Дәріс. Mathcadтағы математикалық өрнектер

Математикалық өрнектер. Mathcad-тың математикалық өрнектерінің негізгі элементтеріне мыналар жатады: берілгендер типтері (типы данных), операторлар, функциялар және басқарушы құрылымдар.

Берілгендер типтеріне сандық контанталар, қарапайым және күрделі айнымалылар, массивтер (векторлар және матрицалар) және файлдық тип берілгендері жатады.

Mathcadта константаға да айнымалыға да жатпайтын мәндері бағдарламаны қосқанда анықталатын кішігірім өзгеше объектілер топтары бар. Оларды жүйемен бастапқы мәндері алдын ала анықталған жүйелік айнымалылар деп есептеледі.

Қарапайым айнымалылар қолданушымен алдын ала анықталуы қажет.

Тригонометриялық функцияларды есептеу жолдары.

Mathcad программасында матрицаны есептеу үшін алдымен калькулятор қатарындағы матрица батырмасын басамыз.

sin(π)=0

Матрица терезесінде бағана және қатар саны көрсеткенен кейін, матрицаның өлшеміне қарай матрица шығарылады. INCERT батырмасын шерткенде матрица өзі қалады, DELETE батырмасын шерту арқылы баған немесе қатардың санын азайтуға болады.

3-сурет – Матрицамен жұмыс

Mathcad программасындағы график тұрғызу. График тұрғызу үшін алдымен саймандар тақтасындағы график батырмасын басқанда төмендегідей график панелі шығады.

Mathcad программасында үш өлшемді графикті тұрғызу. Графикті іске қосу үшін график батырмасын басамыз.

4-сурет – Mathcad программасындағы график тұрғызу

Осы графиктің үстіне апарып, тышқаның оң жағын басқанда Формат менюінен өзімізге қажетін таңдап түрлі есептерді шығарамыз.

Егер бастапқы мән := оператор көмегімен берілсе, онда берілуді (присваивания) локалды деп атайды. Айнымалыға берілу (присваивания) орындалмаған жағдайда ол анықталмайды және оны қолдануға болмайды. белгісінің көмегімен глобалды берілу орнатуға болады (5-суреттегі Пример 1 қараңыз). Қою теңдік белгісін жүйелік теңдеулерді шешкенде қолданылатын жуық теңдік операторы бар.

5-сурет – Математикалық өрнектер

Операторлар – математикалық өрнектер жасауға мүмкіндік беретін Mathcad элементтері. Мысалы бұларға арифметикалық операциялар, қосындыны есептеу белгісі, көбейтінді, туындылар және интегралдар т.б. жатады. Операндыны көрсеткен соң (операторлар параметрлері) операторлар құжат бойынша орындалатын блоктар болады, мысалы 2 + 5 – екі операндалармен қосу операторы.

Mathcad пакетінде көптеген ішкі функциялары бар. Пакеттің негізгі ерекшелігі сыртқы функциялар беру мүмкіншілігі, немесе қолданушы функциясы. Функция аргументтері мен параметрлері арасындағы айырмашылықты айтып кету қажет. Функция атауынан кейін жақшаға алынатын айнымалылар аргументтер болады және олар функцияны есептегенде функция мәндерімен ауыстырылады..

Дискретті аргументтер – Mathcad пакетінде цикл деп аталатын басқару құрылымдарымен өзгертілетін ерекше айнымалылар класы. Бұл айнымалылардың бүтін сандық немесе бастапқы мәннен кейінгі мәнге дейін өзгеретін анықталған қадаммен сан түрінде бекітілген мәндері болады.

Дискретті аргументтер көптеген есептелімдер орындауға немесе векторлар мен матрицалар қалыптастырғанда қайталанатын есептелімдер циклдері Mathcad мүмкіндіктерін кеңейтеді

Массив – бірегей атты анықталған адрестері бар сандық немесе символды элементтердің ақырғы сан жиынтығы. Массивдеп аттары бірдей, бірақ мәндері және индекстері әр түрлі айнымалылар тобын айтамыз. Mathcad пакетінде бірөлшемді (векторлар) және екіөлшемді (матрицалар) кең таралған типтері қолданылады.

Адресі болатын элементтің рет саны индекс деп аталады. Бүтінсанды мәндерде ғана индекс болуы мүмкін. Индекстер ORIGIN жүйелік айнымалының мәніне сәйкес нольден немесе бірден басталуы мүмкін.

