Гармонические колебания. Осциллятор

III. Колебания и волны

Механические колебания

Гармонические колебания. Осциллятор

В природе часто встречается периодическая зависимость от времени различных физических величин. Периодически изменяются со временем температура и освещенность при вращении Земли, периодическое движение совершают маятник часов и колеблющийся грузик на пружине. Периодическим называют процесс, при котором физическая величина принимает одинаковые значения через равные промежутки времени. Такие характерные промежутки времени называют периодом процесса.

При движении точки с постоянной скоростью по окружности период равен времени полного оборота. При колебаниях периодом является время, в течение которого совершается полное колебание. Вычислим период колебаний математического маятника — материальной точки, характеризуемой массой m и подвешенной на невесомой нити длиной l (рис.).

При свободном движении маятника в поле силы тяжести остается постоянной полная энергия маятника — сумма кинетической и потенциальной энергий
E = T + U . Следовательно, при бесконечно малом перемещении маятника вдоль траектории изменение полной энергии должно быть равно нулю.

Изменение потенциальной энергии маятника при его перемещении на расстояние dr можно вычислить как работу силы тяжести на пути dr. При этом работу совершает лишь составляющая силы тяжести вдоль направления движения. Составляющая силы тяжести, нормальная к направлению движения, работу не совершает. Таким образом, dU = m×g×sina dr.

Изменение полной энергии:

Произведя дифференцирование и разделив это уравнение сначала на dt, а затем на величину mv=mdr/dt, получим уравнение движения маятника в виде:

. (3.1)

Удобно перейти к переменной a, пользуясь соотношением dr = lda

. (3.2)

Это уравнение довольно сложное, несмотря на свой простой вид. Его можно упростить в случае малых колебаний, когда величина угла колебаний маятника, измеряемая в радианах, мала по сравнению с единицей, a << 1. В этом случае можно заменить sina ~ a , и уравнение движения принимает вид:

. (3.3)

Решением уравнения (3.3) является функция (в чем можно убедиться при прямой подстановке)

a = a₀cos(ωt+j₀), (3.4)

где a₀— максимальный угол отклонения маятника, являющийся амплитудой колебаний; ω— угловая частота колебаний, связанная с периодом колебаний соотношением ω=2p/T; j₀ — начальная фаза колебания — величина, характеризующая угол отклонения маятника (a₀cosj₀) в начальный момент его движения (t = 0).

Подставляя выражение (3.4) в уравнение (3.3), найдем, что последнее выполняется при значении угловой частоты:

, (3.5)

называемой собственной частотой колебаний маятника. Таким образом, период колебаний маятника:

. (3.6)

Обратим внимание на то, что период собственных колебаний не зависит ни от амплитуды колебаний маятника, ни от величины колеблющейся массы.

Рассмотрим другой пример малых колебаний вблизи положения равновесия — колебания массы под действием упругой силы (рис.). Если на конце пружины закреплена масса m и пружина характеризуется жесткостью k, то при смещении массы на расстояние x возникает возвращающая упругая сила F = –k×x. Уравнение колебаний массы в этом случае имеет вид:

, (3.7)

аналогичный уравнению (5.3):

. (3.8)

Собственной частотой колебаний массы на пружине является величина:

, (3.9)

а зависимость смещения массы от времени определяется выражением, аналогичным выражению (3.4):

x(t) = x_mcos(ω₀t+a₀). (3.10)

Такими же уравнениями колебательного движения описывается равномерное вращение точки по окружности постоянного радиуса. Колебания при этом испытывают координаты точки x(t) и y(t) (рис.):

x(t)=Rcos(ωt+a), (3.11)

y(t) = Rsin(ωt + a) = Rcos(ωt+a–p/2),

где угловая частота ω=v/R определяется постоянной скоростью вращения v. Видно, что координата y определяется той же периодической зависимостью от времени, что и координата x, но только сдвинутой относительно последней на p/2.

Все рассмотренные выше примеры имеют общее свойство — во всех случаях движение может быть описано с помощью всего лишь одной периодически изменяющейся со временем величины. В случае маятника такой величиной является угол отклонения a(t), в случае массы на пружине — величина смещения x(t), в случае движения точки по окружности — одна из координат x(t) или y(t) (другая может быть выражена через первую с помощью уравнения окружности). В механике о таких движениях говорят как о движениях с одной степенью свободы или одномерных движениях. Таким образом, при одномерном периодическом движении координата, соответствующая определенной степени свободы системы, испытывает колебания.

Материальную точку, совершающую колебания, называют осциллятором (от английского слова oscillation — колебание). Колебание, которое происходит по закону cos(ωt) и характеризуется единственной частотой ω, называют гармоническим (поскольку гармоническое звуковое колебание соответствует одному тону).

