Математиканы оқытудағы абстракциялау және нақтылау.

Лекция

Жоспары:

1. Абстракциялау

2. Бірдейге сайып ұқсастандыру абстракциясы (жалпылаушы абстракция) немесе бірдейге саю абстракциясы.

3. Идеализация абстракциясы.

4. Актуальды теңсіздігі абстракциясы.

5. Потенциалды жүзеге асырылатын абстракция.

1. Абстракциялау

Абстракциялау (лат.абстракцион – алыстау, дерексіздендіру) объектінің зерттеушіні қызықтыратын бір немесе бірнеше жақтарын ойша бөліп алу арқылы, оның елеусіз қасиеттерінен, белгілерінен, қатыстарынан ойша алыстау (ауытқу) болып табылады.

Абстракциялау үдерісі күрделі екі сатылы сипатта болады. Бірінші сатыда объектінің зерттеушіні қызықтыратын жақтары, қасиеттері мен құбылыстарының елеулілері елеусіздерінен ажыратылады, яғни абстракциялауға дайындық кезеңі жүзеге асырылады.

Екінші сатыда зерттеліп отырған объекті оның моделімен ауыстырылып, абстракциялау немесе дерексіздендіру жүзеге асады.

Абстракциялау әдісі математикада ерекше орын алады, себебі математика ғылымы абстрактілі ұғымдар болатын кеңістіктегі пішіндер және сандық қатынастарды зерттейді.

Абстракциялаудың математикада жиі қолданылатын мынадай түрлері бар:

2. Бірдейге сайып ұқсастандыру абстракциясы (жалпылаушы абстракция) немесе бірдейге саю абстракциясы.

Бұл зерттелінетін объектілердің бір-біріне ұқсайтын, бірінен бірін ажыратып тұратын қасиеттерін есепке алмастан, сонымен бір мезгілде ол объектілердің барлығына бірдей ортақ касиеттерді бөліп алу деп түсініледі. Абстракциялаудың бұл түрі математикада ең маңыздылардың бірі болып есептеледі.

Мысалға, “үшбұрыш” сөзін алайық. Бұл сөз бен аталған ұғым абстракциялау нәтижесінде келіп шығады. Көптеген тұйықталған сынық сызықтардың ішінен барлығына ортақ белгісі болатын үш кесіндіден тұратын фигура бөліп алынады. Ол таңдап алынған фигураның басқа белгілері – кесінділердің ұзындықтарының арақатынасы, бұрыштарының шамасы т.б. есепке алынбайды. Қарастырылып отырған барлық объектілер класын бірдейге сайып ұқсастыра отырып абстрактілі “үшбұрыш” ұғымына келеміз.

Кез келген ұғым, оның ішінде математикалық ұғым да, табиғатта бар заттардың мәнді белгілерін абстракциялау арқылы пайда болады. Бірақ математикалық ұғымдар заттар мен құбылыстардың нақтылы мазмұнын елемей, олардың барлығына ортақ мөлшерлік қатыныстар мен формаларды ғана бейнелейді. Академик Ә.Нысанбаевтың сөзімен айтқанда “математика заттардың өзін емес, сол заттардың бейнесі болатын белгілерін және абстрактілі құрылымы мен функцияларын зерттейді. Математика абстрактілі объектілермен тікелей қатынаста болады. Бірақ материалдық объекті мен математикалық объектіні шатастырмау қажет. Математикалық объекті материалдық объектінің дәл өзі емес, оның күрделі абстракция нәтижесінде пайда болатын көшірмесі, бейнесі, яғни абстрактілі объект (нүкте, түзу, сан, жиын, топ, функция, оператор, құрылым т.б.)” [35]. Айталық, бөлмедегі орындықтардың санын есептейтін болсақ, біз олардың түсіне, сапасына көңіл аудармаймыз, санына ғана көңіл аударамыз. Қанша адамға орындық керек, қаншасы бар, қаншасы жоқ, жетпейтіні қанша? – соны білуге ұмтыламыз. Басқа заттарды санағанда да олардың физикалық қасиетіне назар салмастан тек олардың санын білуге тырысамыз. Сондай-ақ қандай да бір ыдыстың сыйымдылығын анықтау қажет болса, ол ыдыстың қандай материалдан жасалғанына мән бермей, оның пішінін ғана ескереміз. Екі қаланың ара қашықтығын есептегенде қалаларды нүкте, керулі тұрған жіпті түзу сызық ретінде қарастырамыз. Жіптің жуандығы немесе оның қандай материалдан ширатылғандығы ескерілмей қалады. Осылайша абстракциялау нәтижесінде математикалық ұғымдар пайда болады.

