Cвойства ортогональных проекций эллипса
Плоскость кривизны эллипса в положении плоскостей уровня
(рис. 12.44)
1. a É (a || П1) = (a2 º а2) ^ А2А1, а1 =|a|;
2. b É (b || П2) = (b1 º b1) ^ A2A1, b2 =|b|;
3. g É (c|| П3 ) = g1 º с1º А1А2 ºg2ºс2;
с3 = | c |.
Общее ПРАВИЛО 3: Если данный эл-
липс расположен в той или иной плос-кости уровня, то одна из его проек-ций,- прямая линия, перпендикулярная к соответствующей линии связи, а вто-рая,- эллипс, конгруэнтный данному.
Плоскость кривизны эллипса в
проецирующих положениях(рис.12.45)
1. a É (а ^ П1) Þ a1 º а1 ; а2 --эллипс;
2. b É ( b^ П2) Þ b2 º b2 ; b1 – эллипс;
3. g É (с^ П3 ) Þ g3 º с3; с2,с3 –эллипсы.
Общее ПРАВИЛО 4. 1. Если плоскость кривизны эллипса занимает то или иное проецирующее положение, то од-на его проекция, - прямая линия, совпа-
дающая с вырожденной проекцией этой плоскости, а вторая – эллипс, положе-ние осей которого определяется на-ложенными условиями;
2. Если малая ось эллипса, - проеци-
рующая линия плоскости его кривизны, а большая ось, как линия её наиболь-шего уклона, наклонена так, что прое-цируется в размер малой оси, то прое-
кцией такого эллипса будет окруж-ность( рис.12.45, б).
Плоскость кривизны эллипса в
общем положении (рис.12.46)
Ортогональная проекция эллипса в общем случае является эллипсом, ибо изображаемый эллипс, располагаясь в пространстве произвольно, определяет
поверхность проецирующего эллиптиче-
Рис. 12.46.Изобразительные свойства ортогональных проекций эллипса в плоскости общего положения
Рис. 12.47. Изобразительные свойства ортогональных проекций эллипса, од- на из которых является окружностью ского цилиндра, основание которого является эллипсом. Так как точки основания поверх-ности такого цилиндра соответствен-ны точкам всех его возможных плоских сечений, лежащих на параллельных образующих, то фигуры этих сечений соответственны в перспективно-аф-финной коллинеации наперед задан-ной фигуре основания. Поэтому конст-руктивный аппарат установления род-ства между ортогональными проекци-ями эллипса общего положения наибо-лее рационален. Пример 2.По горизонтальной проекции m1 эллипса m, лежащего в плоскости a (а ´ b) общего положе-ния, построить его фронтальную проекцию (рис.12.46). Решениеэтой задачи основано на гра-фическом моделировании условий ком-планарности точек и линий по графи-ческим законам теоремы Дезарга для случая, когда центр соответствия уда-лён в бесконечность. Известно, что гомология задаётся центром (S ¥ ), осью s0 и парой гомоло-гичных точек (О1, О2) или двумя парами гомологичных прямых. В данном случае ось гомологии не задана и строится по точкам пересе-чения разноименных проекций прямых а и b, задающих плоскость a. Проме-жуточные точки искомой проекции строятся по графическому алгоритму теоремы Дезарга, а направление её большой и малой осей, - при помощи окружности, центр О которой является точкой пересечения перпендикуляра к середине линии связи О1 О2 с осью s0, а радиус равен расстояниям от О до О1 или О2. Если заданная проекция эллипса лежащего в плоскости общего положе-ния, будет окружностью, то вторая обя-зательно будет эллипсом, построение которого приведено на рис. 12.47, ана-логичном рис. 12.46. 12.5.3.Изобразительные свойства ортогональных проекций гиперболы(рис.12.48) Так как основными конструктив-ными элементами гиперболы являются её асимптоты, как диагонали прямого- льника 2а ´ 2b, образованные действи- |
тельной АВ и мнимой СD осями (см. рис.12.29), то их ортогональные проек-ции определяют возможность построе-ния соответствующих проекций её кри-волинейных ветвей.
 |
Рис. 12.48.Изобразительные свойства
ортогональных проекций гиперболы
в плоскости общего положения
Рассмотрим общий случай. Пусть плоскость кривизны гиперболы занима-ет общее положение, заданное проек-циями прямоугольника 2а ´ 2b (рис. 12.48)
Диагонали проекций этого прямо-угольника определяют соответствую-щие проекции асимптот искомой гипер-болы, а прямые, соединяющие середи-ны их сторон, - проекции её осей.
Для построения проекций ветвей гиперболы следует применить аппарат центрального подвижного проециро-вания (см. рис.12.28, 12.29). В качестве изображаемой следует взять точку М посередине стороны равной 2b. Проек-
ции этой точки не является проекциями вершин проекций ветвей гиперболы, так как проекции прямоугольника 2а х
´ 2b являются параллелограммами.
Проецируя проекции точки М из последовательных положений центра S на проекциях одной из асимптот на соответствующие положения проекций
картины П¢, параллельные проекциям
второй асимптоты, получаем ортогона-
льные проекции гиперболы в плоскости
общего положения.
 |
Рис. 12.49. Изобразительные свойства
ортогональных проекций параболы
Вывод:Ортогональные проекции гиперболы, плоскость кривизны кото-рой занимает в пространстве общее положение, является гиперболой, ко-торая не конгруэнтна изображаемой. Каждая из них имеет свои конструкт-
тивные элементы ( оси, фокусы, вер-шины и директрисы), положение кото-рых определяются на комплексном че-ртеже графически (см. рис.12.33 а-д).