Теоремы умножения вероятностей

Вероятность события А, вычисления в предположении, что событие В уже произошло , называется условной вероятностью.

V В урне (J обобщенное название любой непрозрачной емкости с любыми одинаковыми на ощупь предметами) находятся 3 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают по одному шару без возвращения. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании, если первый извлеченный шар был черным.

Ï Событие В – первый вытащен черный шар.

Событие А – вторым вытащен белый.

N

Понятие условной вероятности играет важнейшую роль в современной теории вероятностей и математической статистике. Условная вероятность позволяет учитывать дополнительную информацию о событиях.

Формула для определения условной вероятности:

Доказательство:

-общее число элементарных исходов - число исходов, благоприятствующих А - число исходов, благоприятствующих В

Нам известно, что событие В уже произошло (т.е. число возможных исходов сократилось до тех, которые благоприятствуют событию В). Теперь, при определении вероятности события А нам нужно выбирать из возможных исходов. Причем, среди них событию А благоприятствуют исходов, при которых происходит и А и В. Тогда

При выводе мы осуществили переход к новому пространству элементарных исходов ( ).<

Условной вероятностью события А при условии события В называется отношение вероятности произведения событий А и В к вероятности события В:

.

V Испытание: бросание кости.

Событие В: выпадение 4 или 6 очков.

Событие А₁ : выпадение четного числа очков.

Событие А₂ : выпадение 3, 4 или 5 очков.

Событие А₃ : выпадение нечетного числа очков.

Найти условные вероятности

Ï 1. А₁*В=В

2.

3. N

Рассмотрим два события А и В. Пусть известны и . Как найти вероятность совместного появления события А и В - ?

Теорема. Вероятность совместного появления 2-х событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие произошло:

.

Доказательство: смотри определение условной вероятности. <

Следствие. Вероятность совместимого появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже произошли:

_.

Порядок нумерации событий значения не имеет.

V В урне находятся 5 белых, 4 черных и 3синих шара.

Испытание: извлекают шар, смотрят и откладывают в сторону (выборка без возврата). Найти вероятность того, что первый извлеченный шар был белым, второй – черным, третий – синим.

Ï Пусть событие А: 1-й шар – белый, В: 2-й шар –черный, С: 3-й шар – синий.

. N

НЕЗАВИСИМЫЕ И ЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ

Рассмотрим два события А и В. Вероятность назовем безусловной, а вероятность соответственно условной. Наступление события В может влиять или не влиять на вероятность события А, т.е. может быть равна , а может и нет.

События А и В, имеющие ненулевые вероятности, называются независимыми, если или .

В противном случае события А и В называются зависимыми. Свойство независимости взаимно.

Теорема умножения вероятностей для независимых событий:

Доказательство:

,т.к.события независимы, то и <

Два события называются независимыми, если вероятность их произведения равна произведению их вероятностей:

На практике о независимости событий судят по смыслу задачи. Например, если говорится о том, что стреляют два стрелка, то события «попал 1-й стрелок» и «попал 2-й стрелок» считаются независимыми (J конечно, если стрелки стреляют по мишени, а не друг в друга).

V Найти вероятность попадания в мишень обоими лучниками, если вероятность попадания 1-го равна 0.5, а 2-го -0.8?

Ï Пусть событие А: попал 1-й стрелок, событие В: попал 2-й стрелок. Тогда событие АВ – попал и 1-й и 2-й лучник.

N

Несколько событий называются попарно независимыми, если независимы каждые два из них.

Введем понятие независимости в совокупности.

События называются независимыми в совокупности, если вероятность произведения любых двух событий равна произведению вероятностей этих событий; вероятность произведения любых трех событий равна произведению вероятностей этих событий; … ; вероятность произведения любых n событий равна произведению вероятностей этих событий:

События

.

Из независимости событий в совокупности следует их попарная независимость, но не наоборот.