Практичне заняття 3. формула повної ймовірності. формула бейєса

1. Формула повної ймовірності.

2. Формула Бейєса

Задача. На двох верстатах-автоматах виробляють однакові деталі, які надходять на транспортер. Продуктивність першого верстата утричі більша, ніж другого, причому перший верстат виробляє нестандартну деталь з імовірністю 0,15, а другий – з імовірністю 0,2. Знайти ймовірність того, що навмання взята з транспортера деталь буде стандартною.

Розв’язання. Розглянемо події: А – «вибрана деталь стандартна»; – «деталь виготовлено на першому верстаті»; – «деталь виготовлено на другому верстаті». Події і несумісні й утворюють повну групу, що ж до події А, то вона може відбутись одночасно з кожною із цих подій. Умовні ймовірності настання події А відомі. Згідно з умовою, що продуктивність першого верстата утричі більша, ніж другого, знаходимо За формулою повної ймовірності маємо:

Задача. Партію виготовлених деталей перевіряли два контролери. Перший перевірив 45 %, а другий – 55 % деталей. Імовірність припуститися помилки під час перевірки для першого контролера становить 0,15, для другого – 0,1. Після додаткової перевірки в партії прийнятих деталей виявлено браковану. Оцінити ймовірність помилки для кожного контролера.

Розв’язання. Розглянемо події: А – «виявлено браковану деталь». – «деталь перевіряв перший контролер»; – «деталь перевіряв другий контролер»; Події і несумісні й утворюють повну групу. Подія А відбулась одночасно з однією із цих подій, імовірності яких потрібно переоцінити. Застосуємо формулу Байєса.

Отже, більш імовірно, що помилки припустився перший контролер.

Задача. Маємо дві партії однакових виробів. Перша складається з 15 стандартних і 4 нестандартних, друга – із 18 стандартних і 5 нестандартних виробів. Із навмання вибраної партії взято один виріб, який виявився стандартним. Знайти ймовірність того, що другий навмання взятий виріб також буде стандартним.

Розв’язання. Розглянемо події: – «перший виріб взято з першої партії»; – «перший виріб узято з другої партії»; А – «перший узятий виріб стандартний»; С – «другий узятий виріб стандартний». За формулою повної ймовірності знаходимо ймовірність події А:

За формулою Байєса обчислюємо умовні ймовірності і

Імовірність події С знаходимо за формулою:

Умовні ймовірності такі:

Отже,

Задача. Деталь може надійти для обробки на перший верстат із імовірністю 0,2, на другий верстат – із імовірністю 0,3 і на третій – із імовірністю 0,5. При обробці деталі на першому верстаті ймовірність допустити брак дорівнює 0,01, на другому і третьому верстатах ця ймовірність відповідно дорівнює 0,05 і 0,08. Оброблені деталі вміщують в одну шухляду. Навмання взята звідти деталь виявилась бракованою. Яка ймовірність того, що її обробляв перший верстат?

Відповідь. .

Задача. Клапани, виготовлені цехом заводу, перевіряють три контролери. Імовірність того, що клапан потрапить на перевірку до першого контролера дорівнює 0,3, до другого – 0,5 і до третього – 0,2. Імовірність того, що бракована деталь буде виявлена для першого, другого і третього контролерів відповідно дорівнює 0,95, 0,9, 0,85. Під час повторної перевірки відбракованої деталі вона виявилась бракованою. Яка ймовірність того, що цю деталь перевіряв третій контролер?

Відповідь. .