Производные основных элементарных функций 2 страница
Примечание:Формулы интегрирования сохраняют свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции от нее, т.е. если
Tаким образом, применение основной таблицы сразу расширяется.
Например
Задачи 51 – 60
Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.
Интегралы б), в), г), д) в ваших контрольных работах берутся методом замены переменной (подстановкой).
При этом вводится новая переменная t = φ(x), которая является функцией от х. Если новая переменная введена удачно, то в результате замены получаем табличные интегралы.
Некоторые рекомендации по введению новой переменной смотрите ниже в примерах.
Напомним формулу для нахождения дифференциала функции одной переменной:
или
Пример 1.
Если под знаком интеграла содержится показательная функция, то за новую переменную t удобно принимать показатель степени, если под интегралом присутствует производная этого показателя с точностью до постоянного множителя.
В конце возвращаемся к первоначальной переменной, подставив вместо t выражение (-x3).
Проверка. Если интеграл взят правильно, то производная от полученного результата равна подынтегральной функции:
что и требовалось доказать.
Пример 2.
Если под интегралом содержится логарифмическая функция, то удобно принять ее за новую переменную, если под знаком интеграла присутствует производная этой функции (с точностью до постоянного множителя).
Проверка:
Пример 3.
Часто удобно обозначать за новую переменную знаменатель дроби подынтегральной функции.
Проверка:
Пример 4.
Проверка:
Пример 5.
Часто за новую переменную удобно взять подкоренное выражение, если под интегралом присутствует также его производная с точностью до постоянного множителя.
Проверка:
Пример 6.
Подстановка выбирается аналогично предыдущему примеру.
Примечание.Сделайте самостоятельную проверку в примере 6-14
Пример 7.
Новая переменная иногда выбирается из следующих соображений: в знаменателе стоит разность постоянной и квадрата некоторой функции. Эту функцию мы принимаем за новую переменную, если в числителе присутствует ее производная (с точностью до постоянного множителя).
Пример 8.
Подстановка выбирается аналогично предыдущему примеру.
Пример 9.
За новую переменную иногда выбирают функцию, стоящую в основании степени, если подынтегральное выражение содержит производную этой функции с точностью до постоянного множителя.
Пример 10.
Подстановка выбирается аналогично предыдущему примеру.
Интеграл из пункта е) вашей контрольной работы берется методом интегрирования «по частям». Этим методом интегрируются некоторые произведения, например, произведения степенной функции на логарифмическую или на показательную, или на тригонометрическую, или на обратные тригонометрические функции и др.
Интегрирование «по частям» производится по формуле
Чтобы воспользоваться этой формулой, следует один множитель в подынтегральном выражении обозначить за « », а оставшийся множитель вместе с принять за « ».
Для того, чтобы интеграл в правой части был проще данного интеграла, надо правильно выбрать « » и « ».
В интегралах, берущихся по частям, обычно логарифмическую и обратные тригонометрические функции принимают за «u». Если подынтегральная функция содержит произведение степенной функции на показательную или тригонометрическую, то за «u» принимается степенная функция.
Пример 11.
Пример 12.
Пример 13.
Пример 14.
Чтобы взять последний интеграл, умножим и разделим числитель на 9, затем вчислителе прибавим иотнимем единицу, после чего разобьем интеграл на два табличных:
Обязательно сделайте проверку в примерах 6-14.
Задачи 61-70
В этих задачах используется определенный интеграл, который вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница.
где F(x) - первообразная для f(x), то есть F'(x) = f(x);
a и b - пределы интегрирования, показывающие, как меняется переменная интегрирования х.
Обратите внимание на то, что определенный интеграл - это число в отличие от неопределенного интеграла, который является множеством функций. Формула Ньютона-Лейбница связывает определенный и неопределенный интегралы. Чтобы ею воспользоваться, следует взять сначала неопределенный интеграл (вернее, найти лишь одну первообразную, не прибавляя произвольной постоянной), а затем вычислить разность значений первообразной в верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Например
Задача. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой . Сделать чертеж.
Решение. Построим параболу и прямую.
Для построения параболы найдем координаты ее вершины и точки пересечения ее с осями координат.
Вершина параболы является точкой экстремума, поэтому для ее отыскания найдем производную и приравняем ее к нулю.
; ; ,
Тогда .
Итак, вершина параболы в точке .
Точки пересечения параболы с осью Ох: , тогда
, откуда ; , то есть точки и .
Точка пересечения с осью Оу: , тогда ; то есть точка .
Строим параболу по найденным точкам, замечая, что ветви параболы направлены вверх (рис. 9).
Прямую у = х-1 строим по двум точкам:
получены точки (0;-1) и (1 ;0). Заштрихуем плоскую фигуру, ограниченную параболой и прямой.
Найдем точки пересечения параболы и прямой, решив систему уравнений:
Для отыскания искомой площади воспользуемся формулой
,
где функции f1(x) и f2(x) ограничивают фигуру соответственно снизу и сверху, то есть f2(х) ≥f1 (х) при х Є [а;b].