Векторлар мен матрицаларды әртүрлі тәсілдермен беруге болады:

· Math->Matricsкомандасының көмегімен,

· дискретті аргументті қолданып.

Қолданушы құжатта көргісі келетін мәтін бөліктерімәтіндік фрагменттер болады. Мәтіндік фрагменттің екі түрі бар: мәтіндік аймақ (region) және мәтіндік диапазон (band). Мәтіндік аймақтарүлкен емес мәтін бөліктеріне (комментарийлер, жазулар және т.б.) арналған. Егер абзацтармен парақтармен жұмыс істеу барысында мәтіндік диапазон қолданылады.

Графикалық аймақтары негізгі үш типке бөлінеді: екіөлшемді графиктер, үшөлшемді графиктер және қойылған графикалық бейнелер. Өңделінген деректердің негізінде Mathcad екіөлшемді және үшөлшемді графиктер жасайды.

Анимациялық клип жасау.Mathcad анимацияны басқару үшін FRAME кіріктірме (встроенная) айнымалысы бар:

· Объектті салып,

· Windows->Animation->Create командасын таңдаймыз.

· Анимация жасайтын жұмыс құжатының бөлігін белгілейміз..

· FRAMEнің жоғарғы және төменгі шектерін орнату.

· At (Темп) өрісіне жаңғырту (воспроизведение) жылдамдық мәнін енгіземіз (кадр/сек).

· Animateтаңдаймыз. Қазір анимация жасалады.

· Анимацияны AVI файл (Save as) сақтаймыз.

· Windows->Animation-> Playbackсақталған анимацияны жаңғыртамыз.

Математикалық өрнектерді енгізу. Өрнектердің жіктелуі (Expand). Символды жіктеу немесе кеңейту операциясы мағынасы жағынан жеңілдету операциясына қарама-қарсы. Жіктеу барысында барлық қосу (сумма) және көбейту ашылады, ал күрделі тригонометриялық тәуелділіктер тригонометриялық тепе-теңдіктер көмегімен ашылады. Өрнектер Symbolics/ Expand (Символика / Разложить) командасының көмегімен немесе символды шығару expand маңызды сөзінің (ключевое слово) операторымен бірге қолданылады.

Өрнектерді Symbolics/Factor (Символика/Разложить на множители) командасының көмегімен немесе factor маңызды сөзінің (ключевое слово) операторын енгізу арқылы қарапайым көбейткіштерге жіктеу қолданылады. Бұл операция полиномдарды (көпмүшелерді) қарапайым полиномдар көбейтіндісіне, ал бүтін сандарды қарапайым көбейтетін сандарға жіктейді. Меню командасын қолдану алдында көбейгішке жіктелетін өрнектерді немесе өрнектер бөлігін белгілеп алу қажет.

6-сурет – Өрнектерді көбейткіштерге жіктеу

Ұқсас қосындылар полиномын меню арқылы келтіру:

· Өрнекті енгізу.

· Ұқсас қосындылар келтірілетін айнымалы атауын белгілеу (төмендегі (суреттегі) мысалда Y айнымалысы).

· Symbolics / Collect (Символика / Привести подобные) командасын таңдаймыз.

Нәтижесінде ұқсас қосындыларға келтіру мынадай болады

7-сурет – Ұқсас қосындыларға келтіру

Қатарлар мен көбейтінділер. Соңғы немесе шексіз қосынды (сумма) немесе көбейтіндіні символды есептеу үшін:

· Қосынды және көбейтінді қоюға қатысты символдарын, Calculus (Вычисления) панелін қолданып өрнекті енгіземіз. Қажет болса қатардың шегі ретінде шексіздік (клавиши <Ctrl>+<Shift>+<Z>) символын енгіземіз

· Керекті символды есептеулер стилін Symbolics / Simplify (Символика / Упростить) команданың көмегімен немесе -> символды операторы енгізіледі.

Сандық және символды есептеулер катарлары мен көбейтінді мысалдары:

Көбейтіндінің символды есебі

Элементарлы бөлшек сандарға жіктеу (Convert to Partial Fractions). Күрделі бөлшек сандарды қарапайым бөлшек сандарға жіктеу үшін Symbolics/ Variable/Convert to Partial Fractions (Символика/Переменная/Разложить на элементарные дроби) командасын қолданамыз (8-сурет), немесе parfrас маңызды сөзін көрсетеміз. Бірінші тәсілді (меню) қолданғанда команда шақырмас бұрын өрнекті белгілеп алуды ұмытпау қажет, ал егер екінші тәсіл қолданылса, онда parfгас маңызды сөзінен кейін айнымалы атауын көрсету қажет.

