Модуль 2. Математические утверждения и их структура

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ АВТОНОМНОЙ РЕСПУБЛИКИ КРЫМ

РВУЗ «КРЫМСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (Г. ЯЛТА)

ГЛУЗМАН Н.А.

НАЧАЛЬНЫЙ КУРС МАТЕМАТИКИ

Модуль 1. Множества

Модуль 2. Математические утверждения и их структура

Модуль 3. Различные подходы к построению множества целых неотрицательных чисел

Модуль 4. Геометрические фигуры и величины

Ялта, 2008

УДК

ББК

Печатается по решению ученого совета Крымского гуманитарного университета от ___ 2008 (протокол №___)

Глузман Н.А. Начальный курс математики: Учебное пособие по изучению курса „Математика” – Ялта: Редакционно-издательский центр КГУ, 2008. - 311 с.

Рецензенты:

Яковец В.П. – доктор физико-математических наук, профессор, зав.кафедрой высшей математики Нежинского государственного университета им.Н.В.Гоголя

Игнатенко Н.Я. –доктор педагогических наук, профессор, заслуженный работник образования Украины, первый проректор РВУЗ „Крымский гуманитарный университет (г. Ялта)

В учебном пособии изложены теоретические основы начального курса математики. Профессионально–педагогическая направленность учебного пособия обеспечивается за счет отбора теоретического материала и методических подходов к его изложению.

Учебное пособие адресовано преподавателям математики педагогических факультетов по специальности: «Начальное обучение» университетов, институтов и колледжей, аспирантам и студентам, учителям начальной школы.

СОДЕРЖАНИЕ

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА...........................................................................
СТРУКТУРА КУРСА.............................................................................................
МОДУЛЬ 1. МНОЖЕСТВО
Тема 1. Множества и операции над ними......................................................
Практическая работа. Понятие множества...................................................
Тема 2. Операции над множествами..............................................................
Практическая работа. Операции над множествами....................................
Тема 2.1. Понятие разбиения множества на классы...................................
Практическая работа. Разбиение множества на классы............................
Тема 2.2. Декартово произведение множеств..............................................
Практическая работа. Декартово произведение........................................
Тема 3. Понятие соответствия ......................................................................
Практическая работа. Соответствия между двумя множествами......................................................................................................
Тема 4. Числовые функции.............................................................................
Практическая работа. Функция и ее свойства.............................................
Тема 5. Отношения на множестве..................................................................
Практическая работа. Отношения на множестве.........................................
Тема 6. Выражение. Уравнение. Неравенство.............................................
Практическая работа. Выражения и их преобразования. Числовые равенства и неравенства с одной переменной...........................................
Практическая работа. Уравнения и неравенства с одной переменной.........................................................................................................
Контрольная (зачетная) работа......................................................................
МОДУЛЬ 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ УТВЕРЖДЕНИЯ И ИХ СТРУКТУРА
Тема 7. Математические понятия...................................................................
Практическая работа. Математические понятия.........................................
Тема 8. Высказывания и высказывательные формы...............................
Практическая работа. Высказывания и высказывательные формы..................................................................................................................
Тема 8.1. Высказывания с квантором. Отрицание высказываний и высказывательных форм................................................................................
Практическая работа. Высказывания с кванторами. Отрицание высказываний и высказывательных форм................................................
Тема 8.2. Отношения следования и равносильности между предложениями..................................................................................................
Практическая работа. Отношения следования и равносильности между предложениями.....................................................................................
Тема 8.3. Структура теоремы. Виды теорем.................................................
Практическая работа. Структура теоремы. Виды теорем..........................
Тема 9. Математическое доказательство......................................................
Практическая работа. Математическое доказательство............................
Тема 10. Текстовая задача и процесс ее решения.......................................
Практическая работа. Текстовая задача и процесс ее решения................................................................................................................
Тема 11. Комбинаторные задачи и их решение...........................................
Практическая работа. Комбинаторные задачи и их решение................................................................................................................
Вопросы для коллоквиума..............................................................................
МОДУЛЬ 3. ЦЕЛЫЕ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Тема 12. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел….
Семинарское занятие. История возникновения понятия натурального числа……………………………………………………………………………………..
Тема 13. Теоретико-множественный подход к построению натурального ряда чисел. Теоретико-множественный смысл арифметических действий…………………………………………………………
Практическая работа. Теоретико–множественный смысл суммы, разности, произведения, частного и отношения «меньше»……………….
Тема 14. Позиционные и непозиционные системы исчисления…………
Практическая работа. Запись целых неотрицательных чисел…………..
Тема 15. Алгоритмы действий над целыми неотрицательными числами…………………………………………………………………………………
Практическая работа. Алгоритмы арифметических действий...…………
Тема 16. Отношение делимости и его свойства...........................................
Практическая работа. Делимость натуральных чисел...............................
Тема 17. О расширении множества натуральных чисел............................
Практическая работа. Действия над положительными действительными числами..............................................................................
Вопросы для коллоквиума..............................................................................
МОДУЛЬ 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И ВЕЛИЧИНЫ
Тема 18. Натуральное число как мера величины. Измерение величин..
Практическая работа. Понятие положительной скалярной величины...
Практическая работа. Обоснование выбора действий при решении текстовых задач в начальной школе.............................................................
Тема 19. Геометрические фигуры на плоскости и их свойства................
Практическая работа. Решение геометрических задач...............................
Практическая работа. Основные задачи на построение на плоскости...
Тема 20. Изображения пространственных фигур........................................
Практическая работа. Изображение пространственных фигур на плоскости.............................................................................................................
Тема 21. Геометрические величины...............................................................
Практическая работа. Геометрические величины…………………………...
Список литературы............................................................................................

