Исследование автоколебаний в нелинейных системах методом гармонической линеаризации

1. Коэффициенты гармонической линеаризации

2. Уравнение гармонического баланса

3. Исследование симметричных периодических режимов в нелинейных системах.

1. Коэффициенты гармонической линеаризации

Идея метода гармонической линеаризации принадлежит Н.М. Крылову и Н.Н. Боголюбову и основана на предположении о том, что в рассматриваемой НСАУ устанавливается режим некоторого периодического движения с заранее неизвестной амплитудой и частотой колебаний.

Предполагая, что линейная часть системы является низкочастотным фильтром, значительно ослабляющим высшие гармоники, Крылов и Боголюбов показали, что НЭ может быть описан выражением, по форме записи похожим на линейное. Эта операция и была названа эквивалентной или гармонической линеаризацией.

Затем получив линейные передаточные функции элементов системы, ее можно исследовать используя методы исследования линейных систем.

Метод гармонический линеаризации, или метод гармонического баланса, разработан и обоснован для исследования автоколебаний в нелинейных замкнутых системах. Достоинство метода заключается в том, что его применение не ограничивается порядком системы, т.е. порядком дифференциального уравнения, которым описывается система.

Суть метода гармонической линеаризации:

1) Предполагаем, что в НСАУ устанавливается режим некоторого периодического движения с заранее неизвестной амплитудой и частотой колебаний.

Причиной этого может служить в разомкнутой системе внешнее синусоидальное воздействие, а в замкнутой – склонность системы к колебаниям.

2) При этом все переменные, характеризующие состояние такой системы, будут являться периодическими функциями времени и могут быть разложены в ряд Фурье.

3) Предполагаем, что линейная часть системы является низкочастотным фильтром, значительно ослабляющим высшие гармоники (отфильтровываются все возникающие на выходе НЭ гармонические составляющие, кроме первой гармоники),

4) Нелинейный элемент системы заменяется линейным звеном, параметры которого определяются при гармоническом входном воздействии из условия равенства амплитуд первых гармоник на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линейного звена

5) Составляется передаточная функция и характеристическое уравнение системы

6) Определяется периодическое решение системы, т.е. из характеристического уравнения определяется амплитуда и частота колебаний, с помощью любого критерия устойчивости ЛСАУ

7) Проверяется устойчивость и качество переходных процессов в системе.

Рассмотрим НСАУ

Предположим, что в системе установились симметричные периодические колебания с частотой w и амплитудой А.

Рис. 1. Функциональная схема нелинейной системы:

НЭ - нелинейный элемент; ЛЧ - линейная часть

т.е. на вход НЭ, который описывается уравнением

y_н = F(x), (1)

подается гармоническое воздействие с частотой w и амплитудой a, т.е.

x = А sin y, (2)

где y = wt,

Из всего спектра выходного сигнала выделяется только первая гармоника

y_н1 = А_н1 sin(y + y_н1), (3)

где А_н1 – амплитуда,

y_н1 - фазовый сдвиг;

при этом высшие гармоники отбрасываются и устанавливается связь между первой гармоникой выходного сигнала нелинейного элемента и входным гармоническим воздействием.

Рис. 2. Характеристики нелинейного элемента

В случае нечувствительности нелинейной системы к высшим гармоникам нелинейный элемент может быть в первом приближении заменен некоторым элементом с эквивалентным коэффициентом передачи, который определяет первую гармонику периодических колебаний на выходе в зависимости от частоты и амплитуды синусоидальных колебаний на входе.

Для нелинейных элементов с характеристикой (1) в результате разложения периодической функции F(x) в ряд Фурье при синусоидальных колебаниях на входе (2) получим выражение для первой гармоники сигнала на выходе

y_н1 = b_1F siny + a_1F cosy, (4)

где b_1F, a_1F - коэффициенты разложения в ряд Фурье, (определяющие амплитуды соответственно синфазной и квадратурной составляющих первой гармоники), которые определяются по формулам:

Так как

Входной сигнал x(t)=А siny , то → ;

производная входного сигнала в операторной форме (p = d/dt):

px = Аωcosy, то →

Т.о. связь между первой гармоникой периодических колебаний на выходе нелинейного элемента и синусоидальными колебаниями на его входе можно записать в виде

где q и q¢ – коэффициентами гармонической линеаризации

q = b_1F/А, q¢ = a_1F/А. Для различных нелинейных характеристик они приведены в справочниках по ТАУ.

