Электрический ток. Закон Ома

Сила тока (ток) I численно равна количеству электричества, проходящему через поперечное сечение проводника в единицу времени:

Если сила тока I=const, то

,

где S – площадь поперечного сечения проводника,

q - заряд частиц,

n - их концентрация.

Ток, текущий по участку однородного проводника, подчиняется закону Ома

где U – разность потенциалов на концах участка,

R – сопротивление этого участка.

Сопротивление проводника

где r – удельное сопротивление,

s – удельная проводимость,

l – длина проводника,

S – площадь поперечного сечения проводника.

Удельное сопротивление металлов зависит от температуры следующим образом:

где r₀ – удельное сопротивление при 0°С,

a – температурный коэффициент сопротивления.

Задача 29

Ток в проводнике меняется со временем по уравнению I=4+2t, где I[А], t[с]. Какое количество электричества пройдет через поперечное сечение проводника за время от t₁=2 с до t₂=6 с? При каком постоянном токе I_o через поперечное сечение проводника за то же время проходит такое же количество электричества?

Дано: I(t)=4+2t	Решение: Сила тока I численно равна количеству электричества, проходящему через поперечное сечение проводника в единицу времени

Проинтегрируем это выражение

I, A     i=12 10 q 1 t, c

I, A q 1 t, c

Если сила тока постоянна, то

Вычисления:

Ответ: при силе тока, меняющейся по закону I(t)=4+2t, количество электричества q, проходящее через поперечное сечение проводника от t₁ до t₂, равно q=48 Кл, при постоянном токе I₀=12 А через поперечное сечение проводника за то же время проходит такое же количество электричества.

Задача 30

Катушка из медной проволоки имеет сопротивление R=10,8 Ом. Масса медной проволоки m=3,41 кг. Какой длины l и какого диаметра d проволока намотана на катушку?

Дано:	Решение: По определению сопротивление проводника (1) где S – площадь поперечного сечения,
l, d – ?	определяемая выражением

(2)

l   r

R m

где r – удельное сопротивление.

По определению

(3)

где r_m – плотность меди.

Выразим l из формулы (3), получаем:

(4)

Подставим (4) в (1), получаем

(5)

Подставим (2) в (5) и выразим d:

Найдем l, подставив (2) в (4), получаем

Вычисления:

Ответ: на катушку намотана проволока длиной l=501 м и диаметром d=1мм.

Задача 31

Вольфрамовая нить электрической лампочки при t₁=20 ⁰C имеет сопротивление R₁=35,8 Ом. Какова будет температура t₂ нити лампочки, если при включении в сеть напряжением U=120 В по нити идет ток I=0,33 A? Температурный коэффициент сопротивления вольфрама

Дано:	Решение: Сопротивление металлов зависит от температуры следующим образом (1) Напишем это выражение для t1 (1)
	отсюда найдем R0 – сопротивление нити при t=0 °С.

(2)

Перепишем выражение (1) для второго случая

(3)

По закону Ома для участка цепи имеем

(4)

Подставим (4), (2) в (3), получаем

отсюда выразим t₂

Вычисления:

Ответ: при включении нити лампочки в сеть ее температура станет равной t₂=2193 °C.

Задача 32

Найти падения потенциала U на сопротивлениях R₁=4 Ом, R₂=2 Ом и R₃=4 Ом, если амперметр показывает ток I₁=3A. Найти токи I₂ и I₃ в сопротивлениях R₂ и R₃.

Дано: R1=4 Ом R2=2 Ом R3=4 Ом I1=3 А	Решение: Цепь состоит из двух участков: первый участок – резистор R1 второй участок – резисторы R2 и R3, соединенные параллельно.
I2, I3, U1, U2, U3 – ?	Т. к. участки цепи соединены последовательно, то сила тока в них равна

I₁=I₂₃=3A=I_общ.

Рассмотрим второй участок. Т. к. резисторы соединены параллельно, то

I₂+I₃=I₂₃=3A.

Найдем сопротивление этого участка

Сопротивление двух последовательно соединенных участков равно

R2 I2   R1 U23 A I1 U1 R3 I3

Падение напряжения на всей цепи по закону Ома

Т. к. участки соединены последовательно, то

U₁+U₂₃=U_общ.

Отсюда

U₂₃=U_общ–U₁.

Падение напряжения на резисторе R₁ будет равно по закону Ома

U₁=I₁R₁.

В итоге получим

Падения напряжения на резисторах R₂ и R₃ равно

U₂=U₃=U₂₃=4B,

т. к. они соединены параллельно.

