянии L = 40 м от основания вышки. Определите начальную v₀ и конечную v_f скорости камня.

16.Частица движется в плоскости x0y по закону x = Asinwt, y = A(1 - coswt), где A и w положительные константы. Найдите уравнение кривой, описывающей траекторию частицы, изобразите ее вид и направление движения частицы.

17.Камень брошен со скоростью v₀ = 20 м/с под углом 60⁰ к горизонту. Определите радиус кривизны траектории в верхней ее точке.

18.Колесо вращается с постоянным угловым ускорением e = - 2 с^-2. Определите число N оборотов, которое сделает колесо при изменении частоты вращения от n₁ = 240 мин^-1 до n₂ = 90 мин^-1, а также интервал времени Dt, в течение которого это произойдет.

19.Частица движется по кривой с постоянным тангенциальным ускорением a_t= 0.5 м/с². Определите полное ускорение частицы на участке, где радиус кривизны составляет R = 3 м, если частица движется в этот момент со скоростью v = 2 м/с.

20.Частица движется по окружности радиуса R = 12 см со скоростью v = At, где A = 0.5 м/с². Найдите ее полное ускорение в момент времени, когда она пройдет расстояние L, равное 0.1 длины окружности после начала движения.

21.Компоненты скорости частицы меняются по закону v_x= Awcoswt; v_y= Aw sinwt; v_z= 0, где A = 12 см и w = 3 с^-1 . Изобразите на рисунке траекторию частицы и направление ее движения.

22.Колесо радиуса R = 1 м вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением j = A + Bt + Ct³, где B = 2 с^-1, C = 1 с^-3. Найти линейную скорость и тангенциальное ускорение для точек обода через Dt = 2 с после начала движения.

23.На барабан радиуса R = 0.5 м намотана нить, барабан вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через его ось симметрии, под действием груза, подвешенного к нити. Груз движется с постоянным ускорением a = 6 м/с² . Найти угловое ускорение вращения барабана и полное ускорение точек на его поверхности через после начала вращения барабана.

24.Частица движется по окружности радиуса R = 0.1 м с постоянным угловым ускорением. Через t = 20 с после начала движения угловая скорость частицы w = 20с^-1 . Определите число N оборотов, которое совершила за это время частица, и нормальное ускорение к концу десятой секунды.

25.Частица движется по окружности радиуса R = 10 см с постоянным тангенциальным ускорением a_t. Найдите это ускорение, если известно, что к концу пятого оборота после начала движения скорость частицы стала равной v = 79.2 см/с.

26.Радиус-вектор, определяющий положение движущейся частицы меняется по закону r= 3t² i + 2t j + k, где i, j, k орты осей x, y, z. Найти модуль скорости v в момент времени t = 1 с.

27.Частица движется в плоскости так, что зависимость координат от времени дается уравнениями x = At, y = Bt + Ct², где A = 1 м/с, B = 2 м/с, C = 1 м/с². Определите скорость частицы через 10 с после начала движения.

28.Частица движется согласно уравнению r(t) = A(icoswt + jsinwt), где A = 0.5 м, w=5 с^-1. Изобразите на рисунке траекторию движения. Определите модуль скорости ¦v¦ и модуль нормального ускорения ¦а_n¦.

29.Координата x движущейся частицы меняется по закону x = A cos(2pt/T), А = 8 см. Найти выражения для проекций на ось x скорости v и ускорения a частицы, составляющую v_x средней скорости частицы на интервале времени от t₁ = 0 до t₂ = T/8.

30.Колесо вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением j = A + Bt + Ct² + Dt³, где B = 1 с^-1, C = 1 с^-2, D = 1 с^-3. Найти радиус колеса, если известно, что к концу второй секунды движения нормальное ускорение точек, лежащих на ободе колеса, a_n= 3.46^.10² м/с².

31.Найти работу, которую нужно совершить, чтобы увеличить скорость движения тела от v₁= 2 м/с до v₂= 6 м/с на пути s = 10 м. На всем пути действует постоянная сила трения F_тр= 2 Н. Масса тела m = 1 кг.

32.Находясь под действием постоянной силы с компонентами (3, 10, 8) Н частица переместилась из точки 1 с координатами (1, 2, 3) м в точку 2 с координатами (3, 2, 1) м. Какая совершилась при этом работа? Как изменилась кинетическая энергия частицы?

33.Брусок массой m₁ = 0.2 кг движется по горизонтальному столу под действием силы натяжения привязанной к нему нити. Нить перекинута через прикрепленный к столу блок, а другой ее конец привязан к бруску массой m₂ = 0.3 кг, который движется вниз. Коэффициент трения между поверхностью стола и первым бруском k = 0.25. Масса блока ничтожно мала. Определите натяжение нити.

34.Наклонная плоскость может изменять наклон, причем длина основания наклонной плоскости остается постоянной. При каком наклоне к горизонту время соскальзывания тела с наклонной плоскости будет наименьшим, если коэффициент трения k = 0.25?

35.Два бруска лежат на гладком столе один на другом. Масса верхнего бруска m₁ = 2 кг, нижнего m₂ = 4 кг. Коэффициент трения между брусками k = 0.25. Какую максимальную силу можно приложить к верхнему бруску в горизонтальном направлении, чтобы он не проскальзывал?

