Основные правила дифференцирования

Лекция 12. Производная функции

Понятие производной

Основные правила дифференцирования - student2.ru Определение. Если отно­ше­ние Основные правила дифференцирования - student2.ru имеет предел при Основные правила дифференцирования - student2.ru этот предел называ­ют производной функции Основные правила дифференцирования - student2.ru при заданном значении Основные правила дифференцирования - student2.ru и за­пи­сывают

Основные правила дифференцирования - student2.ru . (1)

Замечание. Если при не­ко­то­ром значении Основные правила дифференцирования - student2.ru , су­щест­ву­ет производная функции Основные правила дифференцирования - student2.ru при этом значении, то в этой точке функция непрерывна.

Заметим, что отношение Основные правила дифференцирования - student2.ru из рис. 1 численно равно Основные правила дифференцирования - student2.ru .

Определение. Производная функции Основные правила дифференцирования - student2.ru в точке Основные правила дифференцирования - student2.ru численно равна тан­генсу угла, который составляет касательная к графику этой функции по­строенной в точке Основные правила дифференцирования - student2.ru с положительным направлением с осью Основные правила дифференцирования - student2.ru .

Основные правила дифференцирования - student2.ru Из последнего определения ста­но­вится ясно, почему в случае убы­ва­ю­щей функции (рис. 2) про­из­вод­ная от­ри­цательна. Это объясняется тем, что Основные правила дифференцирования - student2.ru , если Основные правила дифференцирования - student2.ru будет отрицатель­ным.

На этом свойстве производной осно­ва­но исследование поведения функции на возрастание (убывание) на заданном отрезке.

Производные простейших функций

Используя определение производной и правил вычисления пределов, най­дем производные простейших функций.

1. Основные правила дифференцирования - student2.ru , где Основные правила дифференцирования - student2.ru – некоторая постоянная. По определению производной из (1) получаем удобную формулу

Основные правила дифференцирования - student2.ru , (2)

тогда из (2) имеем Основные правила дифференцирования - student2.ru , т.е. Основные правила дифференцирования - student2.ru . Про­из­вод­ная постоянной величины равна 0.

2. Основные правила дифференцирования - student2.ru , где Основные правила дифференцирования - student2.ru – любое число. Из формулы (2) имеем

Основные правила дифференцирования - student2.ru

Т.е. Основные правила дифференцирования - student2.ru .

3. Основные правила дифференцирования - student2.ru .

Основные правила дифференцирования - student2.ru

Т.е. Основные правила дифференцирования - student2.ru .

Остальные производные простейших функций (табл.1) приведем без вывода

Таблица 1

Производные простейших функций

Функция Производная Функция Производная
С Основные правила дифференцирования - student2.ru Основные правила дифференцирования - student2.ru
Основные правила дифференцирования - student2.ru Основные правила дифференцирования - student2.ru Основные правила дифференцирования - student2.ru Основные правила дифференцирования - student2.ru
Основные правила дифференцирования - student2.ru , Основные правила дифференцирования - student2.ru Основные правила дифференцирования - student2.ru Основные правила дифференцирования - student2.ru Основные правила дифференцирования - student2.ru
Основные правила дифференцирования - student2.ru , Основные правила дифференцирования - student2.ru Основные правила дифференцирования - student2.ru Основные правила дифференцирования - student2.ru Основные правила дифференцирования - student2.ru
Основные правила дифференцирования - student2.ru Основные правила дифференцирования - student2.ru Основные правила дифференцирования - student2.ru Основные правила дифференцирования - student2.ru
Основные правила дифференцирования - student2.ru Основные правила дифференцирования - student2.ru Основные правила дифференцирования - student2.ru Основные правила дифференцирования - student2.ru
Основные правила дифференцирования - student2.ru Основные правила дифференцирования - student2.ru Основные правила дифференцирования - student2.ru Основные правила дифференцирования - student2.ru

Основные правила дифференцирования

Пусть заданы две функции Основные правила дифференцирования - student2.ru и Основные правила дифференцирования - student2.ru , которые имеют про­из­вод­ные в точке Основные правила дифференцирования - student2.ru .

1. Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных. Основные правила дифференцирования - student2.ru .

Покажем это. Пусть некоторая функция у, равная Основные правила дифференцирования - student2.ru имеет приращение Основные правила дифференцирования - student2.ru . Тогда функции Основные правила дифференцирования - student2.ru и Основные правила дифференцирования - student2.ru тоже должны получить приращения Основные правила дифференцирования - student2.ru и Основные правила дифференцирования - student2.ru , соответственно. Новое значение Основные правила дифференцирования - student2.ru будет Основные правила дифференцирования - student2.ru , а для Основные правила дифференцирования - student2.ruОсновные правила дифференцирования - student2.ru , следовательно,

Основные правила дифференцирования - student2.ru

Найдем Основные правила дифференцирования - student2.ru по определению (2) производной

Основные правила дифференцирования - student2.ru .

2. Производная произведения равна Основные правила дифференцирования - student2.ru . Покажем спра­вед­ли­вость этого равенства.

Если, как в первом случае, дать Основные правила дифференцирования - student2.ru приращение Основные правила дифференцирования - student2.ru , то функции u и v также получат приращение, следовательно, и функция Основные правила дифференцирования - student2.ru тоже изменится. Найдем Основные правила дифференцирования - student2.ru .

Основные правила дифференцирования - student2.ru .

По определению производной

Основные правила дифференцирования - student2.ru

Если необходимо вычислить производную нескольких сомножителей, например, Основные правила дифференцирования - student2.ru , если все три функции имеют производные в точке Основные правила дифференцирования - student2.ru , используя правило вычисления производной для двух сомножителей, получим

Основные правила дифференцирования - student2.ru

3. Производная частного. Рассмотрим функцию Основные правила дифференцирования - student2.ru , причем, кроме су­щес­твования производных в точке Основные правила дифференцирования - student2.ru для функций Основные правила дифференцирования - student2.ru и Основные правила дифференцирования - student2.ru необходимо по­ло­жить, что Основные правила дифференцирования - student2.ru в точке Основные правила дифференцирования - student2.ru отлична от нуля.

Найдем Основные правила дифференцирования - student2.ru .

Основные правила дифференцирования - student2.ru

и тогда из определения производной имеем

Основные правила дифференцирования - student2.ru .

Пример. Показать, что Основные правила дифференцирования - student2.ru .

Решение. Используя производную частного

Основные правила дифференцирования - student2.ru

4. Производная сложной функции. Пусть дана Основные правила дифференцирования - student2.ru , где Основные правила дифференцирования - student2.ru . Тогда имеет место теорема, которую приведем здесь без доказательства.

Теорема. Если функция Основные правила дифференцирования - student2.ru имеет в точке Основные правила дифференцирования - student2.ru производную Основные правила дифференцирования - student2.ru и функция Основные правила дифференцирования - student2.ru имеет в точке Основные правила дифференцирования - student2.ru производную Основные правила дифференцирования - student2.ru , тогда сложная функция Основные правила дифференцирования - student2.ru имеет в точке Основные правила дифференцирования - student2.ru производную, равную

Основные правила дифференцирования - student2.ru (3)

Пример. Найти производную функции Основные правила дифференцирования - student2.ru .

Решение. Основные правила дифференцирования - student2.ru .

Пример. Найти производную функции Основные правила дифференцирования - student2.ru .

Решение.

Основные правила дифференцирования - student2.ru

Пример. Найти производную сложной функции Основные правила дифференцирования - student2.ru .

Решение.