Сила тока в сопротивлении R₂ равна по закону Ома

Сила тока в сопротивлении R₃ равна I₃=I₂₃–I₂.

Вычисления:

Ответ: падения напряжения на сопротивлениях R₁, R₂, R₃ соответственно равны U₁=12 B, U₂=U₃=4 B, токи через резисторы R₂ и R₃ соответственно равны I₂=2A, I₃=1A.

Задача 33

Элемент, имеющий э.д.с. Е=1,1 В и внутреннее сопротивление r=1 Ом, замкнут на внешнее сопротивление R=9 Ом. Найти ток I в цепи, падение потенциала U во внешней цепи и падение потенциала U_r внутри элемента. С каким КПД h работает элемент?

Дано: Е=1,1 В r=1 Ом R=9 Ом	Решение: Для замкнутой цепи закон Ома имеет вид (1)
I, Ur, U, – ?	Отсюда найдем падение потенциала Ur и U,

E r I R

как произведение силы тока и сопротивления внутри элемента или внешнего сопротивления соответственно.

Преобразуем выражение (1)

Ir+IR=E.

U_r=E–IR. (2)

U=E–Ir. (3)

Подставим в выражения (2) и (3) формулу (1), получаем:

Найдем КПД источника.

КПД источника тока равен отношению мощности Р₁, выделяемой внешним участком электрической цепи (полезной мощности), к полной мощности Р, развиваемой источником:

По определению

Тогда КПД источника

Согласно закону Ома для замкнутой цепи,

следовательно:

Таким образом, КПД источника тока зависит от значений сопротивления R внешнего участка цепи и внутреннего сопротивления r источника. Один и тот же источник тока в различных цепях работает с различным КПД, поэтому говорят не о КПД источника, а о КПД цепи. Разделив знаменатель и числитель на R, получаем:

Вычисления:

Ответ: ток в цепи составляет I=0,11 А, падение напряжения на внешнем сопротивлении составляет U=0,99 В, а на внутреннем – U_r =0,11 В. Элемент работает с КПД h=0,9.

Задача 34

Элемент с э.д.с. Е=1,6 В имеет внутреннее сопротивление r=0,5 Ом. Найти КПД h элемента при токе в цепи I=2,4 А.

Дано: Е=1,6 В r=0,5 Ом I=2,4 A	Решение: Для замкнутой цепи закон Ома имеет вид (2)
h – ?	отсюда найдем внешнее сопротивление R.

IR+Ir=E

(2)

КПД источника равен отношению мощности Р₁, выделяемой внешним участком электрической цепи (полезной мощности), к полной мощности Р, развиваемой источником:

E r I R

Исходя из формул Р₁=I²R и Р=EI найдем h, зная, что I можно найти из формулы (1)

(3)

Подставим в (3) выражение (2), получаем

Вычисления:

Ответ: КПД элемента равен h=25%.

Задача 35

Считая сопротивление вольтметра R_v бесконечно большим, определяют сопротивление R по показаниям амперметра и вольтметра. Найти относительную погрешность найденного сопротивления, если в действительности сопротивление вольтметра равно R_v. Задачу решить для R_v=1000 Ом и сопротивления а) R=10 Ом, б) R=100 Ом, в) R=1000 Ом.

Дано: Rv=1кОм а) R=10 Ом б) R=100 Ом в) R=1000 Ом	Решение: Из закона Ома для постоянного тока найдем выражение для R
	Прологарифмируем данное равенство, получаем ln R=ln U-ln I,

дифференцируем обе части полученного выражения:

переходим от бесконечно малых к конечным приращениям:

E A R V

заменяя знак для получения максимальной погрешности.

Пренебрегая внутренним сопротивлением источника, считаем напряжение на резисторе и вольтметре одинаковым и равным э.д.с. источника Е, т. к. соединение резистора и вольтметра параллельное, отсюда U=constÞDU=0 и тогда формула приобретает вид:

По закону Ома для цепи: сила тока в цепи до подключения вольтметра была равна

при подключении вольтметра она стала

где R_экв – общее сопротивление внешней цепи.

Найдем его, зная, что вольтметр и сопротивление соединены параллельно

Тогда

Так как R_экв<R, то I₂>I₁ и можно записать, что

DI=I₂–I₁.

Получаем следующее выражение

Зная, что

найдем

Вычисления:

Ответ: относительная погрешность для сопротивлений R₁=10 Ом, R₂=100 Ом, R₃=1000 Ом соответственно равна , , .