Уравнение гармонической линеаризации

, (5)

Замена уравнения (1) на уравнение (5) называется гармонической линеаризацией.

Таким образом, нелинейный элемент при воздействии гармонического сигнала описывается уравнением (5), которое является линейным. Это уравнение нелинейного элемента отличается от уравнения линейного звена тем, что его коэффициенты q и q¢ изменяются при изменении амплитуды А и частоты w колебаний на входе. Именно в этом заключается принципиальное отличие гармонической линеаризации от обычной, коэффициенты которой не зависят от входного сигнала, а определяются только видом характеристики нелинейного элемента.

– в общем случае q(А, ω) и q′( А, ω) зависят от амплитуды А и частоты w колебаний на входе НЭ,

– для статических нелинейностей q(А) и q′(А) являются функцией только амплитуды А входного сигнала,

– для статических однозначных нелинейностей q′(А) = 0.

Таблица - Коэффициенты гармонической линеаризации для различных видов нелинейных характеристик.

Нелинейные характеристики	Графическое изображение	Коэффициенты гармонической линеаризации
Идеальная релейная характеристика
Релейная характеристика с зоной нечувствительности
Характеристика с насыщением
Характеристика с зоной нечувствительности и насыщением
Характеристика с зоною нечувствительности
Релейная характеристика с гистерезисом
Релейная характе-ристика с гистере-зисом та зоною нечувствительности

В результате гармонической линеаризации НЭ можно представить эквивалентной передаточной функцией:

Эквивалентная передаточная функция гармонически линеаризованного нелинейного элемента:

. (6)

Частотные характеристики гармонически линеаризованного НЭ:

заменив оператора р на j, получим АФЧХ -

(7)

где модуль и аргумент эквивалентного комплексного коэффициента передачи связаны с коэффициентами гармонической линеаризации выражениями

A_Э(w, А) = mod W_Э(jw, А) =

y_Э(w, a) = arg W_Э(jw, A) = arctg[q¢(А, w)/q(А, w)].

Эквивалентный комплексный коэффициент передачи нелинейного элемента позволяет определить амплитуду и фазовый сдвиг первой гармоники (3) на выходе нелинейного элемента при гармоническом воздействии (2) на его входе, т.е.

А_н1 = А´A_Э(w, А); y_н1 = y_Э(w, А).

2. Уравнение гармонического баланса

Примем g=0, тогда х= –у или у= –х

Сократим на неравный нулю множитель и получим:

Это уравнение гармонического баланса.

Если удастся найти действительные числа А и ω, которые обращают это уравнение в тождество, то в системе имеют место автоколебания почти гармонической формы с частотой ω и амплитудой А.

При исследовании нелинейных систем по частотным характеристикам уравнение гармонического баланса записывают отдельно для модуля и аргумента эквивалентной комплексной передаточной функции разомкнутой нелинейной системы:

│Wэ(А,jω)│*│Wл(jω)│= 1;

arg [Wэ(А,jω)Wл(jω)] = -(2k+1) π , при k =0,1,2,….

либо:

Аэ(А, ω) * Ал(ω) =1;

φэ(А,ω) + φл(ω) = -(2k+1) π , при k =0,1,2,….

3. Исследование симметричных периодических режимов в нелинейных системах

Метод ГЛ предназначен для исследования автоколебаний в нелинейных замкнутых системах.

Исследовать автоколебания – это значит решить вопрос об их существовании и проверить их устойчивость.

Рассмотрим нелинейную систему (рис. 1), включающую в себя линейную часть с передаточной функцией

и гармонически линеаризованный НЭ с эквивалентной передаточной функцией:

.

Тогда ПФ разомкнутой линеаризованной системы будет равна:

характеристическое уравнение замкнутой нелинейной системы

(8)

Задача стоит в отыскании автоколебаний в данной нелинейной системе. Автоколебания имеют, строго говоря, не синусоидальную форму. Но мы будем считать, что для переменной у они близки к синусоиде из-за того, что линейная часть системы не пропускает колебания с высокими частотами. Поэтому будем искать автоколебания переменной у приближенно в виде синусоиды: у = А₀ sin w₀t, т.е. из уравнения (8) необходимо определить амплитуду А₀ и частоту w₀.

Для оценки возможности возникновения автоколебаний в нелинейной системе методом гармонической линеаризации необходимо найти условия границы устойчивости, как это делалась при анализе устойчивости линейных систем.