Табиғи ғылымдардың математиканың айырмашылығы, оның ұғымдарының бірнеше сатылы (кемінде екі сатылы) абстрактілігінде.

Адам өзінің санасында бірдей сипатқа ие болатын бірнеше объектілерді біріктірсе және осы заттар класын бір атпен атайтын болса (мысалы, кітап, қой, жылқы), онда ол абстрактілі ұғым алғаны. Сонда бұл ұғым абстракциялаудың қарапайым түрі – бірдейге сайып абстракциялау (немесе бірдейге саю) нәтижесінде пайда болады. Абстракциялаудың осы түрінің жәрдемімен алғашқы математикалық ұғымдар пайда болады. Олардың ішіндегі ең бастысы – сан ұғымы. Мысалы, бала үш элементтен тұратын, әр түрлі заттарға (үш ойыншық, үш алма, үш саусақ) бақылау жасай отырып, өзі бұрын естіп жүрген “үш” сөзі мен заттардың саны арасындағы сәйкестік бар екендігін ұғынады. Содан үш элементтен тұратын әр түрлі барлық жиындарға тән, олардың мөлшерін білдіретін “үш” саны туралы ұғым пайда болды.

Математикалық ұғымдар пайда болатын абстракцияның тағы бір түрі – идеализация абстракциясы. Өлшемі жоқ нүкте, қалыңдығы жоқ сызық т.б. алғашқы геометриялық ұғымдар абстракцияның осы түрі негізінде келіп шыққан. Жер бетінде әр жаққа тартылған жіп немесе сым темір, дәптер бетіндегі сызық басқаларды біз бір класқа біріктіріп қана қоймаймыз, санамызда идеалды “сызық” ұғымының бейнесін жасаймыз. Сонымен, “сызық” сөзі заттарды белгілі бір класқа жатқызумен ғана шектеліп қоймай, идеалды бейнені жасаумен де байланысты болады. Бізді қоршаған дүниеде үш қой, үш ағаш т.б. ұғымдар бар, бірақ онда математикалық сызық ұғымы жоқ. “Сызық” ұғымы заттардың ортақ қасиеттерін жалпылаумен бірге, ол ортақ қасиеттерді идеалдап тұр.

Идеализациялау абстракциясы бойынша көптеген математикалық ұғымдар куб, тікбұрышты параллелопипед, шар т.б. пайда болады.

Математикалық ұғымдар осылайша пайда болғанымен, математика үшін нақтылы да болып табылады. Енді математикалық ұғымдарды олардың жалпы сипаттағы белгілер бойынша біріктіріп тағы да бір, екінші рет абстракциялаймыз (абстракциядан абстракция). Мысалы, барлық төртбұрышты фигураларды қарастыра отырып, олардың қандай да белгілері бойынша параллелограмм, тіктөртбұрыш, квадрат ұғымдарына көшеді. Бұл тағы да бірдейге саю абстракциясы болып табылды. Бірақ бұл жерде материалдық дүниенің заттары емес, қалыптасқан абстрактілі математикалық ұғымдар біріктіріледі.

Математикалық ұғымдардың басты ерекшелігі олардың шындық дүние заттарын тікелей емес, жанама түрде бейнелеуінде.

Математика абстракциялаудың екінші сатысымен де шектеліп қалмайды. Көптеген математикалық ұғымдар келесі абстракциялау нәтижесінде пайда болған. Олардың ішінде жазықтықтағы және кеңістіктегі фигуралардың тең шамалық ұғымы, одан кейінгі абстракциялау көлем ұғымы болады. Қазіргі математиканың маңызды ұғымдары болатын топ және өріс, векторлық кеңістік т.б. – көп сатылы абстракциялау нәтижесі.

