Изучение законов колебательного движения

Цель работы: изучение колебательного движения тел на примере математического и физического маятников, определение ускорения сво­бодного падения.

Приборы и принадлежности: математический маятник, оборотный маятник, электронный счетчик-секундомер.

Теоретические сведения

Колебаниями называются движения или процессы, которые ха­рактеризуются определенной повторяемостью во времени. Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания, при которых ко­леблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса). Дифференциальное уравнение гармонических колебаний:

или . (6.1)

Решением уравнения (6.1) является выражение

или ,

где х - изменяющаяся величина, t - время, А - амплитуда колебаний, т.е. максимальное отклонение колеблющейся величины от положения равновесия, - циклическая (круговая) частота, - начальная фаза (рис.6.1).

Рис.6.1

Физический смысл циклической частоты состоит в том, что она численно равна числу полных колебаний, совершаемых за секунд, т.е , где Т - период колебаний, т.е. время, за которое совершается одно полное колебание, - частота колебаний, т.е. число пол­ных колебаний,

совершаемых за единицу времени; - фаза ко­лебания в момент времени t. Фаза колебания - функция времени, она определяет, какую

часть от амплитуды А составляет смещение х в данный момент времени:

,

где - начальная фаза коле­бания в момент времени t=0.

Простейшие механические колебания происходят под действием упругой возвращающей силы F= - kx. В этом случае движение материальной точки описывается уравнением:

или .

Разделив обе части этого уравнения на m, получим:

или , (6.2)

где - собственная циклическая частота свободных незатухающих колебаний.

В качестве примера свободных колебаний рассмотрим колебания маят­ников - математического и физического.

Математическим маятником называется идеализированная си­стема, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тя­жести (рис. 6.2,а).

а) б)

Рис. 6.2

В положении равновесия (точка А) сила тяжести уравно­вешивается натяжением нити . Если маятник отклонить от положения равновесия в точку С на некоторый угол , то составляющая силы , направленная вдоль нити F₂= , уравновесится натяжением нити Т, а дру­гая составляющая силы тяжести F₁= , перпендикулярная нити, стре­мится вернуть маятник в положение равновесия. Эта сила является возвращающей, или квазиупругой силой. Квазиупругая сила – это сила, не упругая по своей природе, но аналогичная упругой силе по ви­ду ее зависимости от смещения; она всегда направлена в сторону, про­тивоположную смещению, и при малых углах отклонения пропорцио­нальна смещению х.

Относительно точки подвеса О на маятник действует вращающий момент, модуль которого равен

,

где 1 - плечо силы .

При малых углах , выраженных в радианах, и

. (6.3)

По основному уравнению динамики вращательного движения

, (6.4)

где - момент инерции материальной точки относительно горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса О.

Поскольку вектор момента силы имеет противоположное направление вектору угла отклонения от вертикальной линии, то

. (6.5)

Приравнивая правые части выражений (6.4) и (6.5), получаем

или

в проекциях на горизонтальную ось, проходящую через точку подвеса О

.

Отсюда

, (6.6)

где

и P=mg.

Из уравнения (6.6) следует, что

= 0 или

. (6.7)

Полученное уравнение имеет вид, аналогичный дифференциальному уравнению (6.2). Поэтому можно заменить , где ω – циклическая собственных колебаний математического маятника.

Тогда период собствен­ных колебаний математического маятника

. (6.8)

Физический маятник - это твердое тело, совершающее под дей­ствием силы тяжести колебания вокруг неподвижной оси подвеса О, не проходящей через центр масс тела С (рис. 6.2,б).

При отклонении физического маятника на угол составляющая силы тяжести F₁= стремится возвратить маятник в положение равновесия. Для ма­лых углов

F₁=mg sin = mg .

Возвращающий момент М, создаваемый силой F₁

M=L·F₁=L·mg· (6.9)

где L=OC - плечо силы F₁.

Колебания физического маятника описываются основным уравнением

динамики вращательного движения (6.4).