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Центральным, ключевым вопросом деятельности высшей школы был и остается вопрос обеспечения качества подготовки специалистов. В связи с этим учебный процесс в вузе, как система организационных и дидактических мер, должен быть направлен не только на реализацию содержания образования на определенном образовательном уровне, но и на организацию с учетом возможностей современных технологий обучения и ориентирован на высокий конечный результат – формирование образованной, гармонично развитой личности, способной к постоянному обновлению научных знаний, профессиональной мобильности и быстрой адаптации к переменам и развитии в социально-культурной сфере, системах управления и организации труда в условиях рыночной экономики.

Сегодня в университетах осуществлен комплекс организационно-педагогических мер по обеспечению внедрения кредитно-модульной системы организации учебно-воспитательного процесса с использованием системы ЕСТS.

Модульно-рейтинговое обучение - это такая система организации учебного процесса, которая базируется на индивидуализации и дифференциации обучения, обеспечивает стимулирующую и развивающую функцию получения знаний, их самостоятельность и мобильность в процессе личностно-ориентированного обучения.

Основным средством модульного обучения является модульная программа, которая состоит из отдельных модулей (частей, разделов). Модуль включает в себя отдельные учебные элементы, которые могут быть представлены: теоретическими и практическими занятиями; упражнениями и тренингами; ролевыми и деловыми играми и т.д.

В соответствии с положением университета о рейтинговой системе обучения, учитывая особенности учебного предмета математики, в частности, количество отведенных на него аудиторных часов, цели и задачи курса разработана модульная программа по математике для студентов специальности: «Начальное обучение». Содержание данной программы реализовано в данном учебном пособиии.

Цель курса математики на педагогическом факультете по специальности «Начальное обучение» – сформировать у студентов математические знания, умения и навыки, необходимые учителю начальных классов для:

- обучения младших школьников математики по альтернативным программам;

- ориентирования в содержании математики средней и старшей школы;

- дальнейшей самостоятельной работы по углублению и расширению математических знаний;

- понимания использования математических методов в других науках.

- Задачи курса

- раскрыть значение математики в общем и профессиональном образовании человека;

- раскрыть психолого-педагогический аспект усвоения предмета;

- раскрыть взаимосвязь школьного курса математики с математикой начальных классов;

- воспитывать у будущих учителей начальных классов творческий подход к решению проблем преподавания математики;

- сформировать умения и навыки самостоятельного анализа процесса обучения;

- создать благоприятные условия для реализации самообразования.

Исходя из этих требований к математической подготовке учителя начальных классов в вузе, содержание материала по математике при модульной организации обучения, можно распределить по следующим отдельным учебным единицам (модулям):

Модуль 1. Множества.