Көп сатылы абстракциялау нәтижесінде пайда болған математикалық ұғымдарды өмірде қолдануға болмайды деген жаңсақ пікір тумауы керек. Кемінде екі рет абстракциялау кезінде пайда болатын көлем ұғымы біздің күнделікті тіршілігімізде кең түрде қолданылады. Ал топ, өріс, көп өлшемді векторлық кеңістік т.б. ұғымдар ғылым мен техникада қолданыс табуда.

3. Идеализация абстракциясы. Бұл объектініңелеулі қасиеттерін дерексіздеу ғана емес, бұрмаланған түрдегі объектінің елеулі қасиеттерін бейнелейтін модельдің идеаландырылған қасиеттерін бөліп алу арқылы, нақты объектіні идеалды, абстрактілі модельмен ауыстыру болып табылады.

Идеализация абстракциясы арқылы “нүкте”, “түзу”, “бет”, “жазықтық” т.б. математикалық ұғымдар пайда болған “Материалдық нүкте”, “идеалды газ”, “абсолют қатты нүкте”,“абсолют қара дене” т.б. идеалды ұғымдарсыз физика ғылымының дамуын көзге елестету мүмкін емес.

Табиғатта геометриялық нүкте, түзу сызық, жазықтық т.с.с. ұғымдар сол күйінде кездеспегенімен, бұл идеализацияланған объектілер, шыңдық дүниеден бөлек және оның ешқандай пайдасы жоқ деп түсінуге болмайды. Математика мен оның қолданылуында мұндай ұғымдардың ролі ерекше екендігі жақсы белгілі.

4. Актуальды теңсіздік абстракциясы. Мұндай абстракцияның мәні жиынның шексіздігінен, шексіз жиынның құрылу үдерісінің аяқталмайтындығынан, оның барлық элементтерін санап берудің мүмкін еместігінен дерексіздеуде болып табылады.

5. Потенциалды жүзеге асырылатын абстракция. Ол адам өмірінің кеңістікте және уақыттағы шектелгендігіне қарай нақтылы конструктивтік мүмкіндігінің шекарасын ойша дерексіздеу деп қарастырылады. Потенциалды жүзеге асырылатын абстракция кибернетикада көп қолданылады.

Математиканы оқытуда абстракциялау әдісін қолдану оқытылатын объектінің маңызды жақтарын терең ашуға мүмкіндік береді.

Енді абстракцияға нақтылы мысалдар келтірейік.

1-мысал. Оқытушы абстракция методын оқушыларға Математиканы оқытудағы абстракциялау және нақтылау. - student2.ru теңдігін мысал арқылы былайша түсіндіруіне болады.

Бұл жай математикалық теңдік, бірақ ол дүниедегі көптеген заңдылықтарды бейнелейді. Егер біз Математиканы оқытудағы абстракциялау және нақтылау. - student2.ru теңдігіне белгілі бір шарттарды қойсақ, онда бұл теңдік төмендегі заңдылықтарды өрнектейді.

Егер біз 3 санын қарындаштардың саны, 5 санын әрбір қарындаштың бағасы десек, онда 15 саны барлық қарындаштардың бағасының қанша тұратынын өрнектейді.

Егер біз 3 санын адамның жаяу жүргендегі уақыты, 5 санын оның бір сағаттағы жылдамдығы десек, онда 15 саны жаяу адамның 3 сағат ішінде жүріп өткен жолын ернектейді.

2-мысал. Біз физика курсында дененің қозғалу жылдамдығы ұғымын Математиканы оқытудағы абстракциялау және нақтылау. - student2.ru формуласымен, метал стерженнің ұзындығының қыздырғандағы өзгеруін формуласымен, сызықтық функцияның бұрыштық коэффициентпен берілген тендеуін Математиканы оқытудағы абстракциялау және нақтылау. - student2.ru формуласымен өрнектейміз. Егер біз осы формулаларға мұқият зер салып қарайтын болсақ, және формулалар Математиканы оқытудағы абстракциялау және нақтылау. - student2.ru сызықты функциясының формуласының физикадағы жазылуы екендігін көреміз.