Условия экстремума задачи безусловной минимизации

Условия экстремума являются основой, на которой строятся методы решения задач оптимизации и дают информацию о свойствах решения. Доказательства условий экстремума и их вид часто указывают путь построение методов оптимизации. В этом разделе будут рассмотрены условия экстремума задачи минимизации без ограничений (5.0.1).

Точка х называется стационарной, если в ней выполнено условие

. (5.2.1)

Теорема 1. (Необходимое условие 1 порядка). Пусть - точка минимума и дифференцируема в , тогда выполняется условие стационарности (5.2.1).

Доказательство следует из возможности линейного представления функции в точке _. Не всякая из точек, удовлетворяющих (5.2.1) является точкой минимума. Она может быть точкой максимума или седловой точкой.

Теорема 2. (Достаточное условие 1-го порядка). Пусть - выпуклая функция, дифференцируется в точке и выполняется условие (5.2.1). Тогда - точка глобального минимума на .

Доказательство следует из (5.1.3).

Теорема 3. (Необходимое условие 2-го порядка). Пусть - точка минимума и дважды дифференцируется в . Тогда .

Теорема 4. (Достаточное условие 2-го порядка). Пусть в точке дважды дифференцируема, выполнено условие (5.2.1) и . Тогда точка - точка локального минимума.

Теорема 5. (Существование решения). Пусть непрерывна на и множество для некоторого не пусто и ограничено. Тогда существует точка глобального минимума на .

Теорема 6. Точка минимума строго выпуклой функции, если она существует, единственна.

Теорема 7. Точка минимума сильно выпуклой функции существует и единственна.