Модуль 2. Математические утверждения и их структура;

Модуль 3. Различные подходы к построению множества целых неотрицательных чисел;

Модуль 4. Геометрические фигуры и величины.

Выделение модулей «Множества» и «Математические утверждения и их структура» связано с необходимостью обеспечить логическую грамотность учителя. Такая подготовка нужна ему не только для усвоения арифметического, алгебраического и геометрического материала курса, но и, ее высокий уровень, является залогом успешной работы учителя по развитию умственной деятельности младших школьников, методологической основой его методической деятельности, осуществляемой учителем как в процессе ознакомления учащихся с новыми понятиями и их свойствами, так и в процессе освоения ими этого материала. Чтобы формировать у детей умение логически рассуждать, развивать их мышление, учителю необходимы знания об особенностях математических понятий, предложений, доказательств; учитель должен знать операционный состав основных приемов умственной деятельности, возможность применения их в учебном процессе. Естественно и сам учитель должен владеть соответствующими логическими умения и обобщенными приемами умственной деятельности. Так как основной задачей современной начальной школы является умственной развитие младших школьников. Данные модули можно рассматривать и как необходимый для понимания трактовки курса начальной математики. В модуль «Множество» включен и алгебраический материал, чтобы систематизировать содержащийся в стандарте алгебраический материал, что позволит углубить алгебраическую подготовку учителя за счет освоения этого материала на более высоком теоретическом уровне.

Изучение модулей «Различные подходы к построению множества целых неотрицательных чисел»,«Геометрические фигуры и величины» позволит подготовить будущего учителя к грамотному и осознанному изучению арифметического и геометрического материала учащимися в начальной школе. Осваивая материал этих двух модулей, студенты должны также уточнить и расширить свои представления о величине и ее измерении.

Исходя из этого, после изучения курса «Математика» студент должен уметь:

- изображать при помощи кругов Эйлера отношения между множествами и выполнять над ними операции;

- производить разбиение множества на классы с помощью свойств и отношений; оценивать правильность выполненной классификации;

- анализировать логическую структуру определений понятий, находить логические ошибки в определениях знакомых понятий;

- пользоваться определениями при решении задач на распознавание принадлежности объекта объему данного понятия;

- анализировать логическую структуру высказываний (высказывательных форм) и находить значение истинности составных высказываний (в том числе высказываний с кванторами);

- строить отрицание высказываний различной структуры;

- устанавливать наличие (отсутствие) отношения логического следования (равносильности) между высказывательными формами;

- строить дедуктивные рассуждения, используя правила заключения, отрицания, силлогизма; устанавливать правильность умозаключений при помощи кругов Эйлера;

- строить умозаключения, используя обобщенные процессуальные и содержательные приемы умственной деятельности (в частности, аналогию, индукцию и дедукцию);

- распознавать прямую и обратную пропорциональность при различных способах задания функции;

- формулировать свойства знаковых бинарных отношений на множестве и определять их вид;

- решать текстовые задачи различными методами и способами; обосновывать выбор действия при арифметическом методе решения, используя соответствующую математическую теорию;

- иллюстрировать примерами из учебников математики для начальной школы различные подходы к определению натурального числа и действий над числами;

- рационально выполнять и обосновывать устные и письменные вычисления с натуральными и положительными рациональными числами;

- записывать числа в различных позиционных системах счисления и производить над ними арифметические действия;

- решать элементарные задачи на построение с помощью циркуля и линейки в объеме, определенном содержанием обучения;

- решать несложные задачи на доказательство и вычисление числовых значений геометрических фигур;

- изображать на плоскости призму, прямоугольный параллелепипед, пирамиду, цилиндр, конус, шар, используя правила проектирования.

При модульном контроле ведущей формой сообщения новой информации является лекция,в ходе которой, преподаватель ориентирует студентов на самостоятельное творческое овладение материалом, дает установки и рекомендации для следующей самостоятельной работы над учебниками и пособиями. На лекции, которая выполняет информативную функцию, предлагаются обобщенные, узловые вопросы определенной темы учебной дисциплины, выясняются методы и алгоритмы решения основных задач темы. В лекционном курсе раскрываются цели и задачи изучения определенной темы, структура, идеи и методы начального курса математики, ознакомление будущих учителей начальных классов с основыми вопросами методологии математики.