Основные правила дифференцирования - student2.ru

5. Логарифмическое дифференцирование. Пусть дана функция Основные правила дифференцирования - student2.ru . При этом предполагается, что функция Основные правила дифференцирования - student2.ru не обращается в нуль в точке Основные правила дифференцирования - student2.ru . Покажем один из способов нахождения производной функции Основные правила дифференцирования - student2.ru , если Основные правила дифференцирования - student2.ru очень сложная функция и по обычным правилам диф­фе­рен­цирования найти производную затруднительно.

Так как по первоначальному предположению Основные правила дифференцирования - student2.ru не равна нулю в точке, где ищется ее производная, то найдем новую функцию Основные правила дифференцирования - student2.ru и вычислим ее производную

Основные правила дифференцирования - student2.ru . (4)

Отношение Основные правила дифференцирования - student2.ru называется логарифмической производной функции Основные правила дифференцирования - student2.ru . Из формулы (4) получаем

Основные правила дифференцирования - student2.ru . (5)

Формула (5) дает простой способ нахождения производной функции Основные правила дифференцирования - student2.ru .

Пример. Найти производную сложной функции Основные правила дифференцирования - student2.ru

Решение. Для нахождения Основные правила дифференцирования - student2.ru используем формулу (5). Предварительно прологарифмируем функцию Основные правила дифференцирования - student2.ru

Основные правила дифференцирования - student2.ru

и найдем производную полученной функции

Основные правила дифференцирования - student2.ru .

Теперь по формуле (5) получаем

Основные правила дифференцирования - student2.ru .

Пример. Найти производную сложной функции Основные правила дифференцирования - student2.ru .

Решение. В связи с тем, что указанная функция сложная, воспользуемся логарифмическим дифференцированием, для чего предварительно прологарифмируем нашу функцию

Основные правила дифференцирования - student2.ru .

Найдем производную полученной функции по формуле (5).

Основные правила дифференцирования - student2.ru .

6. Производная обратной функции.

Теорема. Если Основные правила дифференцирования - student2.ru имеет в точке Основные правила дифференцирования - student2.ru производную, отличную от нуля, тогда в этой точке обратная функция Основные правила дифференцирования - student2.ru также имеет производную и имеет место соотношение

Основные правила дифференцирования - student2.ru . (6)

Пользуясь этой теоремой, найдем производные обратных три­го­но­мет­ри­чес­ких функций.

1. Основные правила дифференцирования - student2.ru на интервале Основные правила дифференцирования - student2.ru . Основные правила дифференцирования - student2.ru , тогда Основные правила дифференцирования - student2.ru , от­ку­да Основные правила дифференцирования - student2.ru сле­до­ва­тель­но, Основные правила дифференцирования - student2.ru .

2. Основные правила дифференцирования - student2.ru . Основные правила дифференцирования - student2.ru . Основные правила дифференцирования - student2.ru , откуда

Основные правила дифференцирования - student2.ru

3. Основные правила дифференцирования - student2.ru . Основные правила дифференцирования - student2.ru ; Основные правила дифференцирования - student2.ru , откуда

Основные правила дифференцирования - student2.ru

4. Основные правила дифференцирования - student2.ru ; Основные правила дифференцирования - student2.ru ;

5. Основные правила дифференцирования - student2.ru , где Основные правила дифференцирования - student2.ru и Основные правила дифференцирования - student2.ru являются функциями от Основные правила дифференцирования - student2.ru . Для нахождения Основные правила дифференцирования - student2.ru применим формулу (5). Для этого предварительно найдем функцию

Основные правила дифференцирования - student2.ru

и ее производную

Основные правила дифференцирования - student2.ru .

По формуле (5) получаем Основные правила дифференцирования - student2.ru .

Эту же формулу можно получить иначе. Представим Основные правила дифференцирования - student2.ru в виде

Основные правила дифференцирования - student2.ru

и найдем производную этой функции

Основные правила дифференцирования - student2.ru .

В заключение этой лекции приведем таблицу основных формул дифференцирования (табл.2).

Таблица 2.

Наши рекомендации