36. На гладкую горизонтальную плоскость помещены три тела массами т₁, т₂ и т₃, связанные нитями между собой и с телом массой М, привязанное к нити, перекинутой через блок (рис.). Найти ускорение а системы. Найти натяжения всех нитей. Трением в блоке, массами блоков и нитей пренебречь.

Ответ: ; ; ;

37. На верхнем краю гладкой наклонной плоскости ук­реплен блок, через который перекинута нить (рис.). На одном се конце привязан груз массы m_1; лежащий на наклонной плоскости. На другом конце висит груз массы т₂ С каким ускорением a движутся грузы и каково натяжение T нити? Наклонная плоскость образует с горизонтом угол α.

Ответ:

38.Автомобиль “Жигули» на скорости v = 50 км/ч способен двигаться вверх по дороге с уклоном α = 16⁰ . При движении по ровной дороге с таким же покрытием и на той же скорости мощность, расходуемая двигателем, составляет N = 20 л.с. (1 л.с. = 736 Вт). Найти максимальную мощность двигателя, если масса автомобиля 1200 кг.

Ответ: N_max = 81,2 л.с.

39.Лодка длиной L₀ наезжает, двигаясь по инерции, на отмель и останавливается из-за трения, когда половина ее длины оказывается на суше. Какова была начальная скорость лодки v? Коэффициент трения равен μ.

Ответ: v = ½(μgL)^1/2

40.Лодка массы М с находящимся в ней человеком массы т неподвижно стоит на спокойной воде. Человек начинает идти вдоль по лодке со скоростью u относительно лодки. С какой скоростью w будет двигаться человек относительно воды? С какой скоростью v будет при этом двигаться лодка относительно воды? Сопротивление воды движению лодки не учитывать.

Ответ:

41.Человек прошел вдоль по лодке, описанной в предыдущей задаче, путь l. Каковы при этом будут смещения лодки S₁ и человека S₂ относительно воды?

Ответ:

42.Две пружины жесткостью 3×10² Н/м и 5×10² Н/м соединены последовательно. Определить работу по растяжению обеих пружин, если вторая пружина растянута на 3 см. Определить также коэффициент жесткости системы двух пружин.

43.Математический маятник (груз малых размеров на легком подвесе длиной l) находится в положении равновесия. Определить какую минимальную скорость u надо сообщить грузу, чтобы он мог совершить полный оборот, для двух случаев: а) груз подвешен на жестком стержне; б) на нити.

Ответ: v² ≥ 4gl; v² ≥ 5gl

44.На наклонной плоскости (α угол наклона плоскости) стоит ящик с песком; коэффициент трения μ ящика о плоскость равен тангенсу угла α. В ящик вертикально попадает некоторое тело и остается в нем. Масса ящика М, масса тела m.При каком условии ящик будет двигаться после попадания в него тела?

45.Вверх по наклонной плоскости, образующей угол α к горизонту, движется брусок. В тот момент, когда его скорость равна V , на брусок вертикально падает со скоростью v пластилиновый шарик такой же массы, как и брусок, и прилипает к нему. Определить время τ, через которое брусок с шариком остановятся. Коэффициент трения равен μ. При каком значении μ это возможно?

Ответ: τ = (1/2g)(((V-μvcosα)/(μcosα – sinα)) – v); μ ≤ tgα + (V/vcosα) )

46.Два идеально упругих шарика массами m₁ и m₂ вдоль одной и той же прямой со скоростями v₁ и v₂ . Во время столкновения шарики начинают деформироваться, и часть кинетической энергии переходит в потенциальную энергию деформации. Затем деформация уменьшается, и запасенная потенциальная энергия вновь переходит в кинетическую. Найти значение потенциальной энергии деформации в момент, когда она максимальна.

Ответ: П = (1/2) (m₁m₂/(m₁ + m₂)) (v₁ – v₂)²)

47.Шар, летящий со скоростью V, ударяется о покоящийся шар, масса которого в 3 раза больше массы налетающего шара. Найти скорости шаров после удара, если в момент столкновения угол между линией, соединяющей центры шаров, и скоростью налетающего шара до удара равен 60⁰. Удар абсолютно упругий. Трения нет.

Ответ: V₁ = V(13)^1/2/4; V₂ = V/4

48.Движущаяся частица претерпевает упругое соударение с покоящейся частицей такой же массы. Доказать, что после столкновения, если оно не было центральным, частицы разлетятся под прямым углом друг к другу. Как будут двигаться частицы после центрального соударения?

Ответ: при центральном ударе частицы обмениваются скоростями; при нецентральном – угол между скоростями составляет 90⁰.

49.Два шарика падают в воздухе. Шарики сплошные, сделаны из одного материала, но диаметр одного из шариков вдвое больше другого. В каком соотношении будут находиться скорости шариков при установившемся (равномерном) движении? Считать, что сила сопротивления воздуха пропорциональна площади поперечного сечения движущегося тела и квадрату его скорости.

Ответ: скорость большего шарика будет в √2 раз больше скорости меньшего.

50.Стальной шарик радиуса 0,05 мм падает в широкий сосуд, наполненный глицерином. Найти скорость v установившегося (равномерного) движения шарика. Коэффициент внутреннего трения в глицерине равен η = 14 дин-с/см², плотность глицерина d_x = 1,26 г/см³, плотность стали d₂ = 7,8 г/см³.

Указание. Для решения задачи воспользоваться гидродинамической формулой Стокса, выражающей силу сопротивления, испытываемую шариком, движущимся в вязкой жидкости: f=6πrvη.

Ответ: