Математические утверждения и их структура

Понятия и утверждения служат логическими единицами алгебры высказываний и предикатов, которые, в свою очередь, являются разделами математической логики. Без логики в математике невозможно ни теорему доказать, ни формулу вывести, ни задачу решить. Основное занятие математиков – вовсе не счет (как многие полагают), а логические или, иначе говоря, дедуктивные рассуждения – выводы, доказательства. С помощью логики выводятся из уже имеющихся в математике фактов новые факты.

В этом и заключается основное назначение и сила логики: с ее помощью, имея некоторый запас достоверных (истинных) знаний, можно получать новые знания, не прибегая к наблюдению или эксперименту, а лишь размышляя и рассуждая по определенным правилам.

Понятие. Содержание и объем понятия

Изучая любой предмет в школе, вы всегда изучали различные новые слова, смысл и значение которых вам раскрывались в процессе изучения предмета. Например, в ботанике, вы изучали понятие «тычинка». В математике понятие «квадрат». Вы знаете, что квадрат это прямоугольник с равными сторонами. При объяснении значения слова «квадрат», использовались другие слова «прямоугольник», «равные стороны». Что же такое понятие? Понятие – это есть результат выделения и обобщения предметов или явлений некоторого класса по их существенным и отличительным признакам. При этом под словом «признак» мы понимаем свойства, по которым предметы (явления) отличаются друг от друга.

Обратимся снова к понятию «квадрат». Укажем его свойства: квадрат имеет четыре стороны, четыре прямых угла, равные диагонали и др.

Среди свойств объекта различают свойства существенные и несущественные для его выделения из других объектов. Свойство считают существенным для объекта, если оно присуще этому объекту, и без него он не может существовать. Несущественные свойства – это такие свойства, отсутствие которых не влияет на существование объекта. Так для квадрата существенными свойствами являются: наличие четырех равных сторон, четырех прямых углов, равных диагоналей и др. Несущественными свойствами являются: расположение квадрата на плоскости, длина сторон квадрата и др.

Совокупность всех, взаимосвязанных существенных свойств объекта называется содержанием понятия.

Когда говорят о математическом объекте, то обычно имеют в виду всю совокупность объектов, обозначаемых одним термином (словом, названием). Так, когда говорят о квадрате, то имеют в виду все геометрические фигуры, являющиеся квадратами.

Множество всех объектов, обозначаемых одним и тем же термином, называется объемом понятия.

Таким образом, всякое понятие характеризуется термином, содержанием, объемом.

П р и м е р ы.

1) Понятие «больше». Содержанием этого понятия являются следующие свойства: «а не больше а», «если а больше в, то в не больше а», «если а больше в и в больше с, то а больше с». Объемом этого понятия служат все отношения «больше» на любых множествах, обладающие тремя перечисленными свойствами: «больше» на R, «больше» на множестве отрезков, на множестве людей и т.д.

2) Понятие «число». Содержание этого понятия включает в себя такие свойства: выполнять над ними арифметические действия, находить значения числовых функций и др. Объем этого понятия зависит от того, что мы в точности понимаем под этим словом. Если это слово употребляется в начальной школе, то в объем этого понятия входят натуральные числа и 0. Далее понятие «число» расширяется, т.е. объем его увеличивается от натуральных чисел к целым, от целых чисел к рациональным, от рациональных чисел к действительным.

3) Понятие «параллелограмм». Содержание этого понятия: иметь четыре стороны, попарно параллельные стороны, равные противолежащие углы и др. Объем этого понятия – множество всех параллелограммов, обладающих перечисленными свойствами. Если в содержание добавим свойство «иметь прямые углы», то получится уменьшение объема этого понятия. Вместо всех параллелограммов будут определяться только прямоугольники. Если же убрать свойство «попарно параллельные стороны», то объем понятия возрастет – в него будут входить все трапеции (или все четырехугольники, в зависимости от определения).

Таким образом, изменение в содержании понятия влечет за собой изменение в объеме понятия и наоборот. Между содержанием и объемом понятия существует, в некотором смысле, обратная зависимость.

Если в объем понятия входит только один предмет, оно называется единичным. Примеры единичных понятий: пустое множество, центр Земли, значение функции у = 5х + 1 в точке х = 2 и т.д. Если объем понятия содержит более одного предмета, то оно называется общим. Например, окружность, точка, тетраэдр, уравнение, тождество, задача, теорема – общие понятия.

Если объем одного понятия содержится в объеме другого понятия, то второе понятие называется родовым по отношению к первому понятию. Говорят также, что оно является более общим, чем первое. Первое же понятие является по отношению ко второму видовым или более частным. Например, понятие «больше на» является видовым по отношению к понятию «больше», а понятие «больше» – родовое по отношению к понятию «больше на». На диаграммах Эйлера-Венна родовые и видовые понятия изображаются как множества и подмножества.

Рассматриваемые в математике истины формулируются в виде предложений. Главнейшие из них следующие: определения, теоремы и аксиомы.