Таким образом, рассмотренные выше колебания представляют собой частные случаи свободных колебаний гармонического осциллятора:

, (3.12)

решение которого будем записывать в виде:

x(t)= Acos(ω₀t+a), (3.13)

здесь A– амплитуда колебаний; ω₀ – собственная частота; величина ω₀t+a–фаза колебания.

Удобство использования представления о гармоническом осцилляторе связано с тем, что сложные колебания системы со многими степенями свободы можно представить в виде набора колебаний отдельных гармонических осцилляторов, соответствующих различным степеням свободы.

Определим энергию гармонического осциллятора. Энергия колебания представляет собой полную энергию механического движения, выраженную через частоту и амплитуду колебания. Координата и скорость частицы, совершающей колебания, x(t)= Acos(ω₀t+a), v = –Aω₀sin(ω₀t+a), поэтому кинетическая и потенциальная энергия осциллятора примут вид:

.

Выразим постоянную k с помощью соотношения:

.

Полная энергия осциллятора

. (3.14)

Таким образом, энергия колебаний пропорциональна квадрату собственной частоты и квадрату амплитуды колебаний. Обратим внимание на сходство этого выражения с энергией вращения материальной точки вокруг некоторой оси: T=Jω²/2, где J – момент инерции точки. Роль момента инерции играет величина mA².

Комплексные числа

Комплексным числом z называется число вида

z=x+iy, (1)

где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица (i²=—1). Число x называется вещественной частью комплексного числа z. Символически это записывается в виде x=Rez. Число у называется мнимой частью z (записывается: y=lmz). Число

z*=x—iy. (2)

называется комплексно сопряженным числу x+iy. Вещественному числу x можно сопоставить точку на оси x.

Комплексному числу z можно сопоставить точку на плоскости, имеющую координаты x, y (рис.). Каждая точка плоскости определяет некоторое комплексное число z. Следовательно, комплексное число можно задать с помощью декартовых координат x и y соответствующей точки. Однако то же самое число можно задать с помощью полярных координат ρ и φ. Между обеими парами координат имеются соотношения

x = ρ∙cosφ, y = ρ∙sinφ, , φ=arctg(y/x). (3)

Расстояние от начала координат до точки, изображающей число z, называется модулем комплексного числа (обозначается |z|). Очевидно, что

z= .

Число φ называют аргументом комплексного числа z.

Приняв во внимание соотношения (3), можно представить комплексное число в тригонометрической форме:

z=ρ(cosφ+i sinφ).

Два комплексных числа z₁=x₁+iy₁ и z₂=x₂+iy₂ считаются равными друг другу, если в отдельности равны их вещественные и мнимые части:

z₁=z₂, если x₁=x₂ и y₁=y₂.

Модули двух равных между собой комплексных чисел одинаковы, а аргументы могут отличаться лишь слагаемым, кратным 2π:

ρ₁ = ρ₂, φ₁=φ₂±2kπ.

Из выражений (1) и (2) видно, что в случае, когда z*=z, мнимая часть z есть нуль, т. е. число z оказывается чисто вещественным. Таким образом, условие вещественности числа z можно записать в виде

z* =z.

В математике доказывается соотношение

e^iφ = соsφ +isinφ, (4)

которое называется формулой Эйлера. Заменив в этой формуле φ на —φ и учтя, что cos (—φ)=cosφ, a sin(‑φ) = — sinφ, получим соотношение

e^‑iφ = соsφ ‑ i∙sinφ. (5)

Сложим выражения (4) и (5) и решим получившееся соотношение относительно cosφ. В результате имеем

соsφ = 1/2∙(e^iφ +е^‑iφ).

Вычтя (5) из (4), получим, что sinφ = (1/2i) (e^iφ ‑ e^‑iφ).

С помощью формулы (4) комплексное число можно записать в показательной форме:

z = ρe^‑iφ.

Комплексно сопряженное число в показательной форме имеет вид

z* = ρe^‑iφ.

При сложении комплексных чисел складываются отдельно их вещественные и мнимые части:

z₁+z₂=(x₁+x₂)+i(y₁+y₂).

Перемножение комплексных чисел удобно осуществлять, беря эти числа в показательной форме:

z = z₁∙z₂ = ρ₁e^iφ₁∙ρ₂e^iφ₂ = ρ₁ρ₂e^i(φ₁ ^{+ φ}₂⁾

Модули комплексных чисел перемножаются, а аргументы складываются:

ρ=ρ₁∙ρ₂, φ=φ₁+φ₂.

Аналогично осуществляется деление комплексных чисел:

легко получить, что

z∙z* = ρ².

(квадрат модуля комплексного числа равен произведению этого числа на его комплексно сопряженное).