Используя выражения (6.6) и (6.9) и заменяя l на L, находим

,

, (6.10)

где - момент инерции физического маятника относительно горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса О.

Уравнение (6.10) аналогично дифференциальным уравнениям (6.2) и (6.7). Поэтому

,(6.11)

где ω – циклическая собственных колебаний физического маятника.

Отсюда находим период собственных колебаний физического маятника

. (6.12)

Выражение называется приведенной длиной физического маятника.

Приведенной длиной физического маятника называется длина некоторого воображаемого математического маятника, который имеет тот же период колебаний, что и данный физический маятник

. (6.13)

Точка К на прямой, соединяющей точку подвеса О с центром тяжести С, лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания физического маятника (рис. 6.3.). Приведен­ная длина 1_пр всегда больше L, поэтому точка подвеса и центр качания лежат по разные стороны от центра тяжести.

Рис. 6.3

Согласно теореме Гюйгенса, точка подвеса и центр качания обладают свойством взаимности: при переносе точки подвеса в центр ка­чания прежняя точка подвеса стано­вится новым центром качания. Сле­довательно, при переносе точки под веса в центр качания период колеба­ний маятника остается прежним.

Таким образом, если подобрать у физического маятника такие несимметричные относительно центра тяжести положения двух парал­лельных осей подвеса, чтобы период колебаний относительно них был одинаков, то расстояние между этими осями будет равно приведенной длине физического маятника. Измерив, это расстояние и период колеба­ний, можно по формуле (6.13) найти ускорение свободного падения g.

Маятник, имеющий две параллельные друг другу трехгранные призмы, на которые он может поочередно подвешиваться, называется оборотным маятником.

Описание установки

Общий вид установки, включающей в себя математический и оборотный маятники, показан на рис. 6.4.

Основание (1) оснащено регулируемыми ножками (2), которые позволя­ют произвести выравнивание прибора. В основании закреплена колонка (3), на которой зафиксирован верхний кронштейн (4) и нижний крон­штейн (5) с фотоэлектрическим датчиком (6).

После отвинчивания воротка (11) кронштейн можно поворачивать во­круг колонки. Затяжение воротка (11) фиксирует кронштейн в любом, произвольно избранном положении. С другой стороны кронштейна (4) находится математический маятник (7), с другой - на вмонтированных вкладышах оборотный маятник (8).

Математический маятник представляет собой массивный шарик небольшого радиуса, подвешенный на длинной нити для того, чтобы ко­лебания происходили строго в одной плоскости. Длину математического маятника можно регулировать при помощи воротка (9), а его величину можно определить при помощи колонки (3).

Рис. 6.4

Оборотный маятник представляет собой стальной стержень (8), на котором могут перемещаться и закрепляться в различных положениях опорные призмы (12) и тяжелые чечевицы (13). Призмы и чечевицы закрепляются приблизительно так, как показано на рис. 6.4, и маятник подвешивается на кронштейне (4) на одной из призм. На стержне через 10 мм выполнены кольцевые нарезания, служащие для точного определения длины оборотного маятника (расстояние между призмами (12) на рис. 6.4).

Нижний кронштейн вместе с фотоэлектрическим датчиком можно перемещать вдоль колонки и фиксировать в произвольно избранном положении.

Фотоэлектрический датчик соединен разъемом с привинченным к основанию универсальным миллисекундомером (10).

Порядок выполнения работы

Задание1. Определение ускорения свободного падения с помощью

оборотного маятника.

Ускорение свободного падения, измеряемое при помощи оборотного маятника, вычисляется по формуле

, (6.14)

где l_пр - приведенная длина оборотного маятника, равная расстоянию между призмами, м; Т_об - период колебаний маятника, с.

, (6.15)

где t - время колебаний, (с), n - количество измеренных полных колебаний.