Появлению колебаний в системе соответствует наличие пары чисто мнимых корней характеристического уравнения системы (8).

Периодическое решение существует, если при А₀ и w₀ характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы имеет пару мнимых корней l_i = jw₀ и l_i+1 = -jw₀.

Устойчивость решения необходимо оценить дополнительно.

В зависимости от методов решения характеристического уравнения различают аналитические и частотные методы исследования нелинейных систем.

3.1 Аналитический метод

Для оценки возможности возникновения в нелинейной системе автоколебаний в гармонически линеаризованный характеристический полином системы вместо p подставляют jw

(9)

Для однозначной нелинейно характеристики будет:

В результате получают уравнение , коэффициенты которого зависят от амплитуды и частоты предполагаемого автоколебательного режима. Выделив вещественную и мнимую части

получим уравнение

(10)

Введем для частоты и амплитуды искомого периодического решения обозначения . Получаем два уравнения, из которых определяются неизвестные частота и амплитуда.

(11)

Если уравнение не имеет вещественных положительных решений для , то периодические решения, а значит и автоколебания в данной нелинейной системе не возможны.

Если при действительных значениях А₀ и w₀ выражение (10) удовлетворяется, то в системе возможен автоколебательный режим, параметры которого рассчитываются по приведенной системе уравнений.

Из выражений (11) можно найти зависимость амплитуды и частоты автоколебаний от параметров системы, например, от коэффициента передачи k линейной части системы. Для этого необходимо в уравнениях (11) коэффициент передачи k считать переменной величиной, т.е. эти уравнения записать в виде:

(12)

По графикам a₀ = f(k), w₀ = f(k) можно выбрать коэффициент передачи k, при котором амплитуда и частота возможных автоколебаний имеет допустимые значения или вообще отсутствует.

3.2 Частотный метод.(Метод Гольдфарба, основанный на критерии Найквиста)

В соответствии с критерием устойчивости Найквиста незатухающие колебания в линейной системе возникают в том случае, когда АФЧХ разомкнутой системы проходит через точку с координатами [-1, j0]. Данное условие является также условием существования автоколебаний в гармонически линеаризованный нелинейной системе, т.е.

W_н(jw, a) = -1. (13)

Так как линейная и нелинейная части системы соединены последовательно, то частотная характеристика разомкнутой нелинейной системы имеет вид

W_н(jw, a) = W_лч(jw)´W_Э(jw, a). (14)

Тогда в случае статической характеристики нелинейного элемента условие (13) принимает вид

W_лч(jw) = - . (15)

Решение уравнения (15) относительно частоты и амплитуды автоколебаний можно получить графически как точку пересечения годографа частотной характеристики линейной части системы W_лч(jw) и годографа обратной характеристики нелинейной части , взятой с обратным знаком (рис. 3).

Точка пересечения этих двух кривых и будет решением данного уравнения. При этом частота периодического режима определяется в точке пересечения на кривой W_лч(jw), а амплитуда определяется в точке пересечения кривых на кривой .

Если эти годографы не пересекаются, то режим автоколебаний в исследуемой системе не существует.

Рис. 3. Годографы линейной и нелинейной частей системы

Формулировка Гольдфарба устойчивости периодического режима:

Для устойчивости автоколебательного режима с частотой w₀ и амплитудой a₀ требуется, чтобы точка на годографе нелинейной части - , соответствующая увеличенной амплитуде a₀+Da по сравнению со значением в точке пересечения годографов, не охватывалась годографом частотной характеристики линейной части системы и охватывалась точка, соответствующая уменьшенной амплитуде a₀-Da.

На рис. 3 дан пример расположения годографов для случая, когда в нелинейной системе существуют устойчивые автоколебания, так как a₃ < a₀ < a₄ .

3.3 Логарифмический частотный метод

При исследовании нелинейных систем по логарифмическим частотным характеристикам условие (13) переписывают отдельно для модуля и аргумента эквивалентного комплексного коэффициента передачи разомкнутой нелинейной системы

mod W_лч(jw)W_э(jw, А) = 1;

arg W_лч(jw)W_э(jw, А) = - (2k+1)p, при k=0, 1, 2, ...

