Завдання для аудиторної роботи

1. Знайти положення рівноваги прямокутної мембрани 0≤x≤π, 0≤y≤a, край x=0 якої нерухомо закріплений, на краях x=π та y=0 діють сили відповідно та а край y=a пружно закріплений (h=1), причому край закріплення пружини зміщується за законом .

2. Знайти стаціонарний розподіл температури у прямокутній пластинці 0≤x≤1, 0≤y≤2π, на краї y=2π якої підтримується стала температура , краї x=1 та y=0 теплоізольовані, а на краї x=0 проходить теплообмін (із коефіцієнтом h=1) із навколишнім середовищем, температура якого рівна .

3. Визначити форму прогину прямокутної мембрани 0≤x≤a, 0≤y≤b під дією зовнішньої сили 18xy, якщо краї x=0 та x=a мембрани нерухомо закріплені, а інші вільні.

4. Визначити стаціонарний розподіл температури у прямокутній пластинці 0≤x≤a, 0≤y≤b, два краї y=0 та x=a якої підтримуються при нульовій температурі, а інші теплоізольовані. Усередині пластинки діє джерело тепла інтенсивності

5. До краю кругової пластинки одиничного радіуса підводиться тепловий потік . Знайти стаціонарний розподіл температури зовні пластинки.

6. Усередині нескінченого кругового циліндра радіуса R проходить рух нестискуваної рідини. Вважаючи рух сталим, потенціальним і плоскопаралельним, знайти закон цього руху, якщо проекція швидкості на зовнішню нормаль циліндра у кожній точці задається формулою:

Зауваження. Якщо в області G, обмеженій замкнутою поверхнею S, проходить стаціонарний потенціальний рух нестискуваної однорідної рідини, то для визначення закону цього руху достатньо знайти потенціал U(x,y,z) поля швидкостей , який є розв’язком задачі:

де – зовнішня нормаль до поверхні S, а f(x,y,z) – задана на Sфункція, рівна проекції швидкості в точках цієї поверхні на зовнішню нормаль. Якщо потенціал U(x,y,z) знайдений, то поле швидкостей

- 72 -

Якщо область Gобмежена циліндричною поверхнею з твірною, паралельною до осі Oz, а вектор швидкості не залежить від z, тоді і є розв’язком задачі:

Тому наведена вище задача зводиться до наступної задачі Неймана:

7. Знайти форму прогину мембрани, яка має вигляд кільця 1≤ρ≤2, 0≤φ<2π, якщо:

а) на внутрішній край мембрани діє сила , а на зовнішньому задане відхилення ;

б) на внутрішньому краї мембрани задане відхилення , а на зовнішній діє сила (A=const).

8. Усередині круглоїпластинки радіуса a діють джерела тепла інтенсивності , а її край підтримується при нульовій температурі. Знайти стаціонарний розподіл температури в пластинці.

9. Визначити прогин мембрани, яка має форму кільця 1≤ρ≤2, 0≤φ<2π, якщо:

а) мембрана піддається дії сили , на внутрішньому краї відхилення рівне , а зовнішній край вільний;

б) мембрана піддається дії сили , внутрішній край нерухомо за-кріплений, а на зовнішньому краї задана стала сила A=const.

10. Проінтеґрувати крайові задачі та дати фізичну інтерпретацію:

а)

б)

в)

г)

ґ)

- 73 -

д)

е)

є)

11. Побудувати функцію Ґріна задачі Діріхле:

а) в крузі 0≤ρ≤R, 0≤φ<2π;

б) у круговому секторі 0≤ρ≤R, 0≤φ≤π/n; nÎN.

12. Знайти об’ємний потенціал кулі радіуса R з центром у початку координат при сталій густині заряду :

а) поставивши крайову задачу для і розв’язавши її;

б) шляхом прямого обчислення об’ємного інтеґралу.

13. Знайти потенціал простого шару, розподілений зі сталою густиною на сфері одиничного радіуса з центром у початку координат.

14. Знайти лоґарифмічний потенціал подвійного шару відрізка 0£х£а зі сталою густиною моментів

15. За допомогою потенціалу подвійного шару розв’язати задачу Діріхле для півплощини:

Розглянути випадок

16. Користуючись потенціалом простого шару, знайти розв’язок задачі Неймана для круга одиничного радіуса з центром у початку координат:

- 74 -

ВІДПОВІДІ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. а)

б)

8.

9. а)

б)

10. а)

б)

в)

г)

ґ)

- 75 -

д)

е)

є)

11. а)

причому (див. малюнок)

б) де – розв’язок попередньої задачі,

12.

13.

14.

15. при

16.

- 76 -