1. Закрепить чечевицы (13) на стержне оборотного маятника несимметрично

(рис. 6.4), т.е. таким образом, чтобы одна из них находилась вблизи конца стержня, а другая вблизи его середины. Призмы маятника (12) закрепить по обеим сторонам центра тяжести, чтобы они были обращены друг к другу лезвиями. Одну из них поместить вблизи свободного конца, а вторую на половине расстояния между чечевицами. Проверить, отвечают ли грани лезвий призм нарезаниям на стержне

2. Закрепить маятник на верхнем кронштейне на грани призмы, находящейся вблизи конца стержня.

3.Нижний кронштейн вместе с фотоэлектрическим датчиком закрепить так,
чтобы стержень маятника пересекал оптическую ось.

4.Отклонить маятник на 4 - 5° от положения равновесия и отпустить. Нажать
клавишу «сброс», после подсчета измерителем 9 полных колебаний нажать
клавишу «стоп». Секундомер покажет время 10 полных колебаний. По формуле (6.15) определить период колебаний оборотного маятника Т_об.

5. Снять маятник и закрепить его на второй призме. Нижний кронштейн с

фотоэлектрическим датчиком переместить так, чтобы маятник пересекал оптическую ось.

6. Отклонить маятник на 4 - 5° от положения равновесия, измерить период колебания Т и сравнить результат с полученной раньше величиной Т_об.

7. Если Т>Т_об , то вторую призму, расположенную между чечевицами,

переместить в направлении чечевицы, находящейся в конце стержня, а если Т<Т_об - то в направлении середины стержня. Размещения чечевицы в первой призме не менять.

8. Повторно измерить период Т и сравнить с величиной Т_об. Изменять положение второй призмы до момента получения равенства Т=Т_об точностью до 0,5%.

9. Определить приведенную длину оборотного маятника 1_пр, подсчитывая
количество нарезаний на стержне между призмами, которые нанесены через
каждые 10 мм.

10. Заполнить таблицу результатов измерений (табл. 1)

11.По формуле (6.14) определить среднее ускорение свободного падения . Рассчи­тать погрешность определения g по формулам:

.

Таблица 1

№	n	t,c	Tоб,c	n	t,c	T,c	ΔT,c	lпр,м
			, с			, с

12. Записать окончательный результат в виде g = ( ± Δg).

Задание 2. Определение ускорения свободного падения с помощью

математического маятника.

Определение ускорения свободного падения при помощи математи­ческого маятника осуществляется путем формулы, следующей из (6.8),

, (6.16)

где g - ускорение свободного падения, м/с²; l - длина математического маятника, м; Т – период колебаний математического маятника, с.

1.Поворачивая верхний кронштейн, поместить над фотоэлектрическим датчиком математический маятник.

2. Вращая вороток на верхнем кронштейне, установить длину математического маятника, равную приведенной длине оборотного маятника l_пр (определенной в задании 1). Обратить внимание на то, чтобы черта на шарике была продолжением черты на корпусе фотоэлектрического датчика.

3. Ввести математический маятник в движение, отклоняя шарик на 4-5° от положения покоя.

4. Нажать кнопку «сброс». После подсчета измерителем 9 колебаний нажать кнопку «стоп».

5. По формуле (6.8) определить период колебаний математического маятника T. Измерения периода выполнить 5 раз. Сравнить период Т для математического маятника с периодом Т для физического маятника.

6. Заполнить таблицу результатов измерений (табл.2)

Таблица 2

№	l, м	n	t, c	T, c	, c	ΔT, c

7. По формуле (6.16) определить ускорение свободного падения.

8. Рассчитать погрешность определения g по формуле:

9. Записать окончательный результат в виде g= ( ±Δg)

10. Сравнить значения ускорения свободного падения g, полученные с помощью математического и оборотного маятников.

Контрольные вопросы

1. Дать определение понятий: гармоническое колебание, амплитуда, частота, период, фаза, начальная фаза. Записать уравнение гармониче­ского колебания.

