Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера

по дисциплине «Моделирование»

Специальность 1-360901 «Машины и аппараты пищевых производств»

Проверил Выполнил

студент группы

Новик В. С.

«__»_________2012г. «__»_________2012г

Могилев 2012

Задание 1

1. Постановка задачи.

По заданным экспериментальным данным из m серий измерений по n измерений в каждой серии определить характеристики a и b математической модели объекта. Проверить адекватность полученного теоретического решения по критерию Фишера.

Схема взаимодействия объекта со средой:

x y=f(x) y

Экспериментальные данные:

Параметр	X(i)	yji
№(i)	y1i	y2i	y3i	y4i	y5i
		0,157	0,197	0,167	0,177	0,147
		0,09	0,13	0,1	0,11	0,08
		0,061	0,101	0,071	0,081	0,051
		0,046	0,086	0,056	0,066	0,036
		0,035	0,075	0,045	0,055	0,025
		0,028	0,068	0,038	0,048	0,018
		0,023	0,063	0,033	0,043	0,013
		0,019	0,059	0,029	0,039	0,009
		0,016	0,056	0,026	0,036	0,006
		0,014	0,054	0,024	0,034	0,004

2. Ход решения.

Исходное уравнение кривой имеет вид:

(1)

Поделим уравнение (1) на 1 и получим:

Обозначим:

Вводя новые переменные получим уравнение

,(2)

которое является уравнением прямой.

Расчет коэффициентов в уравнении (2) ведем по методу наименьших квадратов, т.к этот метод дает наименьшую ошибку аппроксимации опытных данных. Согласно этому методу коэффициенты и определяются:

(3)

(4)

Расчёт сумм удобнее вести в табличной форме, предварительно определив средние значения функций из m серий измерений:

Параметр	X	Yср	Xlin	Ylin	X²	X*Ylin
№(i)
		0,169	-	5,91716		5,91716
		0,102	-	9,803922		19,60784
		0,073	-	13,69863		41,09589
		0,058	-	17,24138		68,96552
		0,047	-	21,2766		106,383
		0,04	-
		0,035	-	28,57143
		0,031	-	32,25806		258,0645
		0,028	-	35,71429		321,4286
		0,026	-	38,46154		384,6154
Сумма		0,609	-	227,943		1556,078

Подставив расчетные данные в формулы (3) и (4) получим:

Так как , то a = 2,634

Так как то b = 3,665

Таким образом искомая эмпирическая зависимость будет иметь вид:

(5)

Оценка адекватности состоит в сопоставлении полученной или предполагаемой теоретической функции с результатами измерений.

Для этого необходимо рассчитать экспериментальное (опытное) значение Критерия Фишера - и сравнить его с теоретическим (табличным) - , принимаемым при требуемой доверительной вероятности (обычно . Если – модель адекватна, если – модель неадекватна.

Экспериментальный критерий Фишера вычисляют по формуле

(6)

где дисперсия адекватности;

– средняя дисперсия всего эксперимента,

где теоретическое значение функции для каждого измерения;

– экспериментальное значение функции;

–среднее экспериментальное значение функции из m серий измерений;

n – количество измерений в одном опыте (серии);

m – количество опытов (серий);

d – число коэффициентов уравнения теоретической регрессии.

Расчет сумм удобнее вести в табличной форме, предварительно определив по формуле (5) теоретические значения функции:

Параметр	Yт	(Yт-Yэср)²	(Yт-Yэ1)²	(Yт-Yэ2)²	(Yт-Yэ3)²	(Yт-Yэ4)²	(Yт-Yэ5)²	Ʃ(Yт-Yэ5)²
№(i)
	0,15872	0,000106	2,97E-06	0,00147	6,8E-05	0,0003	0,00014	0,002
	0,10035	2,74E-06	0,000107	0,00088	1,2E-07	9E-05	0,00041	0,0015
	0,07336	1,31E-07	0,000153	0,00076	5,6E-06	6E-05	0,0005	0,0015
	0,05782	3,39E-08	0,00014	0,00079	3,3E-06	7E-05	0,00048	0,0015
	0,04771	4,99E-07	0,000161	0,00074	7,3E-06	5E-05	0,00052	0,0015
	0,04061	3,67E-07	0,000159	0,00075	6,8E-06	5E-05	0,00051	0,0015
	0,03535	1,19E-07	0,000152	0,00076	5,5E-06	6E-05	0,0005	0,0015
	0,03129	8,49E-08	0,000151	0,00077	5,3E-06	6E-05	0,0005	0,0015
	0,02807	5,15E-09	0,000146	0,00078	4,3E-06	6E-05	0,00049	0,0015
	0,02545	2,99E-07	0,000131	0,00081	2,1E-06	7E-05	0,00046	0,0015
Сумма	-	0,00011	-	-	-	-	-	0,0153

Подставив расчетные данные в формулу (6) получим:

Значение принимается по таблице 2 [8] для доверительной вероятности и числа степенной свободы и .

По условию задачи n = 10, d = 2 и m = 5

Тогда и, соответственно,

Так как то модель адекватна экспериментальным данным (описываемому процессу).