Формула Байеса

Пусть H₁,H₂,...,H_n – полная группа событий и АÌW – некоторое событие. Тогда по формуле для условной вероятности

(3)

Здесь P(H_k /A) – условная вероятность события (гипотезы) H_k или вероятность того, что H_k реализуется при условии, что событие А произошло.

По теореме умножения вероятностей числитель формулы (3) можно представить в виде

P(H_k∩A)=P(A∩H_k)=P(A/H_k)P(H_k).

Для представления знаменателя формулы (3) можно использовать формулу полной вероятности

.

Теперь из (3) можно получить формулу, называемую формулой Байеса:

.

По формуле Байеса исчисляется вероятность реализации гипотезы H_k при условии, что событие А произошло. Формулу Байеса еще называют формулой вероятности гипотез.

Пример 15. Из трех урн с шарами вынимается наугад 1 шар, который оказался белым. Найти послеопытную вероят­ность того, что шар вынут из первой урны, если в первой урне 3 белых шара и 1 черный, во второй – 2 белых и 3 черный, в третьей – 3 белых.

Решение. Обозначим за H₁ гипотезу – «шар выбран из 1-й урны», соответственно H₂ – «шар выбран из 2-й урны» и H₃ – «шар выбран из 3-й урны». Гипотезы равноверояны и равны

Определим вероятность гипотезы H₁ при условии, что событие А= «вынут белый шар» уже произошло, т.е.