Цель практических занятий – научить решать задачи по математике различных типов, решать уравнения и неравенства с одной переменной, строить графики различных видов функции, упращать выражения с переменной и десятичными дробями, решать геометрические задачи на построение, вычисление и доказательство и т.д.

На практических и семинарских занятиях, кроме строгого выполнения плана занятия, необходимо организовать проверку самостоятельной работы студентов по подготовке теоретического материала, который будет актуализироваться на занятии. Преподаватель специально отводит несколько минут в начале занятия для проверки готовности студентов к работе на практическом занятии, проверки состояния выполнения домашних задач, которые предлагались студентам на занятиях, выставляет оценки.

Практическая работа состоит из заданий различной сложности. Они делятся - на обязательные и творческие (по желанию студента) задания. Каждая обязательная задача сдается преподавателю студентом индивидуально. Оценивается задача соответствующей оценкой (или определенным баллом при 10-балльной системе). Если студент сдает преподавателю задания не своевременно (без уважительных причин), то оценка снижается (или студент получает лишь 0,5 балла). В случае, если студент обязательные задачи не выполнил, то он получает оценку "неудовлетворительно" (или от рейтинга студента отнимается 1 балл за каждую задачу). За каждую творческую задачу студенту выставляется дополнительная оценка (или дополнительно 2 балла).

Самостоятельная учебная работа студентов завершает решение задач всех других форм обучения в высшей школе. Самостоятельная работа не только формирует навыки и умения самостоятельного поиска знаний, которые важны для осуществления непрерывного образования на протяжении всей будущей профессиональной деятельности, а и имеет важное воспитательное значение, поскольку формирует самостоятельность как положительную черту характера, которое играет существенную роль в структуре личности современного специалиста высшей квалификации.

Самостоятельная работавключает в себя задачи для студентов, которые выполняются во вне учебное время. Они делятся - на теоретические и практические. Теоретические вопросы выносятся на коллоквиум или проверяются в форме экспресс-опроса на практических занятиях, который проводится в форме 10-15 минутной контрольной работы, тестового машинного (компьютерного), или без машинного контроля или устного опрашивания, практические задания сдаются индивидуально.

Оценка знаний студента за каждый модуль осуществляется с учетом всего объема учебного модуля и выставляется в зачетке по результатам контроля, который проводится в виде: письменной контрольной работы; тестирования; методом накопления оценок; коллоквиума

Проведение контрольной работы осуществляется двумя преподавателями по принятой для данного модуля методике. Контрольная работа включает в себя, как правило, два теоретических и два практических вопроса (или расчетные задачи). К каждой задаче преподаватель предлагает литературу из перечня, который предлагался на лекции. Преподавателем к каждому модулю разрабатывается не меньше 15 вариантов контрольных работ. Контрольная работа оценивается четырех балльной оценкой (а при 10-балльной системе - каждая задача оценивается баллами, при этом за оригинальность ответа преподаватель может прибавить еще и поощрительный балл).

При тестировании большого количества вопросов оценку осуществляет ЭВМ с помощью заданной программы. Если тестирование осуществляется без использования ЭВМ, оценка устанавливается пропорционально количеству верных ответов.

Одним из средств контроля за изучением теоретического материала являются коллоквиумы, которые проводятся не чаще как 1-2 раза на семестр. Коллоквиум ставит цель выяснить уровень понимания прочитанного теоретического материала и того, что выносится на самостоятельную работу, обнаружить проблемы и вопросы, которые возникли у студентов во время самостоятельной работы.

Модульная оценка — это итог оценок (или баллов), полученных студентом в результате выполнения контрольного задания во время модульного контроля, а также при текущих формах контроля на коллоквиумах, практических, лабораторных, семинарских занятиях и за выполнение индивидуальных задач, предусмотренных учебным планом.

Знания студентов оцениваются по 10-ти балльной шкале целыми числами от 2 до 10. Неявка студентов в определенное время на модульный контроль (контрольную работу, защиту) отражается в ведомости проставлением цифры "0" - нуль.

