Вопрос 2.1. Определение комплексных чисел

Комплексные числа впервые встречаются в работах итальянских математиков, начиная с середины XVI века (Кардано, Бомбелли). К тридцатым годам XIX века была построена не противоречивая теория комплексных чисел (Гаусс, Гамильтон и др.). К этой теории мы и переходим.

Определение 2.1. Упорядоченной парой вещественных чисел называется пара чисел, для которой известно какое число считается первым, а какое вторым.

Определение 2.2. Множеством комплексных чисел называется множество упорядоченных пар вещественных чисел , для которых определены отношения равенства и операции сложения и умножения по следующим правилам:

a) отношение равенства: две пары равны если ,

б) сложение: ,

в) умножение: .

Комплексное число , для сокращения записи, будем обозначать буквой z. Действительные числа x и y называют соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа z и обозначают символами и . Множество всех комплексных чисел обозначают буквой C.

Из определения операций сложения и умножения комплексных чисел вытекают следующие алгебраические законы:

1) ‑ коммутативный (или переместительный) закон сложения;

2) ‑ ассоциативный (или сочетательный) закон сложения;

3) ‑ коммутативный (или переместительный) закон умножения;

4) ‑ ассоциативный (или сочетательный) закон умножения;

5) ‑ дистрибутивный (или распределительный) закон относительно сложения.

Доказательство.

Действительно

1) ;

2)

3)

;

4)

;

5)

.

Конец доказательства.

Замечание 2.1. Определение операции умножения для комплексных чисел не очевидно, однако именно при таком определении на множестве комплексных чисел отсутствуют делители нуля.

Число называется комплексным нулем и обозначается 0. Его роль аналогична роли вещественного нуля:

Лемма 2.1.Комплексный ноль единственен.

Доказательство. Пусть существует второе число q, такое что . Тогда

.

Конец доказательства.

Число называется противоположным к числу z, если:

.

Лемма 2.2.Для любого комплексного числа противоположное к нему число существует и единственено, причем .

Доказательство. Очевидно, что

.

Пусть существует второе число , такое что . Тогда

,

.

Отсюда .

Конец доказательства.

Определение 2.3. Число называется единицей и обозначается 1. Ее роль аналогична роли вещественной единице:

для любого .

Лемма 2.3. Единица единственена.

Доказательство. Пусть существует второе число , такое что . Тогда

.

Конец доказательства.

Число называется обратным к числу z, если:

.

Лемма 2.4.Для любого комплексного числа , не равного нулю, обратное к нему число существует и единственено, причем .

Доказательство. Пусть и . Тогда

.

Отсюда

Умножая первое уравнение на x, а второе – на y и складывая, получим

или .

Умножая первое уравнение на , а второе – на x и складывая, получим

или .

Отсюда найдем обратное к z число

.

Пусть существует второе число , такое что . Тогда

,

.

Отсюда .

Конец доказательства.

Выделим еще раз свойства операций сложения и умножения комплексных чисел:

1) (сложение коммутативно);

2) (сложение ассоциативно);

3) (особая роль нуля);

4) (для каждого z существует противоположное число );

5) (коммутативно);

6) (умножение ассоциативно);

7) , , , (особая роль единицы);

8) , (для каждого существует обратное число );

9) (умножение дистрибутивно относительно сложения)

Отсюда заключаем, что относительно операции сложения множество комплексных чисел образует абелеву группу.

Определим теперь операцию вычитания двух комплексных чисел

Очевидно, что если , то . Далее, так как верно равенство , то по соглашению .

Введем теперь операцию деления. Так же как и для вещественных чисел, будем считать комплексное число z результатом деления комплексного числа на комплексное число , если .

Покажем, что операция деления определена для любых комплексных чисел и , за исключение деления на комплексный ноль. Итак, пусть результат деления , где x и y неизвестны. Имеем

Отсюда получаем алгебраическую систему двух линейных уравнений

Умножим первое уравнение на , а второе на и сложим, затем умножим первое уравнение на , а второе на и вычтем его из первого, тогда получим

Отсюда

,

Если , то и деление невозможно.

Законы алгебраических операций над комплексными числами совпадают с законами алгебраических операций над вещественными числами. Поэтому, все алгебраические соотношения для вещественных чисел переносятся на комплексные числа.

Пример 2.1. .

Это есть известная формула разности квадратов двух чисел.

Это есть формула квадрата суммы двух чисел.

Конец примера.

Формулы умножения и деления двух комплексных чисел запоминать не следует, так как в следующем Вопросе лекции №2 будут указаны простые способы выполнения этих операций путем представления комплексного числа в одной из трех форм: алгебраической, тригонометрической и показательной.