Задача 36

Считая сопротивление амперметра R_a бесконечно малым, определяют сопротивление R по показаниям вольтметра и амперметра. Найти относительную погрешность найденного сопротивления, если в действительности сопротивление амперметра равно R_a. Решить задачу для R_A=0,2 Ом и сопротивления а) R=1 Ом, б) R=10 Ом, в) R=100 Ом.

Дано: Rа=0,2 Ом а) R=1 Ом б) R=10 Ом в) R=100 Ом	Решение: Из закона Ома для постоянного тока найдем выражение для R
	Прологарифмируем данное равенство, получаем:

Дифференцируем обе части полученного выражения

Переходим от бесконечно малых к конечным приращениям:

E R A V

Заменяем знак “–” на знак “+” для получения максимальной погрешности:

(1)

Так как амперметр присоединен последовательно к сопротивлению, то сила тока I=const, т. е.

I₁=I₂ Þ DI=0,

зная это, перепишем выражение (1):

(2)

Из закона Ома для полной цепи найдем напряжение U₁ на резисторе R₁, исключая сопротивление амперметра

с амперметром, соединенным последовательно, напряжение в цепи будет равным

Зная, что

найдем DU

Подставим полученное выражение в (2), получаем

Вычисления:

Ответ: относительная погрешность для сопротивлений R₁=1 Ом, R₂=10 Ом, R₃=100 Ом соответственно равна

Задача 37

Два параллельно соединенных элемента с одинаковыми э.д.с. Е₁=Е₂=2В и внутренними сопротивлениями r₁=1 Ом и r₂=1,5 Ом замкнуты на сопротивление R=1,4 Ом. Найти ток I в каждом из элементов всей цепи.

Дано: Е1=Е2=2 В r1=1 Ом r2=1,5 Ом R=1,4 Ом	Решение: Обозначим направления токов и выберем направления обхода контуров так, как показано на рисунке. По первому правилу Кирхгофа составим уравнение для узла А:
I – ? I1 – ? I2 – ?

E1r1 B C I1 E2r2 A D I2 R F E

По второму правилу Кирхгофа составим уравнение для контуров BCEF и ADEF соответственно:

Для нахождения I, I₁, I₂ найдем решение системы

Получим

Вычисления:

;

Ответ: токи I₁, I₂ в каждом из элементов Е₁ и Е₂ соответственно равны I₁=0,6 A, I₂=0,4 A и ток во всей цепи равен I=1 A.

Задача 38

Два последовательно соединенных элемента с одинаковыми э.д.с. Е₁=Е₂=2 В и внутренними сопротивлениями r₁=1 Ом r₂=1,5 Ом замкнуты на внешнее сопротивление R=0,5 Ом. Найти разность потенциалов U на зажимах каждого элемента.

Дано: Е1=Е2=2 В r1=1 Ом r2=1,5 Ом R=0,5 Ом	Решение: Если э.д.с. Е1, Е2,...,Еn и внутреннее сопротивление r1, r2,...,rn источников тока, соединенных последовательно но различны, то сила тока:
U1, U2 – ?

E1 E2 A B r1 r2   R D C I

По второму правилу Кирхгофа составим уравнение для контура ABCD, выбрав направление обхода против часовой стрелки, т.е.

(1)

В нашем случае из (1) вытекает, что

Разность потенциалов на зажимах первого элемента

Разность потенциалов на зажимах второго элемента

Вычисления:

Ответ: разность потенциалов на зажимах первого и второго элементов U₁ и U₂ соответственно равны U₁=0,66 B и U₂=0 B.

Задача 39

Батарея с э.д.с. Е=20 В, амперметр и реостаты с сопротивлениями R₁ и R₂ соединены последовательно (см рисунок). При выведенном реостате R₁ амперметр показывает ток I=8 А, при выведенном реостате R₂ — ток I=5 А. Найти сопротивления R₁ и R₂ реостатов и падение потенциала U₁ и U₂ на них, когда реостат R₁ полностью включен.

Дано: E=20 B I1=8 A I2=5 A	Решение: Рассмотрим электрическую цепь при выведенном реостате, когда его сопротивление равно нулю.
R1, R2, U1, U2 – ?	По закону Ома для полной цепи

E     A R1 R2

(1)

Рассмотрим случай, когда реостат в введенном состоянии, т.е. когда его сопротивление равно R.

По закону Ома для полной цепи:

(2)

где R_экв – внешнее сопротивление цепи, определяемое как R_экв=R₁+R₂, т.к. соединение последовательное.

Из того факта, что соединение резисторов последовательное, вытекает тот факт, что

U2+U1=E

(3)

(по условию сопротивление батареи в расчет не принимается).