СТРУКТУРА КУРСА

Тема	Количество часов, отведенных на:
Лекции	Практические занятия	Самостоятельную работу
Модуль 1. МНОЖЕСТВА
Тема 1. Понятие множества и элемента множества
Тема 2. Операции над множествами
Тема 3.Соответствия между двумя множествами
Тема 4.Числовые функции
Тема 5.Отношения на множестве
Тема 6.Выражение. Равенство. Неравенство.
Всего за модуль	14	16	24
Модуль 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ УТВЕРЖДЕНИЯ И ИХ СТРУКТУРА
Тема 7.Математические понятия
Тема 8.Математические предложения. Высказывание и высказывательные формы
Тема 9.Математическое доказательство
Тема 10. Текстовая задача и процесс ее решения
Тема 11.Комбинаторные задачи. Решениекомбинаторных задач
Коллоквиум
Всего за модуль	14	10	30
Модуль 3. МНОЖЕСТВО ЦЕЛЫХ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Тема 12.Аксиоматическое построение системы натуральных чисел
Тема 13.Теоретико-множественный подход к построению натурального ряда чисел. Теоретико-множественный смысл арифметических действий
Тема 14.Позиционные и непозиционные системы исчисления
Тема 15.Алгоритмы действий над целыми неотрицательными числами
Тема 16. Отношение делимости и его свойства
Тема 17.О расширении множества натуральных чисел
Коллоквиум
Всего за модуль
Модуль 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И ВЕЛИЧИНЫ
Тема 18. Натуральное число как мера величины. Измерение величин
Тема 19.Геометрические фигуры на плоскости и их свойства
Тема 20. Изображения пространственных фигур
Тема 21. Геометрические величины
Экзамен
Всего за модуль
Всего за год

МОДУЛЬ 1. МНОЖЕСТВА

В конце XIX века в математической науке возникла необходимость уточнить смысл таких ведущих понятий, как функция, непрерывность. Для этого нужно было строго определить, что такое натуральное число. Поиски ответа на эти сложные вопросы способствовали развитию математических идей, поэтому в конце XIX – начале XX столетия происходил пересмотр старых представлений буквально во всех областях математических знаний. В результате в конце XIX века возникла новая область математики – теория множеств, одним из создателей которой был немецкий математики Георг Кантор. За небольшой срок теория множеств стала фундаментом математической науки.

Этот модуль знакомит с некоторыми основными понятиями теории множеств. Знания в этой области нужны учителю начальных классов, во–первых, для понимания содержания начального курса математики, независимо от того, явно или неявно в нем используются теоретико–множественные понятия: во–вторых, для освоения таких важных с профессиональной точки зрения понятий, как взаимно однозначное соответствие, отношение, число, геометрическая фигура.

Студент должен уметь:

· изображать при помощи кругов Эйлера отношения между множествами и выполнять над ними операции;

· производить разбиение множества на классы с помощью свойств и отношений; оценивать правильность выполненной классификации;

· формулировать свойства знаковых бинарных отношений на множестве и определять их вид.

Введение

Успешное обучение математике младших школьников требует от учителя не только мастерства, но и глубокого понимания сути математических понятий и факторов. Дело не только в том, что в начальных классах закладываются основы таких важнейших понятий, как «число» и «величина», происходит ознакомление с элементами буквенной символики и геометрии, развиваются логические умения, но и в том, что многие математические понятия младшие школьники используют без строгих определений, а во многих случаях и неявно. Все это предъявляет особые требования к математической подготовке учителя начальных классов. Он должен владеть понятиями натурального числа и величины, знать различные определения арифметических действий над числами, их свойства, уметь выполнять и объяснять устные и письменные вычисления, обосновывать выбор действия и устанавливать вид зависимости между величинами при решении текстовых задач. Учителю необходимо и умение использовать уроки математики для воспитания учащихся, в частности для формирования у них основ научного мировоззрения.

Математика, как и другие науки изучает окружающий нас мир, природные и общественные явления, но изучает лишь их особые стороны. Например, в геометрии изучают форму и размеры предметов, не принимая во внимание другие их свойства: цвет, массу, твердость. От всего этого отвлекаются, абстрагируются. Поэтому в геометрии вместо слова «предмет» говорят: «Геометрическая фигура».

