Решение тригонометрических уравнений с помощью оценки левой и правой частей уравнения (метод оценок).
Методы решения
Тригонометрических уравнений.
Решение простейших тригонометрических уравнений.
По определению арифметического квадратного корня перейдем к равносильной системе уравнений.
Ответ: 
Решение тригонометрических уравнений разложением на множители.
или 
или 
решений нет
Отметим полученные решения и область определения на тригонометрическом круге.
 |
Решением уравнения является:
Ответ:
Решение тригонометрических уравнений сводящихся к квадратным уравнениям.
Пусть 
, тогда 
или 
Т.к. 
при 
, то корней нет.
Ответ:
Решение тригонометрических уравнений преобразованием суммы тригонометрических функций в произведение.
или 
Ответ: ;
Решение тригонометрических уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму.
а) Найдем область определения функции.
Областью определения данного уравнения является:
б) Решим данное уравнение.
Ответ: 
Решение тригонометрических уравнений с применением формул понижения степени.
Пусть , тогда
или 
Т.к.
при , то корней нет.
Ответ:
Решение тригонометрических уравнений как однородное.
Однородное уравнение – это уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одну и туже степень.
, где
- действительные числа. 
- показатель однородности.
Если 
, то и 
, что противоречит основному тригонометрическому тождеству, значит 
. Разделим обе части на 
, получим
Ответ:
Решение тригонометрических уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента.
Т. к. 
, то корни есть.
Разделим обе части уравнения на 
, получим
Т. к. 
и 
, то существует такой угол 
, что 
, а 
, тогда получим
Ответ:
Теория.
1) если 
, то уравнение однородное.
2) если 
и 
(то есть хотя бы одно из чисел 
или 
не равно 0), то разделим обе части уравнения на 
, получим
Т. к. 
и 
, то существует такой угол , что 
, тогда
а) если, 
т. е. 
, то корней нет.
в) если, 
т. е. 
, тогда
Т. к. 
, то корней нет.
Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки.
(1)
(2)
При переходе от уравнения (1) к уравнению (2), могла произойти потеря корней, значит необходимо проверить, являются ли корни уравнения корнями данного уравнения.
Проверка.
Если , тогда
- не верно, значит , не является корнями исходного уравнения.
Ответ:
Решение тригонометрических уравнений с помощью замены неизвестного.
Уравнение вида 
решается следующей заменой 
, 
, 
, 
Способ I
Пусть 
, 
, 
, 
, получим
или 
(3)
Разделим на 
, получим 
Т. к. 
, при , то корней нет.
Ответ:
Теория.
, при
Доказательство:
Шесть способов решения уравнения (3).
1. применение формулы 
.
2. через 
.
3. привести к однородному уравнению второй степени.
4. способ введения вспомогательного аргумента.
5. с помощью неравенства , при .
6. метод оценки левой и правой частей уравнения.
Способ II
или
Разделим на , получим
Т. к. , при , то корней нет.
Ответ:
Решение тригонометрических уравнений с помощью оценки левой и правой частей уравнения (метод оценок).