Оценочная функция

Чтобы прийти к однозначному и по возможности наивыгоднейшему варианту решения даже в том случае, когда каким-то вариантам решений E_i могут соответствовать различные условия F_j, можно ввести подходящие оценочные (целевые) функции. При этом матрица решений ||e_ir||сводится к одному столбцу. Каждому варианту Ei приписывается, таким образом, некоторый результат e_ir, характеризующий, в целом, все последствия этого решения. Такой результат мы будем в дальнейшем обозначать тем же символом e_ir.

Процедуру выбора можно теперь представить по аналогии с применением критерия (4.1). Возникает, однако, проблема, ка­кой вложить смысл в результат e_ir. Если, например, последствия каждого из альтернативных решений характеризовать комбинацией из его наибольшего и наименьшего результатов, то можно принять

. (4.2)

Из сказанного вытекает способ построения оценочных функ­ций, приводимый в табл. 4.2. Наилучший в этом смысле результат имеет вид

. (4.3)

Теперь решение можно снова искать в соответствии с критерием (4.1). Формируя таким образом желаемый результат, конструктор исходит из компромисса между оптимистическим и пессимистическим подходами.

Рассмотрим теперь некоторые: другие оценочные функции, которые в данном примере мог бы выбрать конструктор, а также соответствующие им исходные позиции.

Таблица 4.2.

Построение оценочных функций

E1	e1n
E2	e2n
E3	e3n
. . .	. . .
Ej	emn
. . .	. . .
Em	emn

Оптимистическая позиция:

. (4.4)

Из матрицы результатов решений е_ij (табл. 4.1) выбирается вариант (строка), содержащий в качестве возможного следствия наибольший из всех возможных результатов. Наш конструктор становится на точку зрения азартного игрока. Он делает ставку на то, что. выпадет наивыгоднейший случай, и исходя из этого выбирает размеры изделия.

Позиция нейтралитета:

. (4.5)

Конструктор исходит из того, что все встречающиеся отклоне­ния результата решения от «среднего» случая допустимы, и вы­бирает размеры, оптимальные с этой точки зрения.

Пессимистическая позиция:

. (4.6)

Конструктор исходит из того, что надо ориентироваться на наименее благоприятный случай и приписывает каждому из аль­тернативных вариантов наихудший из возможных результатов. После этого он выбирает самый выгодный вариант, то есть ожидает наилучшего результата в наихудшем случае. Для каждого иного внешнего состояния результат может быть только равным этому или лучшим.

Позиция относительного пессимизма:

. (4.7)

Для каждого варианта решения конструктор оценивает потери в результате по сравнению с определенным по каждому варианту наилучшим результатом, а затем из совокупности наихудших результатов выбирает наилучший согласно представленной оценочной функции.

Таблица 4.3.

Влияние вида оценочных функций на выбор размеров кабеля

Уравнение	Оценочная функция	Результат
(4.6)
(4.5)
(4.7)
(4.4)

Ряд таких оценочных функций можно было бы продолжить. Некоторые из них получили широкое распространение в хозяйственной деятельности. Так, если условия эксплуатации заранее не известны, ориентируются обычно на наименее благоприятную ситуацию. Это соответствует оценочной функции (4.6). Нередко используются также функции (4.6) и (4.7).

В табл. 4.3 показан пример выбора сечения А кабеля при неизвестной токовой нагрузке S с использованием всех четырех вышеназванных оценочных функций. Константа k здесь одна и та же для всех четырех случаев. Отметим, что результаты зависят только от S_макс и S_мин, т. е. от максимальной и минимальной токовых нагрузок.

Приведенные результаты существенно различаются. Они упорядочены таким образом, что влияние минимальной токовой нагрузки S_мин нарастает от строки к строке, т. е. получающиеся сечения становятся все меньше и меньше. Решение при этом становится все более оптимистичным. При этом выбор критерия определяется исключительно позицией конструктора. Поясним эти положения.