Результатом абстрагирования являются и такие важнейшие математические понятия, как «число» и «величина».

Вообще, любые математические объекты – это результат выделения из предметов и явлений окружающего мира количественных и пространственных свойств и отношений и абстрагирования их от всех других свойств. Следовательно, математические объекты реально не существуют, нет в окружающем нас мире геометрических фигур, чисел и т.д. Все они созданы человеческим умом в процессе исторического развития общества и существуют лишь в мышлении человека.

Более того, при образовании математических объектов происходит не только абстрагирование от многих свойств предметов, но и приписывание им таких свойств, которыми никакие реальные предметы не обладают. Например, свойство неограниченной протяженности в обоих направлениях – прямой не обладает ни какой реальный предмет.

Эта лекция будет посвящена одному из таких математических объектов - понятию множества.

Примеры

Выпишем все подмножества множества А = {2, 3, 4}.

Среди них будут одноэлементные подмножества: {2}, {3}, {4}, двухэлементные: {2, 3}, {3, 4}, {2, 4}, а также само множество А: {2, 3, 4} и Æ. Таким образом, данное множество А имеет 8 подмножеств.

Обратимся теперь к множествам А = {a, b, c, d, e} и В = {c, a, b, e, d}. Они пересекаются, и каждый элемент множества А является элементом множества В, т.е. А Ì В, и, наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А, т.е. В Ì А. В этом случае говорят, что множества А и В равны.

Определение. Множества А и В называются равными, если АÌ В и В Ì А.

Если множества А и В равны, то пишут: А = В.

Круги Эйлера-Венна

Из определения вытекает, что равные множества и отношения с множествами удобно иллюстрировать при помощи графических схем, в которых множества представляются в виде кругов, овалов или любых других геометрических фигур и предполагается, что в этих геометрических фигурах заключены все элементы данного множества. Такие геометрические фигуры называются кругами Эйлера, по имени немецкого математика Леонарда Эйлера, который в 1762 году приспособил эту геометрическую фигуру для логических целей.

Например, отношение включения между множествами А = {a, b, c, d, e} и В = {c, e, d} можно изобразить при помощи кругов Эйлера так:

Множества А = {a, b, c, d, e} и B = {b, d, k, e} Пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого, поэтому при помощи кругов Эйлера они изображаются так:

Непересекающиеся множества изображают при помощи двух кругов, не имеющих общих точек.

Установить отношения между множествами – важное умение для учителя. Дело в том, что математика и другие науки изучают не только определенные объекты и явления, но и взаимосвязи, в том числе и отношения между множествами.

Выясним, например, как связаны между собой множества А четных чисел и множество В чисел, кратных 4. В каком из случаев, представленных на рисунках, отношения между данными множествами изображены верно?

Из рисунка следует, что все четные числа делятся на 4, что не верно: можно назвать числа, которые не делятся на 4, например 14. Этот контрпример сразу делает невозможным равенство данных множеств, т.е. случай представленный на следующем рисунке:

Следующий рисунок говорит о том, что среди чисел, кратных 4, есть четные, но есть и такие, которые не делятся на 2, что не верно: нетрудно доказать, что любое число, кратное 4, четно.

Следовательно, множество чисел, кратных 4, является подмножеством множества четных чисел. Эта связь изображена на последнем рисунке.

Так же как и понятие множества, понятие подмножества в начальной школе в явном виде не изучается, но задач, связанных с выделением части некоторой совокупности, учащиеся решают много.

Например

«Среди данных четырехугольников укажи прямоугольники».

«Назови среди данных чисел четные» и т. д.

Теоретическая часть

Вопросы к изучению

Основные понятия

Ø множество;

Ø элемент множества;

Ø характеристическое свойство элементов множества;

Ø подмножество;

Ø равные множества.

Обозначения

а Î А – «а принадлежит множеству А»;

b Ï А - «b не принадлежит множеству А»;

А = {1, 2, 3, 4} - запись множества А путем перечисления всех его элементов;

А = { х | х Î N и х > 5} - запись множества А путем указания характеристического свойства его элементов;

А Ì B - « А – подмножество В»;

А = В – «Множества А и В равны».

