Решение задач на нахождение углов и расстояний в пространстве

Цель работы

Научиться находить углы и расстояния в пространстве, используя понятия и свойства перпендикулярных прямых и плоскостей.

Ход работы

Вариант

2.1.1 Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные плоскости α , пересекающие её в точках А₁ и В₁ соответственно. Найдите _________________

____

____

____

если отрезок АВ не пересекает плоскость α.

2.1.2 Из точки А проведена к плоскости α наклонная АС. Найти синус угла наклона касательной к плоскости α, если ________________________________________

____

____

____

2.1.3 Прямые АВ, АС, АД попарно перпендикулярны. Найдите __________________

____

____

____

2.1.4 Через вершину квадрата АВСД проведена прямая ВО, перпендикулярная его плоскости. Найдите___________________________________________________

____

____

____

____

____

____

2.1.5 Из точки А к плоскости проведены две наклонные АВ и АС. Найдите ________

____

____

____

____

____

____

2.1.6 Две плоскости пересекаются под углом α. Найти cosα, если ________________

____

____

____

2.1.7 Точка Д равноудалена от вершин равностороннего треугольника АВС. Найти

____

____

____

____

____

____

2.1.8 Точка Д равноудалена от сторон равностороннего треугольника АВС. Найдите

____

____

____

____

____

____

Допуск к работе

2.2.1 Запишите теорему Пифагора для треугольника АВС

2.2.2 Запишите формулу для вычисления синуса и косинуса угла АСВ

sin ACB =

cos ACB =

2.2.3 Запишите формулы для вычисления радиуса вписанной и описанной

окружности правильного треугольника

_______

_______

_______

2.2.4 Прямые АВ, АС, АД попарно перпендикулярны, выпишите все прямоугольные треугольники, изображённые на рисунке

2.2.5 Через вершину квадрата АВСД проведена прямая ВО, перпендикулярная его

плоскости. Выпишите все прямоугольные треугольники, изображённые на

рисунке и укажите, какой угол у них прямой.

____________________________

____________________________

____________________________

____________________________

2.2.6 Сформулируйте свойство точки равноудалённой от вершин многоугольника

_______

_______

_______

_______

2.2.7 Сформулируйте свойство точки равноудалённой от сторон многоугольника

_______

_______

_______

_______

2.2.8 Проведите из точки А перпендикуляр и две наклонные к плоскости

2.2.9 Постройте угол между плоскостями

К работе допускается ______________

Результаты работы

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 21

Координаты и вектора в пространстве.

Цель работы

Научиться выполнять действия над векторами, заданными своими координатами

Ход работы

Вариант

2.1.1 Построить параллелепипед АВСДА₁В₁С₁Д_1, пользуясь правилом треугольника или правилом параллелограмма, найти вектор, равный сумме векторов __________________________________

2.1.2 Даны вектора:

________________________________________________________________

Найти: а) скалярное произведение векторов и

б) координаты вектора _____________________________________

в) скалярный квадрат вектора _______________________________

г) проекцию вектора ____ на вектор _____

д ) модуль вектора ______

е ) найти координаты точки М, если N( _________ ) и

2.1.3 При каком значении m вектора _____________________________________

будут перпендикулярны?

2.1.4 При каком значении k и n вектора __________________________________

будут коллинеарными?

2.1.5 Треугольник АВС задан координатами своих вершин

________________________________________________________________

Найти: а) периметр треугольника АВС

б) косинус угла между сторонами ____________________________

в) длину медианы _____

г) длину средней линии ____ || ____

д) координаты точки пересечения медиан

е) считая, что точки А, В, С – три вершины параллелограмма,

найти координаты четвёртой вершины.

Допуск к работе

2.2.1 Пусть известны координаты точек А(х_а; у_а; z_a ) и В(х_b; у_b; z_b ). Запишите формулы для вычисления:

А) Координат вектора _______________________________________

Б) Расстояния АВ ______________________________________________

В) Координат точки С - середины отрезка АВ ______________________________

2.2.2 Пусть известны координаты векторов (а_х; а_у; а_z ) и (b_x; b_y; b_z ). Запишите формулы для вычисления:

A) Координат вектора ___________________________________

Б) Координат вектора ___________________________________

В) Скалярного произведения векторов и ________________________

Г) Скалярного квадрата вектора _________________________________

Д) Проекции вектора на вектор ________________________________

Е) Модуля вектора ___________________________________________

2.2.3 Запишите условие равенства векторов и , заданных своими координатами._________________________________

2.2.4 Запишите условие параллельности векторов и , заданных своими координатами._________________________________

2.2.5 Запишите условие перпендикулярности векторов и , заданных своими координатами. __________________________________

_______________________________________________________

К работе допускается ______________

Результаты работы

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 22