По закону Ома для участка цепи можно найти R₁ и R₂

	(4)
	(5)

Подставим в (2) формулу (1), получаем:

(6)

Приравняв формулы (6) и (4), получаем:

(7)

Подставляя выражение (7) в (3), получаем:

Подставляя полученные нами выражения для U₁ и U₂ в формулы (5) и (4), получаем

Вычисления:

Ответ: падение потенциала U₁ и U₂ на сопротивлении и реостате, который полностью включен, равно соответственно U₁=7,5В, U₂=12,5B, сопротивление резистора R₂ и включенного реостата равны соответственно R₂=2,5 Ом R₁=1,5 Ом.

Задача 40

Напряжение на зажимах элемента в замкнутой цепи U=2,1 В, сопротивление R₁=5 Ом, R₂=6 Ом и R₃=3 Ом. Какой ток показывает амперметр?

Дано: U=2,1 B R1=5 Ом R2=6 Ом R3=3 Ом	Решение: Напряжение на зажимах источника, замкнутого проводником с сопротивлением R, равно U=IR, в нашем случае R – это Rэкв, т.е. общее сопротивление
I3 – ?	резисторов, а I – сила тока на резисторе R1, т.е.

Найдем внешнее сопротивление цепи R_экв.

E R1 R2 A I2 B I1 A D I3 C R3

Так как резисторы R₂ и R₃ соединены параллельно, то, во-первых,

I₁=I₂+I₃,

во-вторых, результирующее сопротивление этой батареи резисторов равно

Т. к. результирующее сопротивление соединено с R₁ последовательно, то

Из цепи выделим контур ABCD и выберем направление обхода контура (по часовой стрелке).

По второму правилу Кирхгофа составим уравнение для этого контура:

или по закону Ома, так как U₂=U₃, то I₂R₂=I₃R₃

Составим систему уравнений

Отсюда

Отсюда

Вычисления:

Ответ: амперметр показывает на резисторе R₃ ток, равный I₃=0,2 A.

Задача 41

Э.д.с. батареи Е=100 В, сопротивление R₁=R₃=40 Ом, R₂=80 Ом, R₄=34 Ом. Найти ток I₂, текущий через сопротивление R₂, и падение напряжения U₂ на нем.

Дано: Е=100 В R1=R3=40 Ом R2=80 Ом R4=34 Ом	Решение: По закону Ома для замкнутой цепи (1)
I2,U2 – ?	т.к. внутренним сопротивлением r можно пренебречь.

Ток, текущий через сопротивление R₄,равен I, так как цепь неразветвлена.

Выделим из цепи контур ABCD. Обозначим направление токов и выберем направление обхода контура.

A E B   R1 R2 I2 R3     R4 D C I4

По второму правилу Кирхгофа составим уравнение

IR₄+U₂=E,

где U₂ – падение потенциала на резисторе R₂.

Отсюда

U₂=E–IR₄ (2)

Для нахождения силы тока I найдем внешнее сопротивление цепи

Резисторы R₁, R₂, R₃ соединены параллельно, и, значит, их результирующее сопротивление может быть найдена как

Отсюда

Результирующее сопротивление подключено последовательно с резистором R₄, и, значит,

(3)

Подставим (1), (3) в (2), получаем:

(4)

По закону Ома для участка цепи найдем, что

(5)

Подставим (4) в (5), получаем

Вычисления:

Ответ: падение потенциала на резисторе R₂ равно U₂=32 В, ток, текущий через этот резистор, равен I₂=0,4 А.

Задача 42

Сопротивление R₁=R₂=R₃=200 Ом, сопротивление вольтметра R_v=1000 Ом. Вольтметр показывает разность потенциалов U=100 B. Найти э.д.с. Е батареи.

Дано: R1=R2=R3=200 Ом U=100 В Rv=1000 Ом	Решение: Обозначим направления токов и выберем направление обхода контура, как показано на рисунке
Е – ?	По первому правилу Кирхгофа составим

уравнение для узла С:

(1)

E B C IV R1 V R2 I2 I1 R3 A

По второму правилу Кирхгофа составим уравнение для контура ABC:

(2)

По закону Ома для участка цепи найдем, что

(3)

и

(4)

т.к. ток на резисторе R₃ равен I₂, поскольку соединение последовательное, подставим (3) и (4) в (1), получаем, что

(5)

Подставим (5) в (2), зная, что R_VI_V=U, отсюда

.

Вычисления:

Ответ: э.д.с. батареи равна Е=170 В.