Метод оценки левой и правой частей (метод мажорант).

Метод мажорант – метод нахождения ограниченности функции.Мажорирование –нахождение точек ограничения функции. М – мажоранта.

Если имеем f(x) = g(x) и известно ОДЗ, и если , , то

.

ОДЗ: .

Рассмотримправую часть уравнения.Введем функцию . Графиком является парабола с вершинойА(3; 2). Наименьшее значение функции у(3) = 2, то есть .

Рассмотрим левую часть уравнения. Введем функцию . С помощью производной нетрудно найти максимум функции, которая дифференцируема на x Î (2; 4).

.

при ,

,

,x=3.

g`+-

234

g

max

g(3)= 2.

Имеем, .В результате , , то

Составим систему уравнений, исходя из вышеуказанных условий:

Решая первое уравнение системы, имеемх=3.Подстановкой этого значения во второе уравнение, убеждаемся, что х= 3есть решение системы.Ответ: х=3.

Применение монотонности функции.

а)

ОДЗ: ,Þ .

Известно, что сумма возрастающих функций есть функция возрастающая.

Левая часть представляет собой возрастающую функцию.Правая часть – линейная функция (к=0). Графическая интерпретация подсказывает, что корень единственный. Найдем его подбором, имеемх=1.

Доказательство:Предположим имеется корень х₁, больший 1, тогда выполняется

, т.к. х₁>1,

, , , Делаем вывод, что корней больших единицы нет.Аналогично, можно доказать, что нет корней, меньших единицы.Значит x=1 – единственный корень.Ответ: x = 1.

б)

ОДЗ: ,Þ .

Преобразуем уравнение ,

,

Левая часть представляет собой возрастающую функцию (произведение возрастающих функций), правая часть – линейная функция ( к = 0). Геометрическая интерпретация показывает, что исходное уравнение должно иметь единственный корень, который можно найти подбором,х=7.

Проверка:

Можно доказать, что других корней нет (см. пример выше).Ответ:х=7.

ОСНОВНЫЕСПОСОБЫРЕШЕНИЯИРРАЦИОНАЛЬНЫХНЕРАВЕНСТВ

Как правило, обечастинеравенствавозводятсявнужнуюстепень. Невозможносделатьпроверку. Следовательно, необходимо следить, чтобыполучилосьнеравенстворавносильноеданному.

Привозведениивнечётнуюстепеньвсегдаполучаетсянеравенство равносильноеданному.

Привозведениивчётнуюстепеньнеравенствабудут равносильны, еслиобечастинеравенстванеотрицательны.

1)Неравенствавида .Ответ:

Ответ: решенийнет.

2)Неравенствавида

а) Ответ: х =

б) Ответ: х = 8

3)Неравенствавида .

Ответ: ОДЗ

Ответ:

4)Неравенствавида

Решениемявляется неравенство:

Ответ: х<-1;x>5

5)Неравенствавида

Решениемявляетсясистеманеравенств:

а) ;Система: Ответ:

б) ; Ответ:

6)Неравенствавида

Решениемявляетсясистеманеравенств:

а) ;Система: ; Ответ:

б) ; ; Ответ:

7)Неравенствавида

Решениемявляетсясистеманеравенств:

а) ; ; Ответ:

б) ; ; Ответ:

8)Неравенствавида

Решениемявляются 2 системынеравенств:

а)

1) ; ;2) ; Ответ:

б)

1) ; ; 2) ; Ответ:

1)

ОДЗ:

; Ответ:

2)НайтиООФ:f(x) =

;Ответ:x 9; x 8

3) ;ОДЗ: х 4

1) ;х > 82) ;5 < х ;Ответ:х > 5

4) ;ОДЗ: х 1,75

-2x² + x – 1 < 0 (D< 0);

Решениемявляются 2 системынеравенств:1) ; x> 2,4

2) Ответ:х > 2

5)

;

;Ответ:

6)(х² – 2х – 8)( ;ОДЗ: х 5

Решениемявляются 2 системынеравенств.

Ответ:

Метод интервалов

Алгоритм:1) ОДЗ

2) Решить уравнениеf(x) = g(x)

3) Подставить в исходное неравенство по одному значению из каждого изполучившихся интервалов (знаки не обязательно чередуются)

Если проверяемое значение удовлетворяет неравенству, то и все остальные значения соответствующего промежутка ему удовлетворяют.

Если проверяемое значение не удовлетворяет неравенству, то и никакое другое значение соответствующего промежутка ему не удовлетворяют.

ОДЗ: