Игровые модели принятия решений (теория игр).
Игровая модель представляет собой особый вид модели ТПР. До сих пор мы считали, что решение принимается на основе критерия, отражающего эффективность по отношению «к нам». Оказывается, встречается довольно много ситуаций в экономике, особенно в военных операциях, где действует несколько сторон, преследующих различные интересы. И поэтому, невозможно оценить результат принимаемого решения единообразно. Такого рода ситуации называются конфликтными. Теория, описывающая конфликтные ситуации с количественной стороны, называется теорией игр. Интересы между сторонами могут быть полностью противоположными. Такие модели называются антагонистическими играми. Но во многих ситуациях в игре могут принимать участие три и более сторон. Такие игры называются множественными. Некоторые стороны могут объединяться по интересам. Такие игры называются коалиционными.
Игра – модель ситуации, некоторая упрощённая схема, где зафиксированы сами игроки, правила игры, определённые выигрыши после каждого хода, правила окончания игры. В более сложных играх совокупность ходов определяют некоторую стратегию. Мы будем рассматривать только парные игры, в которых есть два игрока, и интересы которых полностью противоположны – антагонистические парные игры. Если игрок выиграл
, то игрок
выиграл
(потерял
). Поэтому такие игры называются так же играми с нулевой суммой.
Главным в игровой модели является то, что другая сторона – противник, активно противодействует вам в выборе оптимального решения. Поэтому мы должны объективно оценивать противника, т. е. становиться на его сторону, и считать, что противник не менее разумен чем мы. При этом меняется само понятие оптимального решения. В дальнейшем мы покажем, что принцип согласованного оптимума является основой игры.
Ходы в игре могут быть личные и случайные. Личный ход зависит от сознательного решения стороны, а случайный ход – результат случайного механизма, который иногда применяется специально, а иногда случайно вовлекается в игру.
Например, часто азартные игры состоят из одних случайных ходов. Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор вариантов действий при каждом личном ходе игрока в зависимости от сложившейся ситуации. Если количество стратегий конечно – игра конечная, в противном случае – бесконечная игра.
Задачей теории игр является обоснование оптимальных стратегий обоих игроков. В теории игр считается, что игра повторяется многократно и игроков интересует средний выигрыш. К сожалению, при подходе к выработке оптимального решения приходится применять тот или иной принцип оптимальности.
Платёжная матрица.
Рассмотрим конечную игру в которой у игрока
стратегий, а у
. Пусть при применении этих стратегий известен выигрыш
, тогда говорят, что задана платёжная матрица. Т. е. применение в каждой игре стратегии однозначно определяет исход игры. Если есть случайные ходы, то выигрыш так же случае, и можно взять математическое ожидание выигрыша. Построить матрицу можно не всегда из-за её большого размера (игра в шахматы). Для игр с полной информацией, т. е. когда один игрок знает, как поступил второй, всегда можно построить платёжную матрицу. Рассмотрим простейшие примеры игр:
1) Игра поиск. Игрок прячется в
первом или втором месте. Игрок
ищет его. Если игрок
находит
, то
платит ему один рубль, если же
не находит
, то
платит один рубль
. Построим платёжную матрицу.
Решение этой игры: .
2) Игра три пальца. игроки
и
одновременно показывают один, два или три пальца. Выигрыш равен сумме, причём если получилось чётное число очков, выигрывает
, а если нечётное, то
. Строим платёжную матрицу.
Решение у этой игры: .
3) Игра вооружение – самолёты. У стороны
есть три вида вооружения: зенитка, ракета и автомат. У
– три типа средств нападения. Известны вероятности, с которыми каждый
ый тип вооружения
сбивает каждое
ое средство противника
. Построим платёжную матрицу.
Решение для этой игры: . Такое решение называется седловой точкой.
Рассмотрим принципы , на основе которых можно обосновать оптимальные решение.
Принцип минимакса.
Рассмотрим игру . При анализе игр применяют принцип осторожности (пессимиста). Он требует, чтобы мы больше всего реагировали на плохие ходы со стороны противника (плохие для нас).
Будем рассуждать со стороны игрока : если игрок
идет по
, то мы просматриваем всю строку и фиксируем самую меньшую
. И так по всем строкам.
. После этого мы можем выбрать
так, чтобы
было лучшее из худших:
– нижняя цена игры (применяя принцип минимакса, меньше величины
ты не получишь).
Теперь рассмотрим игру со стороны игрока : если игрок рассмотрит столбец
, то самый худший для него – максимальный
в этом столбце.
. Затем выбираем такую стратегию
, которая обеспечивает минимум по максимальным
:
верхняя цена игры.
Итак, мы можем сразу найти и
анализируя матрицы.
Принцип чистых стратегий.
Если игра имеет седловую точку, то говорят, что игра решается в чистых стратегиях. Такое решение обладает свойством устойчивости, т. е. если один игрок придерживается своей оптимальной стратегии, то другому игроку невыгодно отклоняться от своей оптимальной стратегии. Это свойство устойчивости полагается в основу понятия оптимальной игры. В игре может быть несколько седловых точек. Но как правило таких точек нет, и нельзя найти решение в чистых стратегиях.