Влияние исходной позиции конструктора на эффективность результата решения можно интерпретировать, исходя из наглядных представлений. Простейшим здесь является графическое изображение на плоскости, для чего мы временно ограничимся случаем с двумя (п =2) внешними состояниями при т вариантах решения. Полезно, разумеется, чтобы мы уяснили для себя и, руководствуясь дальнейшими построениями, рассмотрели самостоятельно, как обобщается изложенное на случай большего, чем два, числа состояний, особенно на случай п=3,графически труднее представимый, но хорошо интерпретируемый в пространстве.

Введем теперь прямоугольную систему координат, откладывая по оси абсцисс значения результата решения е_i1, соответствующие внешнему состоянию F₁ а по оси ординат – значения е_i2, соответствующие состоянию F₂, i=1, ..., т. В этом случае каждый вариант решения E_i, соответствует точке (e_i1, e_i2), i=1, ... т, на плоскости. Точку с координатами мы назовем утопической точкой (УТ). Смысл этого названия в том, что координаты всех точек ,соответствующих вариантам решений не могут быть больше, чем у точки УТ, и что УТ встречается среди этих т точек только в том редком, идеальном случае, когда существу­ет вариант решения, дающий максимальный результат для каж­дого из (двух) возможных внешних состояний. Аналогичное значение имеет и так называемая антиутопическая точка (АУТ), имеющая координаты координаты всех точек , соответствующих вариантам решений , не могут быть меньше, чем у точки АУТ. Отсюда следует, что все m точек лежат внутри прямоугольника, стороны которого параллельны координатным осям, а противоположные вершины – точки УТ и АУТ;мы называем этот прямоугольник полем полезности решений (рис. 4.1).

Теперь, чтобы сравнить варианты решений с точки зрения их качества, назовем вариант E_i не худшим, чем вариант Е_j если для соответствующих точек и выполня­ются неравенства и . Причем E_i считается луч­шим, чем E_j, если хотя бы одно из этих двух неравенств явля­ется строгим.

Очевидно, что при таком определении не любые два вари­анта решений допускают сравнение в том смысле, что один из них оказывается лучше другого. (Может случиться, что для точек и , соответствующих вариантам E_i и E_j выполняются, например, неравенства и ). На математическом языке это означает, что на множестве вари­антов решений установлено так называемое отношение частич­ного порядка. Это отношение частичного порядка обладает ря­дом свойств, хорошо усматриваемых на рис. 4.1. Выберем в по­ле полезности произвольную точку, которую будем называть. рассматриваемой (РТ). С помощью прямых, параллельных ко­ординатным осям, разобьем плоскость на четыре части и обо­значим их I, II, III и IV. В рассматриваемом нами двумерном случае каждая из этих частей имеет вид (бесконечного) пря­моугольника; в случае произвольной размерности они превра­щаются в так называемые конусы.

Рассматривая положение точек поля полезности относитель­но этих четырех .конусов, можно в общем случае сказать сле­дующее. Все точки из конуса I в смысле введенного выше час­тичного порядка лучше, чем рассматриваемая точка РТ. По­этому мы называем конус I конусом предпочтения. Соответст­венно все точки из конуса III хуже точки РТ, и мы будем на­зывать область III антиконусом. Таким образом, оценка каче­ства точек из этих двух конусов в сравнении с точкой РТ прос­та и однозначна. Оценкаже точек в отмеченных штриховкой конусах II и IV является неопределенной, вследствие чего их называют областями неопределенности. Для этих точек оценка получается только с помощью выбранного критерия принятия решения. В случае m вариантов решений и п внешних состояний F_i,...,F_n критерий принятия решения можно представить в виде

или

.

Функция п переменных К. характеризует соответствующий кри­терий и задает одновременно оценочную функцию. Для анали­за критерия рассмотрим, полагая e_i1=x₁, еi2=х₂, ..., е_in=х_п, функцию К на всем n-мерном пространстве Rⁿ. Тогда каждому значению действительного параметра k посредством равенства

K(x₁,...,x_п)=k

ставится в соответствие некоторая гиперповерхность в прост­ранстве Rⁿ, называемая нами поверхностью уровня, соответству­ющей значению k. В двумерном случае, интересующем нас вви­ду его наглядности, мы специально полагаем e_i1=x₁=u, и еi2=х₂=v, отождествляя тем самым е_i1-ось с u-осью, а е_i2-ось с v-осью, и с помощью равенства

K(u,v)=k .

