Свойства аксиоматических систем

Математические структуры и аксиоматические теории

Понятие отношений между объектами

Принято считать, что всякое отношение выражает связи между объектами или, что то же, элементами x, y, … , некоторых множеств A'x, B'y, … . Отношения между двумя элементами xÎA и yÎB называют двухместными или бинарными отношениями. Все такие отношения будем обозначать Ð(x,y), xÎA, yÎB. Отношение Ð (x,y) можно представлять разными способами: описывать словами, изображать чертежами и задавать формулами. Удобным является «язык» множеств. Всякое отношение Ð(x,y) определяет множество P(x,y) упорядоченных пар (x,y) некоторых элементов xÎA и yÎB по следующему правилу:

(x,y) ÎP Û {выполняется Ð (x,y)} (1)

Множество упорядоченных пар (x,y) "xÎA и "yÎB называется декартовым произведением множеств A и B и обозначается A´B.

Следствие 1

Всякое бинарное или двухместное отношение Ð(x,y) между элементами x, y двух множеств A'x и B'y представляется некоторым подмножеством P(x,y)ÌA´B по закону (1). Обратно, всякое подмножество PÌA´B по этому же закону (1) представляет некоторое отношение Ð(x,y).

Пример 1

Пусть A=B=R – множество действительных чисел. Тогда R´R есть декартово произведение евклидовых прямых. Это произведение представляет собой арифметическую модель евклидовой плоскости. (Другими словами, множество числовых упорядоченных пар (x,y), "xÎR, "yÎR представляет все точки евклидовой плоскости.)

Определение

Отношение Ð(x,y) между элементами множества M называется отношением эквивалентности, обозначим его Ð(x,y)º(x~y), если выполняются три условия:

Рефлексивности x~x;

Симметричности: если x~y, то y~x;

Транзитивности: если, x~y, y~z, то x~z.

Примеры отношений эквивалентности: числовые равенства, конгруэнтность фигур, подобие фигур, параллельность прямых и т.д.

Любое отношение эквивалентности Ð(x,y) для (x,y)ÎM´M определяет новое множество классов эквивалентности: два элемента x,yÎM попадают в один класс тогда и только тогда, когда x~y. Множество классов эквивалентности называется фактор множеством M по отношению Ð и обозначается M/Ð или M/P, что равносильно в силу следствия 1.

Отношение эквивалентности разбивает множество M на непересекающиеся классы. Обратно, всякое разбиение M на непересекающиеся классы задает на M отношение эквивалентности. Действительно, если M=M ÈM È…ÈM … и M ÇM =Æ при i¹j, то отношение принадлежности элементов одному классу (xÎM )Ù(yÎM )ºÐ(x,y) удовлетворяет условиям 1) – 3) отношения эквивалентности.

Следствие 2

Задание отношения эквивалентности на некотором множестве равносильно разбиению этого множеств на непересекающиеся подмножества.

Аналогично двухместному определяются n–местные отношения между элементами x ÎA ,…,x ÎA некоторых множеств A , …, A .

Декартово произведение A ´A ´…´A есть множество упорядоченных наборов (x ,x ,…,x ) элементов x ÎA ,…,x ÎA . n–местное отношение Ð(x ,…,x ) представляется некоторым подмножеством PÌ A ´A ´…´A по закону

{ Ð(x ,x ,…,x ) выполняется} Û (x ,x ,…,x )ÎPÌ A ´A ´…´A