2. Нарисовать графики гармонических колебаний, отличающихся друг от друга:

- амплитудой,

- частотой,

- фазой,

- начальной фазой.

3. Как определить скорость, ускорение, энергию колеблющейся точки?

4. Что называется физическим маятником, математическим маятником,
приведенной длиной физического маятника?

5. Вывести формулы периода колебаний физического и математического
маятников. Сравнить их.

6. Сформулировать теорему Гюйгенса. Рассказать, где она применяется
в данной работе.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7

ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ СВЯЗАННЫХ СИСТЕМ

Цель работы: Определение частоты синфазных и противофазных колебаний сопряженных маятников, изучение биения двух сопряженных маятников и

изучение вынужденных колебаний одного маятника.

Приборы и принадлежности: Связанные маятники, секундомер, электродвигатель.

Теоретические сведения

Связанными маятниками называются система, состоящая из N физических маятников, упруго связанных между собой (пружина, резина и т.д.).

Колебания связанных маятников

Рис. 7.1

Колебательная система из 2-х маятников представлена на рис. 7.1: где m₁ – масса 1-го маятника; m₂ – масса 2 –го маятника; m₀ – масса грузика связи; d – расстояние «связи» от точек подвеса грузов.

Уравнения движения связанных маятников запишутся:

(7.1)

(7.2)

где - длины маятников; - углы отклонения маятников от положения равновесия.

Пусть m₁=m₂ и , складывая и вычитая уравнения (7.1), (7.2) получим систему:

; (7.3)

, (7.4)

где Q₁=j₁+j₂; Q₂=j₁-j₂.

Общие решения уравнений (7.3), (7.4) имеют вид:

;

,

переходя от переменных Q₁ и Q₂ к j₁ , j₂ имеем:

; (7.5)

, (7.6)

где Q₁ и Q₂ – нормальные колебания (моды); w₁ и w₂ – нормальные частоты системы; А и В – амплитуды 1-го и 2-го маятников; - начальные фазы колебаний 1-го и 2-го маятников.

Из уравнений (7.5), (7.6) получим начальные условия для отклонений и скоростей маятников:

(7.7)

(7.8)

(7.9)

. (7.10)

Синфазные колебания

Синфазные колебания – это колебания, при которых маятники имеют одинаковые фазы.

Предположим, что длины маятников одинаковы, тогда из уравнений (7.7), (7.8), (7.9), (7.10) видно, что:

если В=0, то в начальный момент при t=0

т.е. оба маятника отклонены на одни и тот же угол и имеет одну и туже скорость.

Маятники будут совершать колебания с частотой w₁ и эти колебания называются синфазными. Частота w₁ определяется по формуле

Рис. 7.2

- циклическая частота, - частота колебаний.

Противофазные колебания.

Из уравнений (7.7), (7.8), (7.9), (7.10) видно, что:

если А=0, то в начальный момент при t=0

;

т.е. маятники имеют одинаковые, но противоположно направленные скорости и отклонены на равные углы в разные стороны.

Рис. 7.3

Противофазные колебания совершаются с частотой w2, которая определяется по формуле: . (7.11)

В данной установке связь между маятниками осуществляется пружинами и формула для f₂ имеет вид:

(7.12)

или

где k – жесткость пружин;

d – расстояние между точкой подвеса и точкой соединения пружин;

m – масса грузов;

- длина маятников.

Биения.

Анализ выражения (7.11) показывает, что в случае слабой связи m₀d<<m наблюдаются периодические изменения амплитуды колебаний маятников – биения. Для 2-х маятников с пружинной связью происходит при случае 2kd²<<mg , амплитуда отклонения одного маятника убывает, у другого увеличивается. Когда первый маятник останавливается, другой колеблется с максимальной амплитудой, далее происходит обратный процесс. При биениях оба маятника колеблются с частотой равной полусумме нормальных частот, а амплитуда их колебаний изменяется с частотой, равной разности нормальных частот. В этом случае период результирующего колебания определяется по формуле (7.12), а период колебаний, обуславливающих биение, определяется формулой (7.13).