Практическая часть

Обязательные задания

1. Назовите три элемента множества: а) учебных предметов, изучаемых в начальной школе; б) четных натуральных чисел; в) четырехугольников.

2. В – множество четных чисел. Зная это, запишите с помощью символов следующие предложения: 1) число 20 четное; 2) число 17 не является четным.

3. Запишите, используя символы: а) Число 14 – натуральное; б) Число – 7 не является натуральным; в) Число 0 – рациональное; г) - число действительное.

4. Даны числа: 325, 0, - 17, -3,8, 7. Установите, какие из них принадлежат множеству: 1) натуральных чисел; 2) целых чисел; 3) рациональных чисел; 4) действительных чисел.

5. Прочитайте следующие высказывания и укажите среди них истинные: 100 Î N; 2) –8 Î Z; 3) –8 Ï N; 4) 5,36 Î Q; 5) 102 Ï R; 6) ÎQ; 7) –7 Î R; 8) ÎN; 9) 0 Î Z.

6. Р – множество натуральных чисел, больших 7 и меньше 14. Выясните, какие из чисел 13, 10, 5, 7, 14 ему принадлежат, а какие не принадлежат. Ответ запишите, используя знаки Î и Ï.

7. А – множество решений уравнения х² + 1 = 0. Верно ли, что А – пустое множество? Приведите примеры уравнения, множество решений которого состоит из: а) одного элемента; б) двух элементов; в) трех элементов.

8. Запишите с помощью знака равенства и фигурных скобок предложения: 1) Х – множество чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5; 2) У- множество букв в слове «математика».

9. Множество С состоит из квадрата, круга и треугольника. Принадлежит ли этому множеству диагональ квадрата?

10. Перечислите элементы следующих множеств: А – множество нечетных однозначных чисел; В - множество натуральных чисел, не меньших 5; С – множество двузначных чисел, делящихся на 10.

11. Укажите характеристическое свойство элементов множества: а) {а, е, е, и, о, у, э, ю, я, ы}; б) {23, 22, 21, 20, 19, 18, 17, 16, 15 }; в) {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}.

12. Изобразите на координатной прямой множество решений неравенства ( х- действительное число): х > 5,3; 2) х £ -3,8; 3) – 4,5£ х < 4; 4) 2,7 £ х £ 9.

13. Найдите множество действительных корней уравнения: 1)3х=х+8; 2) 3х+5=3(х+1); 3) 3(5х+10)=30+15х; 4) х (х+16)=0.

14. А - множество двузначных чисел, запись которых оканчивается цифрой 1. Принадлежит ли этому множеству числа 28, 31, 321, 61?

15. Дано множество А = {5, 10, 15, 25}. Укажите два подмножества, равные множеству А.

16. Известно, что элемент асодержится в множестве А и в множестве В. Следует ли отсюда, что: 1) А Ì В; 2) В Ì А; 3) А = В?

17. Известно, что каждый элемент множества А содержится в множестве В. Верно ли, что тогда: 1) А Ì В; 2) А = В?

18. Из множества К = {216, 546, 153, 171, 234} выпишите числа, которые: 1) делятся на 3; 2) делятся на 9; 3) не делятся на 4; 4) не делятся на 5. Есть ли среди полученных подмножеств такое, которое равно множеству К?

19. Установите, в каком отношении находятся множества решений неравенств и сами неравенства: 1) х < 12 и х < 10; 2) х < 12 и х > 15; 3) х < 12 и х > 10; 4) х < 12 и –3х > -36.

20. Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между множествами А и В, если: 1) А – множество четных чисел, В – множество чисел, кратных 3; 2) А - множество квадратов, B- множество прямоугольников; 3) А – множество квадратов, В – множество прямоугольных треугольников; 4) А – множество квадратов, B – множество прямоугольников с равными сторонами.

21. Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между множествами А, В и С, если известно, что: 1) А Ì В и В Ì А; 2) А Ì В, С пересекается с В, но не пересекается с А; 3) А, В и С пересекаются, но ни одно не является подмножеством другого.

Творческие задания

1. Запишите множеств