Производные основных элементарных функций 2 страница

Примечание:Формулы интегрирования сохраняют свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции от нее, т.е. если

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Tаким образом, применение основной таблицы сразу расширяется.

Например

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Задачи 51 – 60

Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить диффе­ренцированием.

Интегралы б), в), г), д) в ваших контрольных работах берутся методом замены переменной (подстановкой).

При этом вводится новая переменная t = φ(x), которая является функцией от х. Если новая переменная введена удачно, то в результа­те замены получаем табличные интегралы.

Некоторые рекомендации по введению новой переменной смот­рите ниже в примерах.

Напомним формулу для нахождения дифференциала функции одной переменной:

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru или Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Пример 1.

Если под знаком интеграла содержится показательная функция, то за новую переменную t удобно принимать показатель степени, ес­ли под интегралом присутствует производная этого показателя с точ­ностью до постоянного множителя.

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

В конце возвращаемся к первоначальной переменной, подставив вместо t выражение (-x3).

Проверка. Если интеграл взят правильно, то производная от по­лученного результата равна подынтегральной функции:

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

что и требовалось доказать.

Пример 2.

Если под интегралом содержится логарифмическая функция, то удобно принять ее за новую переменную, если под знаком интеграла присутствует производная этой функции (с точностью до постоянно­го множителя).

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Проверка:

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Пример 3.

Часто удобно обозначать за новую переменную знаменатель дро­би подынтегральной функции.

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Проверка:

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Пример 4.

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Проверка:

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Пример 5.

Часто за новую переменную удобно взять подкоренное выраже­ние, если под интегралом присутствует также его производная с точ­ностью до постоянного множителя.

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Проверка:

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Пример 6.

Подстановка выбирается аналогично предыдущему примеру.

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Примечание.Сделайте самостоятельную проверку в примере 6-14

Пример 7.

Новая переменная иногда выбирается из следующих соображе­ний: в знаменателе стоит разность постоянной и квадрата некоторой функции. Эту функцию мы принимаем за новую переменную, если в числителе присутствует ее производная (с точностью до постоянного множителя).

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Пример 8.

Подстановка выбирается аналогично предыдущему примеру.

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Пример 9.

За новую переменную иногда выбирают функцию, стоящую в основании степени, если подынтегральное выражение содержит про­изводную этой функции с точностью до постоянного множителя. Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Пример 10.

Подстановка выбирается аналогично предыдущему примеру.

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Интеграл из пункта е) вашей контрольной работы берется мето­дом интегрирования «по частям». Этим методом интегрируются не­которые произведения, например, произведения степенной функции на логарифмическую или на показательную, или на тригонометриче­скую, или на обратные тригонометрические функции и др.

Интегрирование «по частям» производится по формуле

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Чтобы воспользоваться этой формулой, следует один множитель в подынтегральном выражении обозначить за « Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru », а оставшийся множитель вместе с Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru принять за « Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru ».

Для того, чтобы интеграл в правой части был проще данного ин­теграла, надо правильно выбрать « Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru » и « Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru ».

В интегралах, берущихся по частям, обычно логарифмическую и обратные тригонометрические функции принимают за «u». Если по­дынтегральная функция содержит произведение степенной функции на показательную или тригонометрическую, то за «u» принимается степенная функция.

Пример 11.

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Пример 12.

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Пример 13.

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Пример 14.

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Чтобы взять последний интеграл, умножим и разделим числитель на 9, затем вчислителе прибавим иотнимем единицу, после чего ра­зобьем интеграл на два табличных:

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Обязательно сделайте проверку в примерах 6-14.

Задачи 61-70

В этих задачах используется определенный интеграл, который вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница.

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

где F(x) - первообразная для f(x), то есть F'(x) = f(x);

a и b - пределы интегрирования, показывающие, как меняется переменная интегрирования х.

Обратите внимание на то, что определенный интеграл - это чис­ло в отличие от неопределенного интеграла, который является множеством функций. Формула Ньютона-Лейбница связывает опреде­ленный и неопределенный интегралы. Чтобы ею воспользоваться, следует взять сначала неопределенный интеграл (вернее, найти лишь одну первообразную, не прибавляя произвольной постоянной), а за­тем вычислить разность значений первообразной в верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Например Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Задача. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru и прямой Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru . Сделать чертеж.

Решение. Построим параболу и прямую.

Для построения параболы найдем координаты ее вершины и точ­ки пересечения ее с осями координат.

Вершина параболы является точкой экстремума, поэтому для ее отыскания найдем производную и приравняем ее к нулю.

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru ; Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru ; Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru ,

Тогда Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru .

Итак, вершина параболы в точке Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru .

Точки пересечения параболы с осью Ох: Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru , тогда

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru , откуда Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru ; Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru , то есть точки Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru и Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru .

Точка пересечения с осью Оу: Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru , тогда Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru ; то есть точка Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru .

Строим параболу по найденным точкам, замечая, что ветви пара­болы направлены вверх (рис. 9).

Прямую у = х-1 строим по двум точкам: Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

получены точки (0;-1) и (1 ;0). Заштрихуем плоскую фигуру, ограниченную параболой и пря­мой.

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Найдем точки пересечения параболы и прямой, решив систему уравнений:

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Для отыскания искомой площади воспользуемся формулой

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru ,

где функции f1(x) и f2(x) ограничивают фигуру соответственно снизу и сверху, то есть f2(х) ≥f1 (х) при х Є [а;b].

В нашей задаче f1(x) = x2 -6x + 5;f2(x) = x-l; x Є [l;6].

