Теоретико-множественное истолкование умножения

В § 6 главы VI дано аксиоматическое определение умножения целых неотрицательных чисел.

В начальной школе используется подход к определению умножения, основанный на понятии суммы одинаковых слагаемых.

Теорема 1. Если в > 1, то произведение чисел а и в равно сумме в слагаемых, каждое из которых равно а.

Доказательство. Обозначим сумму в слагаемых, каждое из которых равно а, через а · в и, кроме того, положим, что а · 1 = а. Тогда, по определению суммы, имеем:

.

Значит, операция а · в подчиняется тем же требованиям, что и операция умножения, определенная ранее (см. § 6 главы VI), а именно а · 1 = а и а · (в+1) = а · в + а. В силу единственности умножения получаем, что а · в = в · а.

Таким образом, если а и в – целые неотрицательные числа, то

а) а · в = при в > 1;

б) a · 1 = а при в = 1;

в) a · 0 = 0 при в = 0.

Для вывода законов умножения целых неотрицательных чисел удобнее другое теоретико-множественное истолкование произведения. Оно связано с декартовым произведением множеств. Рассмотрим сначала следующий пример. Найдем декартово произведение множеств А = {а, в, с} и В = {х, у}. Оно состоит из пар, которые мы запишем в виде прямоугольной таблицы.

(а, х), (а, у),

(в, х), (в, у),

(с, х), (с, у).

В каждой строке таблицы все пары имеют одинаковый первый элемент, а в каждом столбце – одинаковый второй элемент. При этом никакие две строки не имеют хотя бы одной одинаковой пары. Отсюда следует, что число элементов таблицы равно 2 + 2 + 2 = 6. С другой стороны n(А) = 3, n(В) = 2, 3 · 2 = 6. На этом примере видим, что число элементов в декартовом произведении двух конечных множеств равно произведению чисел элементов в этих множествах.

Теорема 2. Пусть А и В – конечные множества. Тогда их декартово произведение также является конечным множеством, причем выполняется равенство n(А × В) = n(А) · n(В).

Доказательство. Пусть А = {а₁, а₂, ... , а_q}, В = {в_l, в₂, в₃, ... , в_k}, причем k > l. Составим декартово произведение А×В и запишем в виде таблицы:

(а₁, в_l), (а₁, в₂), (а₁, в₃), ..., (а₁, в_k),

(а₂, в₁), (а₂, в₂), (а₂, в₃), ..., (а₂, в_k)

… … … … …

(а_q, в₁), (а_q, в₂), (а_q, в₃), ..., (а_q, в_k).

Число элементов в первой строке равно k, т.к. это элементы вида (a₁, в_i), где 1 ≤ i ≤ k и т.д. в строке с номером q число элементов равно k. Всего элементов в таблице.

Сумма q слагаемых, каждое из которых равно k, это есть k · q. Итак, n(А × В) = k · q = n(А) · n(В). При k = 1, множество В содержит один элемент и число элементов декартова произведения равно q · 1 = q.

При k = 0 В = Æ, тогда q · 0 = 0.

Свойства умножения:

1°. Коммутативность. ("a, в Î N₀)[a · в = в · а].
Так как А × В ~ В × А, то n(А × В) = n(В × А).

2°. Ассоциативность. ("a, в, с Î N₀) [(a · в) · с = а · (в · с)].

Так как (А × В) × С ~ А × (В × С) Þ n((А × В) × С) = n(А × (В × С)).

3°. Дистрибутивность относительно сложения.
("a, в, с Î N₀) [(а + в) · с = а · с + в · с].

Так как (A B) × C ~ (A × C) (B × C), то

n ((A B) × C) = n ((A × C) (B × C)).