Одноканальная СМО с ожиданием и ограниченной очередью

Рассмотрим теперь одноканальную СМО с ожиданием.

Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание поток имеет интенсивность λ. Интенсивность потока обслуживания равна μ (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать μ обслуженных заявок). Длительность обслуживания — случайная величина, подчи­ненная показательному закону распределения. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.

Рассмотрим систему с ограниченной очередью. Предположим, что независимо оттого, сколько требований по­ступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N-требований (заявок), из которых одна обслуживается, а (N-1) ожидают, Клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены об­служиваться в другом месте и такие заявки теряются.

Обозначим - вероятность того, что в системе находится n заявок. Эта величина вычисляется по формуле:

Здесь - приведенная интенсивность потока. Тогда вероятность того, что канал обслуживания свободен и в системе нет ни одного клиента, равна: .

С учетом этого можно обозначить

Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N-1):

вероятность отказа в обслуживании заявки:

относительная пропускная способность системы:

абсолютная пропускная способность:

А=q∙λ;

среднее число находящихся в системе заявок:

среднее время пребывания заявки в системе:

;

средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:

W_q=W_s- 1/μ;

среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди):

L_q=λ(1-P_N)W_q.

Рассмотрим пример одноканальной СМО с ожиданием.

Пример 9.2. В зону таможенного контроля в пункте пропуска автомобили въезжают по системе электронной очереди. Каждое окно оформления прибытия/убытия представляет собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих оформления , ограниченно и равно 3, то есть (N-1)=3. Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже находится три автомобиля, то очередной автомобиль в зону таможенного контроля не пропускается, т.е. в очередь на обслуживание не становится. Поток автомобилей, прибывающих на оформление имеет интенсивность λ=0,85 (автомобиля в час). Время оформления автомобиля распределено по показательному закону и в среднем равно =1,05 час. Требуется определить вероятностные характеристики окна оформления прибытия/убытия пункта пропуска, работающего в стационарном режиме.

Решение.

Интенсивность потока обслуживаний автомобилей:

.

Приведенная интенсивность потока автомобилей определяется как отношение интенсивностей λ и μ, т.е.

.

Вычислим вероятности нахождения п заявок в системе:

;

P₁=ρ∙P₀=0,893∙0,248=0,221;

P₂=ρ ²∙P₀=0,893²∙0,248=0,198;

P₃=ρ ³∙P₀=0,893³∙0,248=0,177;

P₄=ρ ⁴∙P₀=0,893⁴∙0,248=0,158.

Вероятность отказа в обслуживании автомобиля:

P_отк=Р₄= ρ ⁴∙P₀≈0,158.

Относительная пропускная способность окна оформления:

q=1–P_отк=1-0,158=0,842.

Абсолютная пропускная способность окна оформления

А=λ∙q=0,85∙0,842=0,716 (автомобиля в час).

Среднее число автомобилей, находящихся на обслуживании и в очереди (т.е. в системе массового обслуживания):

.

Среднее время пребывания автомобиля в системе:

часа.

Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди на обслуживание:

W_q=W_s-1/μ=2,473-1/0,952=1,423 часа.

Среднее число заявок в очереди (длина очереди):

L_q=λ∙(1-P_N)∙W_q=0,85∙(1-0,158)∙1,423=1,02.

Работу рассмотренного окна оформления можно считать удовлетворительной, так как не обслуживается в среднем 15,8% случаев (Р_отк=0,158).