В нашей задаче f1(x) = x2 -6x + 5;f2(x) = x-l; x Є [l;6].
Поэтому
Ответ: Площадь искомой криволинейной трапеции:
Задачи № 71-90
Названные задачи относятся к теме «Дифференциальные уравнения». По этой теме необходимо изучить следующие вопросы:
1. Какое уравнение называется дифференциальным? Как определяется порядок дифференциального уравнения?
Определение. Уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и ее производные, называется дифференциальным.
или
Порядок дифференциального уравнения определяется наличием наивысшей производной:
- дифференциальное уравнение первого порядка
- дифференциальное уравнение второго порядка
2. Что называется решением дифференциального уравнения? Общее и частные решения дифференциальных уравнений первого и второго порядка.
Определение. Решением дифференциального уравнения называется такая функция , которая вместе с ее производными удовлетворяет этому уравнению (превращает его в тождество).
Общее решение имеет вид: .
Решение, полученное из общего при конкретных значениях произвольных постоянных называется частным.
Общее решение дифференциальных уравнений первого и второго порядка имеют соответственно вид:
3. Задача Коши для дифференциального уравнения первого и второго порядков.
Задача отыскания частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям:
Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: . Нахождение их общего и частного решений.
4. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными сводится к уравнению с разделенными переменными , которое решается интегрированием обеих частей:
5. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка: Отыскание его общего и частного решений.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
при является уравнением с разделяющимися переменными. Если , то уравнение решается с помощью подстановки ,где и неизвестные функции, зависимые от . После ряда преобразований линейное уравнение сводится к двум дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными.
6. Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, нахождение их общих и частных решений.
Задача. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию .
Уравнения предлагаемого вида являются линейными, так как содержат искомую функцию « » и ее производную « » в первых степенях. Один из способов решения таких уравнений заключается в том, что функцию y(x) ищем в виде произведения двух дифференцируемых функций u(x) и v(x), одна из которых подбирается специальным образом, а другая находится из условия их удовлетворения исходному уравнению. С помощью этого приема решение линейного дифференциального уравнения первого порядка сводится к решению двух дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными соответственно для функций u(x) и v(x).
Рассмотрим ряд примеров. Напомним, что производная равна отношению дифференциалов:
Пример 1.
; при .
Ищем решение уравнения в виде . Найдем производную этого произведения: . Подставим функцию y и ее производную в исходное уравнение:
В левой части уравнения сгруппируем слагаемые, имеющие общий множитель « », и вынесем его за скобку:
Подберем вспомогательную функцию « » так, чтобы обратилось в нуль выражение, стоящее в круглых скобках:
(1)
Тогда уравнение примет вид:
(2)
Оба последних уравнения решаются разделением переменных.
Сначала находим частное решение первого из них, то есть функцию , а затем, подставив ее во второе уравнение, найдем функцию .
1) ; 2) ; ; ; ;
Замечание. Решая первое уравнение (для вспомогательной функции ), берем лишь его частное решение, соответствующее . При решении второго уравнения для функции находим общее решение уравнения.
Так как , то - общее решение уравнения.
Для нахождения частного решения обратимся к начальному условию: при . Подставим эти значения в найденное общее решение дифференциального уравнения:
,
так как , то
Подставим найденное значение С в общее решение дифференциального уравнения, получим его частное решение:
.
Ответ: - общее решение дифференциального уравнения;
- частное решение дифференциального уравнения.
Пример 2. ;
Ищем решение в виде
Найдем производную: .
Подставим в исходное уравнение и :
;
Сгруппируем подчеркнутые слагаемые, вынеся за скобку общий множитель u:
Подберем вспомогательную функцию из условия:
(1)
Тогда уравнение примет вид:
(2)
Решаем поочередно два последних уравнения, причем для первого из них берем лишь частное решение , соответствующее .
Таким образом, - общее решение данного дифференциального уравнения.
Для нахождения частного решения воспользуемся начальными условиями: , подставив их в найденное общее решение:
Подставим , в общее решение уравнения:
Пример 3.
Ищем решение в виде , тогда .
Подставим и в данное уравнение:
Потребуем, чтобы (1) , тогда (2)
Решим последовательно оба уравнения, причем для первого из них берем лишь частное решение при .
Так как , то
- это общее решение исходного дифференциального уравнения.
Для нахождения частного решения обратимся к начальным условиям ; и подставим их в найденное общее решение:
Искомое частное решение получим из общего, подставив в него найденное значение :
Ответ: - общее решение;
- частное решение.
Замечание. Чтобы проверить правильность найденного решения (общего или частного), нужно подставить его в исходное уравнение и убедиться, что получится верное равенство (тождество).
Пример 4. Найти частное решение уравнения:
,
удовлетворяющее начальным условиям .
Решение. Общее решение данного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и какого-либо частного решения данного уравнения, то есть