Жоғарғы ретті тұрақты коэффициентті біртекті емес сызықтық теңдеулер

түріндегі теңдеу n-ретті біртекті емес сызықтық дифференциалдық теңдеу деп аталады.

Теорема. -сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі оған сәйкес біртекті теңдеудің жалпы шешімі мен біртекті емес теңдеудің дербес шешімдерінің қосындысынан тұрады.

y = + y* ,

мұндағы y - сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі, - біртекті теңдеудің жалпы шешімі (оны табуды алдыңғы тақырыпта қарастырғанбыз), y* - сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің дара шешімі, оны біртекті емес теңдеудің оң жағы f(x) функциясына ұқсас анықтаймыз. Ол қалай болатындығы төмендегі кестеде көрсетілген:

f(x)	Сипаттамалық теңдеудің түбірлері	Дара шешімнің түрі
1) eax Pn(x), мұндағы Pn(x) – n-дəрежелі берілген көпмүшелік	a саны – сипаттама теңдеудіңтүбірі емес a саны – сипаттама теңдеудіңr-еселі түбірі	y* = eax P*n (x) y∗ = xreaxP*n (x)
2) eax [ Pn(x) cosbx+ +Qm(x) sinbx ]	a±bi сандар жұбы – сипаттама теңдеудіңтүбірі емес a±bi сандар жұбы – сипаттама теңдеудің r-еселі түбірі	y*=eax[P*k(x)cosbx+Q*k(x)sinbx], мұндағы k=max(m,n)     y*=xreax[P*k(x)cosbx+Q*k(x)sinbx] мұндағы k=max(m,n)

Мысал 1: y^IV+ 8y''+16y = cos x теңдеуінің жалпы шешімін тап.

Шешуі: y = + y*

1) =?

2) y*=?

f(x) = cosx Þ a±bi = 0±1i = i ≠ k₁, k₂, ,k₃ ,k₄

y*=Acosx+Bsinx Þ (y*)^¢= -Asinx+Bcosx Þ

(y*)¢¢= -Acosx-Bsinx Þ (y*)¢²= Asinx-Bcosx Þ (y*)^iv= Acosx+Bsinx

Осы табылған туындыларды бастапқы берілген теңдікке қоямыз:

Acosx+Bsinx+8(-Acosx-Bsinx)+16(Acosx+Bsinx)=cosx

A мен B мəндерін y*-ны анықтау өрнегіне қоямыз:

y*= cos x

Демек, y = + y*= (C₁+xC₃)cos2x+ (C₂+xC₄)sin2x + cosx

Мысал 2: теңдеуінің жалпы шешімін тап.

Шешуі: f₁(x) + f₂(x) = x + (-sinx).

1)

2) түрінде іздейміз, мұндағы:

Þ

Сонымен,

3) f₂(x) функциясын келесі түрде ізделік: .

Þ

Сонымен,

болғандықтан

Ізделінді дара шешім :

Ал біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі:

Аудиториялық жұмыстар

Берілген теңдеулердің жалпы шешімін тап:

1) 2y′′ + y′ − y = 2e^x Жауабы: y = С₁ e^{− x} + С₂ e^x/2 + e^x

2) y′′ + a² y = e^x Жауабы: y =С₁ cosax+С₂ sinax +

3) y′′ − 7y′ + 6y = sin x Жауабы: y = С₁ e^{6 x} + С₂

4) y′′ − 6y′ + 9y = 2x² − x + 3 Жауабы:

5) y′′ − 2y′ + 2y = 2x Жауабы: y = e^x((c₁ ^{cos x+c}₂ ^{sin x)+ x)−1}

6) y′′ + 4y′ − 5y = 1 Жауабы: y = С₁ e^x + С₂ e ^-5x - 0,2

7) у" -2у ' +у= Жауабы:у=е^х(С₁+C₂x-ln +x arctgx)

Й жұмыстары

Берілген теңдеулердің жалпы шешімін анықта.

8) y"−3y′ + 2y = f (x), мұнда f (x) келесі функциялар түрінде берілген:

а) 10e^{− x}

ə) 3e^2x

б) 2sin x

в) 2x³ − 30

г)2e^x cos

д) x − e^−2x+1

е) e^x (3 − 4x)

ж) 3x + 5sin 2x

з) 2e^x − e^−2x

и) sinxsin2x

к) shx

Жауаптары: y = C₁ e^x + C₂ e ^{2 x} + y* , мұнда y* тең:

а) e^−x

ə) 3xe^2x

б)

в)

г) -8/5 +e^x(cosx/2 +2sinx/2)

д)

е) e^x (2x² + x)

ж) (9+3cos2x- sin2x )

з) -2xe^x- e^-2x

и)

к) - e^-x- xe^x

9) 2y"+5y′ = f (x) , егер f (x) тең:

а) 5x² − 2x −1

ə) e^x

б) 29cos x

в) cos² x

г) 0,1e^−2,5x− 25sin 2,5x

д) 29xsin x

е) 100x ⋅ e^{− x} ⋅ cos x

ж) 3 сh x

Жауабы: y = C₁ + C₂ e^{- 5/2 x} + y* , мұнда y* тең:

а)

ə) e^x

б)5sin x − 2cos x

в)

г)cos2,5x+sin2,5x−0,02xe^−2,5x

д)

е)e^−x[(10x +18)sinx − (20x +1)cosx]

ж)

Жоғарғы ретті тұрақты коэффициентті біртекті емес