Получаем в этом случае на плоскости (и, v) кривую, называе­мую линией уровня, соответствующей значению k. При фикси­рованном уровне k уравнение K(и,v)=k определяет функцио­нальную зависимость между переменными и и v, называемую функцией предпочтения; так же называют и соответствующую кривую на плос­кости (u, v).

Рассмотрим, например, оценочную функцию (4.5). При е_i1=и и е_i2=v получаем для т=2 семейство функций предпоч­тения, зависящих от параметра k:

(u+v)/n=k .

При графическом изображении это выражение дает прямые, параллельные биссектрисе второго и четвертого квадрантов плоскости (и,v). Поскольку рассматриваемому критерию, в соответствии с которым путем оптимального выбора решения максимизируется среднее значение всех возможных результатов, отвечает нейтральная в известном смысле позиция прини­мающего решение, мы приписываем название «нейтральной» и соответствующей функции предпочтения (рис. 4.2). Выберем теперь на какой-либо линии уровня этого критерия произволь­ную точку РТ и проведем через нее «осевой крест», разбиваю­щий плоскость на описанные выше четыре квадранта – конус предпочтения, антиконус и конусы неопределенности.

Все точки из областей неопределенности, лежащие справа и выше этой линии уровня, в смысле нашего критерия лучше то­чек, лежащих слева и ниже. Сказанное справедливо и для функций предпочтения любого другого критерия. Всякая функ­ция (кривая) предпочтения объединяет все точки фиксирован­ного уровня; оправа и выше ее располагаются все лучшие точ­ки, то есть точки более высокого уровня, а слева и ниже – худ­шие, то есть точки более низкого уровня. Если на основе какого-либо критерия получается кривая предпочтения типа штрихо­вой (рис. 4.2), то мы называем такую кривую вогнутой, подра­зумевая под этим, что в соответствующих ей областях неопре­деленности имеется меньшее число лучших точек, чем при нейт­ральном критерии (4.5). Отметим, что такая вогнутая кривая предпочтения характеризует пессимистическую исходную пози­цию. Кривые предпочтения типа сплошной на рис. 4.2 соответ­ствуют оптимистическому подходу, поскольку на этот раз в срав­нении с нейтральным критерием больше точек из областей не­определенности принадлежит к числу лучших; мы называем такие кривые выпуклыми. Предельный случай пессимистическо­го подхода образуют, очевидно, граничные прямые квадранта I, а оптимистического—граничные прямые квадранта III, и чем ближе подходит кривая предпочтения к этим граничным прямым, тем в большей степени соответствующий критерий представляет пессимистическую или, соответственно, оптими­стическую точку зрения. Если выбор оценочной функции отда­ется на усмотрение лица, принимающего решение, то, как пока­зывают табл. 4.3 и рис. 4.2, приходится считаться с возможностью различных результатов для одного и того же решения. Таким образом, принятие решения не есть чисто рациональный процесс. Опасность возникает в тех случаях, когда оценочные функции выбираются интуитивно, иногда даже без выяснения исходной позиции принимающего решение.

Всякое техническое или экономическое решение в условиях неполной информации – сознательно или неосознанно – прини­мается в соответствии с какой-либо оценочной функцией опи­санного выше типа. Как только это бывает признано явно, следствия соответствующих решений становятся лучше обозри­мыми, что позволяет улучшить их качество. При этом выбор оценочных функций всегда должен осуществляться с учетом количественных характеристик ситуации, в которой принимают­ся решения.

Таблица 4.4.

(m´2)-матрица решений

F E	F1	F2
E1	E11	E12
E2	E21	E22
E3	E31	E32
. . .	. . .	. . .
Ei	ei1	ei2
. . .	. . .	. . .
Em	em1	em2

Таблица 2.5.

Фатальная ситуация в принятии решений