с последующим переходом к логарифмическим амплитудной и фазовой характеристикам

L_лч(w) + L_э(w, А) = 0; (16)

y_лч(w) + y_э(w, А) = - (2k+1)p, при k=0, 1, 2, ... (17)

Условия (16) и (17) позволяют определить амплитуду А₀ и частоту w₀ периодического решения уравнения (8) по логарифмическим характеристикам линейной части системы L_лч(w), y_лч(w) и нелинейного элемента L_э(w, А), y_э(w, А).

Автоколебания с частотой w₀ и амплитудой А₀ будут существовать в нелинейной системе, если периодическое решение уравнения (8) устойчиво.

Приближенный метод исследования устойчивости периодического решения заключается в том, что исследуется поведение системы при частоте w = w₀ и значениях амплитуды А = А₀ + Da и А = А₀ - Da, где Da > 0 - малое приращение амплитуды. При исследовании устойчивости периодического решения при А₀ + Da и А₀ - Da по логарифмическим характеристикам пользуются критерием устойчивости Найквиста.

В нелинейных системах с однозначными статическими характеристиками нелинейного элемента коэффициент гармонической линеаризации q¢(А) равен нулю, а следовательно, равен нулю и фазовый сдвиг y_э(А), вносимый элементом. В этом случае периодическое решение уравнения системы

(18)

существует, если выполняются условия:

L_лч(w) = - L_э(a); (19)

y_лч(w) = - (2k+1)p, при k=0, 1, 2, ... (20)

Уравнение (20) позволяет определить частоту w = w₀ периодического решения, а уравнение (19) - его амплитуду А = А₀.

При сравнительно простой линейной части решения этих уравнений могут быть получены аналитически. Однако в большинстве случаев их целесообразно решать графически (рис. 4).

При исследовании устойчивости периодического решения уравнения (18), т.е. при определении существования автоколебаний в нелинейной системе с однозначной нелинейной статической характеристикой пользуются критерием Найквиста [15]:

периодическое решение с частотой w = w₀ и амплитудой a = a₀ устойчиво, если при изменении частоты от нуля до бесконечности и положительном приращении амплитуды Da > 0 разность между числом положительных (сверху вниз) и отрицательных (снизу вверх) переходов фазовой характеристики линейной части системы y_лч(w) через линию -p равна нулю в диапазоне частот, где L_лч(w)³-L_э(w₀,a₀+Da), и не равна нулю в диапазоне частот, где L_лч(w)³-L_э(w₀,a₀-Da).

На рис. 4 показан пример определения периодических решений в нелинейной системе с ограничением. В такой системе имеются три периодических решения с частотами w₀₁, w₀₂ и w₀₃, определяемыми в точках пересечения фазовой характеристики y_лч(w) с линией -180⁰. Амплитуды периодического решения a₀₁, a₀₂ и a₀₃ определяются из условия (19) по логарифмическим амплитудным характеристикам нелинейного элемента -L_э(w₀₁, a), -L_э(w₀₂, a) и -L_э(w₀₃, a).

Рис. 2.12. Логарифмические амплитудные и фазовая характеристики

Из трех решений, определенных на рис. 4, устойчивы два. Решение с частотой w = w₀₁ и амплитудой a = a₀₁ устойчиво, так как в диапазоне частот 1, где L_лч(w)³-L_э(w₀₁,a₀₁+Da), фазовая характеристика y_лч(w) не пересекает линию -180⁰, а в диапазоне частот 2, где L_лч(w)³-L_э(w₀₁,a₀₁-Da), фазовая характеристика y_лч(w) один раз пересекает линию -180⁰. Решение с частотой w = w₀₂ и амплитудой a = a₀₂ неустойчиво, так как в диапазоне частот, где L_лч(w)³-L_э(w₀₂,a₀₂+Da), фазовая характеристика y_лч(w) один раз пересекает линию -180⁰. Высокочастотное периодическое решение с частотой w = w₀₃ и амплитудой a = a₀₃ устойчиво, так как в диапазоне частот, где L_лч(w)³-L_э(w₀₃,a₀₃+Da), имеется один положительный и один отрицательный переход фазовой характеристики y_лч(w) через линию -180⁰, а в диапазоне частот, где L_лч(w)³-L_э(w₀₃,a₀₃-Da), имеются два положительных и один отрицательный переход фазовой характеристики y_лч(w) через линию -180⁰.

В рассмотренной системе при малых по величине возмущениях установятся высокочастотные автоколебания с частотой w₀₃ и амплитудой a₀₃, а при больших по величине возмущениях - низкочастотные автоколебания с частотой w₀₁ и амплитудой a₀₁.