Поэтому

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Ответ: Площадь искомой криволинейной трапеции:

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Задачи № 71-90

Названные задачи относятся к теме «Дифференциальные уравнения». По этой теме необходимо изучить следующие вопросы:

1. Какое уравнение называется дифференциальным? Как определяется порядок дифференциального уравнения?

Определение. Уравнение, связывающее независимую переменную Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru , искомую функцию Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru и ее производные, называется дифференциальным.

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru или

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Порядок дифференциального уравнения определяется наличием наивысшей производной:

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru - дифференциальное уравнение первого порядка

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru - дифференциальное уравнение второго порядка

2. Что называется решением дифференциального уравнения? Общее и частные решения дифференциальных уравнений первого и второго порядка.

Определение. Решением дифференциального уравнения называется такая функция Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru , которая вместе с ее производными удовлетворяет этому уравнению (превращает его в тождество).

Общее решение имеет вид: Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru .

Решение, полученное из общего при конкретных значениях произвольных постоянных Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru называется частным.

Общее решение дифференциальных уравнений первого и второго порядка имеют соответственно вид:

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

3. Задача Коши для дифференциального уравнения первого и второго порядков.

Задача отыскания частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям:

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru . Нахождение их общего и частного решений.

4. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru сводится к уравнению с разделенными переменными Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru , которое решается интегрированием обеих частей:

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

5. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка: Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru Отыскание его общего и частного решений.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

при Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru является уравнением с разделяющимися переменными. Если Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru , то уравнение решается с помощью подстановки Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru ,где Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru и Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru неизвестные функции, зависимые от Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru . После ряда преобразований линейное уравнение сводится к двум дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными.

6. Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, нахождение их общих и частных решений.

Задача. Найти общее решение дифференциального уравнения Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru и частное решение, удовлетворяющее начальному условию Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru .

Уравнения предлагаемого вида являются линейными, так как содержат искомую функцию « Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru » и ее производную « Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru » в первых степенях. Один из способов решения таких уравнений заключается в том, что функцию y(x) ищем в виде произведения двух дифференцируемых функций u(x) и v(x), одна из которых подбирается специальным образом, а другая находится из условия их удовлетворения исходному уравнению. С помощью этого приема решение линейного дифференциального уравнения первого порядка сводится к решению двух дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными соответственно для функций u(x) и v(x).

Рассмотрим ряд примеров. Напомним, что производная равна отношению дифференциалов:

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Пример 1.

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru ; Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru при Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru .

Ищем решение уравнения в виде Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru . Найдем производную этого произведения: Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru . Подставим функцию y и ее производную Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru в исходное уравнение:

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

В левой части уравнения сгруппируем слагаемые, имеющие общий множитель « Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru », и вынесем его за скобку:

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Подберем вспомогательную функцию « Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru » так, чтобы обратилось в нуль выражение, стоящее в круглых скобках:

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru (1)

Тогда уравнение примет вид:

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru (2)

Оба последних уравнения решаются разделением переменных.

Сначала находим частное решение первого из них, то есть функцию Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru , а затем, подставив ее во второе уравнение, найдем функцию Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru .

1) Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru ; Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru 2) Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru ; Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru ; Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru ; Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru ; Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Замечание. Решая первое уравнение (для вспомогательной функции Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru ), берем лишь его частное решение, соответствующее Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru . При решении второго уравнения для функции Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru находим общее решение уравнения.

Так как Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru , то Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru - общее решение уравнения.

Для нахождения частного решения обратимся к начальному условию: Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru при Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru . Подставим эти значения в найденное общее решение дифференциального уравнения:

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru ,

так как Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru , то Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Подставим найденное значение С в общее решение дифференциального уравнения, получим его частное решение:

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru .

Ответ: Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru - общее решение дифференциального уравнения;

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru - частное решение дифференциального уравнения.

Пример 2. Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru ; Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Ищем решение в виде Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Найдем производную: Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru .

Подставим в исходное уравнение Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru и Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru :

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru ; Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Сгруппируем подчеркнутые слагаемые, вынеся за скобку общий множитель u:

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Подберем вспомогательную функцию Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru из условия:

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru (1)

Тогда уравнение примет вид:

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru (2)

Решаем поочередно два последних уравнения, причем для первого из них берем лишь частное решение Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru , соответствующее Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru .

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Таким образом, Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru - общее решение данного дифференциального уравнения.

Для нахождения частного решения воспользуемся начальными условиями: Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru , подставив их в найденное общее решение:

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Подставим Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru , в общее решение уравнения:

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Пример 3. Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Ищем решение в виде Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru , тогда Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru .

Подставим Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru и Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru в данное уравнение:

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Потребуем, чтобы Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru (1) , тогда Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru (2)

Решим последовательно оба уравнения, причем для первого из них берем лишь частное решение при Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru .

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Так как Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru , то

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru - это общее решение исходного дифференциального уравнения.

Для нахождения частного решения обратимся к начальным условиям Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru ; Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru и подставим их в найденное общее решение:

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Искомое частное решение получим из общего, подставив в него найденное значение Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru : Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru

Ответ: Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru - общее решение;

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru - частное решение.

Замечание. Чтобы проверить правильность найденного решения (общего или частного), нужно подставить его в исходное уравнение и убедиться, что получится верное равенство (тождество).

Пример 4. Найти частное решение уравнения:

Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru ,

удовлетворяющее начальным условиям Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru .

Решение. Общее решение Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru данного уравнения равно сумме общего решения Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru однородного уравнения и какого-либо частного решения Производные основных элементарных функций 2 страница - student2.ru данного уравнения, то есть

Наши рекомендации