Структурная схема замкнутой системы управления

Структурная схема замкнутой системы управления представлена на рисунке 4.

Рисунок 4 – Структурная схема замкнутой системы управления

Передаточные функции ОУ, ИМ и ДОС считаются известными:

Параметры: T_a, T_b, T_c заданы в техническом задании.

Определим размерности всех параметров системы:

УПЭ (УМ) предполагается безынерционным, но с ограниченной зоной линейности. Статическая характеристика УПЭ представлена на рисунке 5.

Рисунок 5 ­– Статическая характеристика УПЭ

Параметры: U_вхmax, U_выхmax заданы в техническом задании.

На начальном этапе исследования воспользуемся линеаризацией на физическом уровне: будем считать, что усилитель мощности имеет неограниченную зону линейности. Мы можем принять это допущение, так как в процессе работы УПЭ, его выходная величина меняется в небольшом диапазоне (±4В) по линейному закону. Структурная схема линеаризованной системы представлена на рисунке 6.

Рисунок 6 – Структурная схема линеаризованной системы

Анализ устойчивости исходной линеаризованной системы по алгебраическому критерию

Коэффициент усилителя мощности найдем из характеристики, указанной на рисунке 5, для линейной зоны усиления:

Для проверки линеаризованной системы по алгебраическому критерию, необходимо записать характеристическое уравнение замкнутой системы. Это уравнение имеет вид:

1+W_p(s)=0. (1)

где

(2)

С помощью программного пакета MathCad, преобразуем

характеристическое уравнение (рисунок 7):

Рисунок 7 – Преобразование ХУ ЗС

Окончательный вид ХУ ЗС:

(3)

Так как общий вид ХУ ЗС имеет вид:

(4)

то запишем коэффициенты ХУ ЗС:

· а₀=0.00000126;

· а₁=0.000788;

· а₂=0.081;

· а₃=1;

· а₄=10.56.

Полученная система – 4-го порядка. Для проверки системы по критерию Гурвица, необходимо проверить ее на выполнение необходимого и достаточного условия устойчивости.

Необходимое условие: а_i>0. Это условие выполняется.

Достаточное условие: все определители Гурвица должны быть положительными. Так как система 4-го порядка, то достаточно проверить, положителен ли определитель 3-го порядка. Это следует из-за того, что определитель 4-го порядка равен произведению диагонального минора Δ₃ на коэффициент а₄. Так как этот коэффициент, вследствие выполнения необходимого условия устойчивости, положителен, то при записи неравенства его можно опустить.

В итоге, требуется проверить, выполняется ли условие:

(5)

После подстановки численных значений, получим:

Достаточное условие выполняется, следовательно, замкнутая система устойчива.