8-сурет – Жіктеу командасы

Айнымалыларды алмастыру (Substitute). Өрнектерде айнымалылар мәндерін алмастыру операциясы символды есептеулердің ең ыңғайлысы. Меню арқылы алмастыру төмендегідей жүргізіледі (9-сурет):

· Кез келген өрнектегі алмастыратын айнымалы мәнін белгілеңіз.

· Айнымалыны алмастыру буферіне (буфер обмена) көшіреміз.

· Өрнекте алмастыру буферіндегі мәнге ауысатын айнымалыны белгілейміз (5.12-суретте х айнымалысы белгіленген).

· Symbolics / Variable / Substitute (Символика / Переменная / Подставить) командасын орындаймыз.

9-сурет – Айнымалы мәнін алмастыру

Құжатта Symbolic (Символика) панелінен Substitute басқышын басу немесе Substitute маңызды сөз символды операторын қолданып алдыңғы өрнекте айнымалы мәнін алмастыру жүргізіледі. Substitute маңызды сөзінен кейін толтырғыштар орнына қай формуладағы қай айнымалыны алмастыру керектігін көрсететін логикалық өрнекті енгіземіз.

Айнымалы мәндерін алмастыру

Матрицалық алгебра. Mathcad символды процессоры әртүрлі матрицалық есептеулерді аналитикалық орындауға мүмкіндік береді. Матрицаға қолданылатын көптеген операциялар мен орнатылған функциялар кәдімгі сандарға сияқты орындалатындықтан менюдан (Simplify) командасын қолдануға болады.

Бұдан басқа Symbolics/Matrix (Символика/Матрица) менюінде спецификалық матрицалық операцияларды немесе Symbolic (Символика) панеліндегі матрицаға қатысты басқыштар көмегімен орындауға. Матрицалық операциялар тізімі.

· Transpose (Транспонирование);

· Invert (Обратная матрица – кері матрица);

· Determinant (Определитель – анықтағыш).

Операцияларды қолдану алдында өрнекте операция қолданылатын матрицаны белгілеу қажет.

Математикалық анализ. Mathcad символды процессор мүмкіндіктерінің бірі: шектерді, туындыларды, интегралдарды және қатарды жіктеуде аналитикалық есептеулер, сонымен қатар алгебралық теңдеулерді шешу болады. Барлық бұл операциялар Symbolics (Символика) менюінің Variable (Переменная) менюастында орналасқан. Операция қолданылатын айнымалыларды өрнектен белгілеп алу қажет.

Интегрирование (Integrate). Өрнектің қайсы бір анықталған айнымалысы бойынша анықталмаған интегралды есептеу үшін айнымалыны белгілеп Symbolics / Variable / Integrate (Символика / Переменная / Интегрировать) командасын орындау қажет (10-сурет). Төменде анықталмаған интегралдың аналитикалық есептелуі беріледі. Нәтижеде Mathcadта кіріктірме (встроенные) функциялары және де Mathcadта кейбір символды операциялардың нәтижесі ретінде берілетін символды процессор «білетін» тікелей есептелмейтін басқа да арнайы функциялар бар.

10-сурет – Айнымалы арқылы интегралдау

Қатарларға жіктеу (Expand to Series). Mathcadта символды процессор көмегімен өрнекті кез келген х=о нүктесінде х айнымалысы арқылы Тейлор қатарына жіктеуге мүмкіндік береді.

Өрнекті қатарға жіктеу үшін

· Өрнекті енгізу.

· Қатарға жіктелетін айнымалы мәнін белгілеу.

· Symbolics / Variable / Expand to Series (Символика / Переменная / Разложить в ряд) командасын қолдану (11-сурет).

11-сурет – Өрнекті х айнымалы бойынша қатарға жіктеуге дайындау

· Ашылған терезеде аппроксимация ретін (Order of Approximation) енгізіп, ОК басқышын басамыз.

Символды оператор көмегімен альтернативті тәсілмен қатарға жіктеу үшін Symbolic (Символика) панелінен series маңызды сөзі қолданылады. Series маңызды сөзінен кейін үтір арқылы жіктелетін айнымалы атауын және аппроксимация ретін көрсетеміз.

12-сурет – Функция және оның Тейлор қатарына жіктелуі

Әдебиеттер2 нег. [26-35], 2 қос. [6-21]