Сложение колебаний

Колебания могут складываться и при этом усиливать или гасить друг друга, или изменять траекторию движения тела. Рассмотрим сложение колебаний, совершаемых в одном направлении. Пусть осциллятор совершает два одновременных колебания в одном направлении и одинаковой частоты ω₀:

x₁=A₁cos(ω₀t+a₁) и x₂=A₂cos(ω₀t+a₂).

При этом суммарное колебание координаты x(t) равно x = x₁ + x₂. Представим колебания x₁ и x₂ в виде векторов на плоскости (рис.), модулями которых являются амплитуды колебаний, а фазы колебаний будут служить углами наклона векторов к оси x. При изменении времени векторы x₁ и x₂, будут равномерно вращаться в плоскости рисунка, однако разность фаз между колебаниями остается неизменной. Из рисунка видно, что вектор x = x₁ + x₂, представляет собой сумму колебаний x₁ и x₂. В самом деле, проекции векторов x₁, и x₂, на ось x соответственно равны A₁cos(ω₀t+a₁) и А₂cos(ω₀t+a₂), а проекция вектора x равна сумме этих проекций. Результирующее колебание также можно записать в виде: x(t)=x₁+x₂= = Acos(ω₀t+a). Частота результирующего колебания равна частоте складываемых колебаний, т. е. результирующее колебание также гармоническое. Амплитуду результирующего колебания нетрудно найти из рис.

, (3.15)

а новую начальную фазу определить так:

. (3.16)

Из формулы (3.15) следует, что амплитуда результирующего колебания существенно зависит от значения разности фаз начальных колебаний. Если разность фаз a₁–a₂=0, колебания находятся в фазе, и амплитуды A₁ и A₂ складываются A = A₁ + A₂. Если же разность фаз равна ±p, колебания находятся в противофазе, т.е. амплитуда результирующего колебания A = |A₁ – A₂|.

Выше было рассмотрено сложение двух колебаний с одинаковой частотой, при этом результирующее колебание осталось гармоническим с той же частотой. Если складываются колебания разной частоты, то векторы x₁ и x₂ в плоскости будут вращаться с разной скоростью (рис.). Тогда результирующий вектор в процессе вращения будет изменяться по величине и описывать сложное негармоническое колебание.

Рассмотрим сложение колебаний во взаимно перпендикулярных направлениях. Наиболее простым примером такого колебания являются одновременные колебания частицы в направлениях x и y, происходящие с одинаковыми частотами и амплитудами (см. формулы (3.11)). Как было установлено, результирующее движение представляет собой равномерное вращение в плоскости по окружности с радиусом, равным амплитудам колебаний величин x и y. В случае неравных амплитуд и частот элементарных колебаний результирующее движение может происходить по весьма сложным траекториям и не будет гармоническим.

Таким образом, сложение гармонических колебаний с различными частотами и амплитудами позволяет осуществить колебание произвольной формы. Это обстоятельство используется для создания негармонических колебаний необходимой формы. Отсюда следует и обратное утверждение: всякое сложное негармоническое колебание может быть представлено в виде суммы простых гармонических колебаний. Другими словами, движение сложной колебательной системы со многими степенями свободы можно описать, рассматривая соответствующий набор гармонических осцилляторов.

Свободные механические колебания могут существовать в системах, где сохраняется полная механическая энергия. В реальных системах всегда присутствует трение, благодаря которому свободные колебания, возбужденные первоначально в системе, со временем будут затухать. Кроме того, колебания в различных системах часто происходят под действием внешней силы — так называемой вынуждающей силы. Колебания при наличии сил трения являются затухающими, а под действием внешней силы — вынужденными.

Затухающие колебания.

Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, колебания будут затухать. В простейшем, и вместе с тем наиболее часто встречающемся, случае сила сопротивления F* пропорциональна величине скорости:

. (3.18)

Здесь r — постоянная, называемая коэффициентом сопротивления. Знак минус обусловлен тем, что сила F* и скорость v имеют противоположные направления; следовательно, их проекции на ось x имеют разные знаки.

Уравнение второго закона Ньютона при наличии сил сопротивления имеет вид

. (3.19)

Применив обозначения

(3.20)

ω₀ ‑ представляет собой ту частоту, с которой совершались бы свободные колебания системы в отсутствие сопротивления среды (при r = 0). Эту частоту называют собственной частотой системы.

перепишем уравнение (3.19) следующим образом:

. (3.21)

Подстановка в (3.21) функции x=e^λt приводит к характеристическому уравнению

(3.22)

Корни этого уравнения равны

, . (3.23)

При не слишком большом затухании (при β<ω₀) подкоренное выражение будет отрицательным. Представим его в виде (iω)², где ω — вещественная величина, равная

. (3.24)

Тогда корни характеристического уравнения запишутся следующим образом:

, . (3.25)

Общим решением уравнения (58.1) будет функция

.

Таким образом, при не слишком сильном затухании общее решение уравнения (3.21) имеет вид

. (3.26)

Здесь a₀ и α — произвольные постоянные, ω — величина, определяемая формулой (3.24). На рис. дан график функции (3.26). Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки x.

В соответствии с видом функции (3.26) движение системы можно рассматривать как гармоническое колебание частоты ω с амплитудой, изменяющейся по закону a(t) = a₀e^‑β∙t. Верхняя из пунктирных кривых на рис. дает график функции a(t), причем величина a₀ представляет собой амплитуду в начальный момент времени. Начальное смещение x₀ зависит, кроме a₀, также от начальной фазы α: x₀ =a₀∙cosα.

Скорость затухания колебаний определяется величиной β = r/2m, которую называют коэффициентом затухания. Найдем время τ, за которое амплитуда уменьшается в e раз. По определению e^‑β∙τ = e^‑1, откуда β∙τ = 1. Следовательно, коэффициент затухания обратен по величине тому промежутку времени, за который амплитуда уменьшается в e раз.

Согласно формуле (3.24) период затухающих колебаний равен

. (3.27)

При незначительном сопротивлении среды ( ) период колебаний практически равен T₀ = 2π/ω₀. С ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается.

Последующие наибольшие отклонения в какую-либо сторону (например, a', a'', a''' и т.д. на рис. образуют геометрическую прогрессию. Действительно, если a' =a₀e^‑β∙t, то a'' = a₀e^‑β(t+T) = a'e^‑βT, a''' =a₀e^‑β(t+2T) =a''e^‑βT и т. д. Вообще, отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, равно

.

Это отношение называют декрементом затухания, а его логарифм — логарифмическим декрементом затухания:

(3.28)

(не путать с λ в формулах (3.23 ) и (3.25)!).

Для характеристики колебательной системы обычно используется логарифмический декремент затухания λ. Выразив в соответствии с (3.28) β через λ, и T, можно закон убывания амплитуды со временем записать в виде

.

За время τ, за которое амплитуда уменьшается в е раз, система успевает совершить N_e = τ/T колебаний. Из условия получается, что . Следовательно, логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в e раз.

Для характеристики колебательной системы часто употребляется также величина

, (3.29)

называемая добротностью колебательной системы. Как видно из ее определения, добротность пропорциональна числу колебаний N_e, совершаемых системой за то время τ, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

Подстановка функции (58.7) и ее производной в выражение для полной энергии колеблющейся системы E=kx²/2 + mv²/2 приводит после преобразований к формуле

, (3.30)

где y = arctg (β/ω). График этой функции изображен на рис. Убывание энергии обусловлено работой силы сопротивления среды . Мощность, развиваемая этой силой, равна . Таким образом,

.

Отсюда вытекает, что в тех точках кривой E(t), где , касательная к кривой параллельна оси t. В остальных точках dE/dt < 0.

При малом затухании (β<<ω₀) слагаемым, содержащим синус, в формуле (3.30) можно пренебречь и считать, что энергия изменяется по закону

E = E₀e^‑2βt, (3.31)

где E₀ = k(a₀)²/2 — значение энергии в начальный момент. К тому же результату можно прийти, если заменить определяемое формулой (3.30) мгновенное значение E(t) его средним значением за времяот t—T/2 до t + T/2 (T — период колебаний), вычисленным в предположении, что множитель ехр (—2βt) в течение промежутка T остается постоянным.

Из формулы (3.27) следует, что с ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается. При β=ω₀ период колебаний обращается в бесконечность, т. е. движение перестает быть периодическим.

При β>ω₀ корни характеристического уравнения становятся вещественными (см. (3.25)) и решение дифференциального уравнения (3.21) оказывается равным сумме двух экспонент:

.

Здесь C₁ и C₂ — вещественные постоянные, значения которых зависят от начальных условий (от x₀ и v₀).Следовательно, движение носит апериодический (непериодический) характер— выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний.

На рис.показано оба возможных способа возвращения системы к положению равновесия при апериодическом движении. Каким из этих способов приходит система в положение равновесия, зависит от начальных условий. Движение, изображаемое кривой 2, получается в том случае, когда система начинает двигаться из положения, характеризуемого смещением x₀, к положению равновесия с начальной скоростью v₀ определяемой условием

. (3.32)

Это условие будет выполнено в том случае, если выведенной из положения равновесия системе сообщить достаточно сильный толчок к положению равновесия. Если, отведя систему из положения равновесия, отпустить ее без толчка (т. е. с v₀=0) или сообщить ей толчок недостаточной силы (такой, что v₀ окажется меньше определяемой условием (3.32)), движение будет происходить в соответствии с кривой 1 на рис.

Волновое движение