Рис. 7.4

; (7.13)

. (7.14)

Вынужденные колебания связанных систем.

Если к одному из маятников приложена сила, изменяющаяся по гармоническому закону, то наблюдаются вынужденные колебания связанной системы, которые описываются уравнением:

, (7.15)

. (7.16)

Сложив выражение (7.15) с выражением для затухающих колебаний (7.16)

(7.17)

Вычитая из выражения (7.15) выражение (7.16) получим

. (7.18)

Уравнения (7.17) и (7.18) не связаны и являются уравнениями гармонического осциллятора с затуханием и вынуждающей силой .

Из уравнений (7.17), (7.18) получим:

При изменении частоты вынуждающей силы наблюдается резонанс при совпадении частоты w с w₁:

w₁=w - первый резонанс;

w₂=w - второй резонанс.

Ход работы

Включить «сеть» прибора. Нажать кнопку «сброс».

1. Определение частоты синфазных колебаний сопряженных маятников.

1.1. Устанавливаем одинаковые грузы на одинаковой длине .

1.2. Оба маятника отклонить на одинаковый угол не более 10⁰ в одну сторону и отпустить.

1.3. Отсчитать n₁ колебаний, нажать кнопку «стоп», записать время колебаний t₁ в табл.1.

1.4. Подсчитать частоту колебаний

. (7.19)

Подсчитать теоретическую частоту синфазных колебаний по формуле

(7.20)

где g=9,81 м/с² – ускорение свободного падения;

- длина маятника, м;

f₁ – частота синфазных колебаний, Гц.

1.6. Сравнить экспериментальный и теоретический результаты.

1. Определение частоты противофазных колебаний сопряженных маятников.

2.1. Оба маятника отклонить на одинаковый угол не более 10⁰ в противоположные стороны и отпустить.

2.2. Отсчитать n₂ колебаний, нажать кнопку «стоп», измерить время колебаний t₂ и записать в таблицу.

2.3. Подсчитать частоту колебаний

. (7.21)

2.4. Подсчитать теоретическую частоту противофазных колебаний по формуле

. (7.22)

где 2К=100 Н/м – сумма масштабов двух пружин; d – расстояние между точкой подвешивания маятника и точкой другого соединения, м; Р – вес груза, Н; g=9,81 м/с² – земное ускорение; - длина маятника, м;

Сравнить экспериментальные и теоретические результаты.

Таблица

№	Вид колебаний	Число периодов, n	Время колебаний, с	Частота колебаний, Гц	Теорет. частота колебаний, Гц	Расхож-дение, %
	Синфазные
	Противофазные
	Биения	Т1
Т2

2. Изучение «биения» двух сопряженных маятников.

3.1. Уменьшаем длину подвеса «связи» d.

3.2. Проверяем справедливость соотношения 2kd²<<mg .

3.3. Отклоняем один из маятников из положения равновесия на угол не более 10⁰.

3.4. Рассчитать f₁ и f₂ по формуле и частоту колебаний маятников .

3. Изучение вынужденных колебаний для одного маятника.

4.1. Вывести маятник из положения равновесия

4.2. Включить двигатель.

4.3. Изменяя частоту внешней силы наблюдать явления:

- отклонения маятника совпадающее по направлению с вынуждающей силой;

- резонанса (при фазе w₀@w);

- отклонения маятника противоположное направлению действия силы.

Контрольные вопросы

1. Дать определение колебательного движения. Гармонические колебания и его характеристики.

2. Записать общие решения уравнений для системы двух связанных маятников и выражения для собственных частот.

3. Дать определение синфазных и противофазных колебаний. Записать выражения для частот при пружинной связи между маятниками.

4. В чем заключается явление «Биения».

5. Дать определение вынужденных колебаний.

6. При каких условиях наблюдается явление резонанса. Учет явления резонанса на практике.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №8