Показательная форма комплексного числа

Показательная и тригонометрические функции в области комплексных чисел связаны между собой формулой

Показательная форма комплексного числа - student2.ru (17.10)


которая носит название формулы Эйлера. Обосновать ее можно с помощью теории степенных рядов. Эта теория будет изложена в курсе математического анализа.

Пусть комплексное число Показательная форма комплексного числа - student2.ru в тригонометрической форме имеет вид Показательная форма комплексного числа - student2.ru . На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим

Показательная форма комплексного числа - student2.ru

Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь Показательная форма комплексного числа - student2.ru , Показательная форма комплексного числа - student2.ru .

Пример 17.7 Пусть Показательная форма комплексного числа - student2.ru . Напишите показательную форму числа Показательная форма комплексного числа - student2.ru .

Решение. Находим модуль и аргумент числа:

Показательная форма комплексного числа - student2.ru

Следовательно, показательная форма комплексного числа такова:

Показательная форма комплексного числа - student2.ru

Пример 17.8 Комплексное число записано в показательной форме

Показательная форма комплексного числа - student2.ru

Найдите его алгебраическую форму.

Решение. По формуле Эйлера

Показательная форма комплексного числа - student2.ru

Итак, алгебраическая форма числа: Показательная форма комплексного числа - student2.ru .

С помощью формулы Эйлера можно определить показательную функцию комплексного аргумента. Пусть Показательная форма комплексного числа - student2.ru . Тогда

Показательная форма комплексного числа - student2.ru

Например,

Показательная форма комплексного числа - student2.ru

Заменим в формуле Эйлера Показательная форма комплексного числа - student2.ru на Показательная форма комплексного числа - student2.ru . Получим:

Показательная форма комплексного числа - student2.ru

С учетом свойств тригонометрических функций имеем:

Показательная форма комплексного числа - student2.ru

Сложив последнюю формулу с формулой Эйлера, получим:

Показательная форма комплексного числа - student2.ru

Откуда

Показательная форма комплексного числа - student2.ru (17.11)


Аналогично, с помощью вычитания, можно получить формулу

Показательная форма комплексного числа - student2.ru (17.12)


С помощью формулы для косинуса вычислим, например, Показательная форма комплексного числа - student2.ru :

Показательная форма комплексного числа - student2.ru

Таким образом, в комплексной области модуль косинуса может быть и больше 1. Более того, в комплексной области функции Показательная форма комплексного числа - student2.ru и Показательная форма комплексного числа - student2.ru , определяемые с помощью формул (17.11) и (17.12), являются неограниченными функциями. Действительно, из этих формул мы получаем:

Показательная форма комплексного числа - student2.ru (17.13)


Так как гиперболические косинус и синус являются неограниченными функциями, то и тригонометрические функции косинус и синус являются неограниченными функциями (в комплексной области).

Отметим также, что формулы (17.13) объясняют, почему для гиперболических функций многие соотношения очень похожи на соотношения между тригонометрическими функциями, например, основное тригонометрическое тождество, формулы двойного аргумента.

№6

Вектор — это элемент векторного пространства (некоторого множества с двумя операциями на нём, которые подчиняются восьми аксиомам). С точки зрения математики, после выбора базиса пространства, вектор представляет собой набор величин (координат вектора), которые меняются строго определённым образом при изменении базиса и системы координат, причём изменившиеся величины полагаются координатами того жесамого вектора в новом базисе и новой системе координат. Благодаря этому свойству вектор представляет собой объект, не зависящий от выбора базиса и связанной с ним системы координат. Точнее, координаты вектора являются разновидностью тензора — это тензор первого ранга типа (1,0).

Два вектора называются равными, если они:

1. коллинеарны

2. равны по длине

3. одинаково направлены

Или же — если они имеют одинаковые координаты в некотором (и тогда любом) базисе.

Операции над векторами

В этом разделе мы вспомним известные из школьного курса математики операции сложения векторов и умножения вектора на число, а также свойства этих операций.

Определение 10.6 Суммой векторов a и b называется такой третий вектор c, что при совмещенных началах этих трех векторов, векторы a и b служат сторонами параллелограмма, а вектор c -- его диагональю (рис. 10.2).

Показательная форма комплексного числа - student2.ru

Рис.10.2.Сложение векторов

Сложение векторов в соответствии с рисунком 10.2 называется сложением по правилу параллелограмма. Однако бывает более удобным использовать для сложения правило треугольника, которое становится ясным из рисунка 1.3. Из того же рисунка видно, что результаты сложения по правилу параллелограмма и по правилу треугольника одинаковы.

Показательная форма комплексного числа - student2.ru

Рис.10.3.Правило треугольника

Определение 10.7 Вектор b называется противоположным вектору a, если a и b коллинеарные, имеют противоположные направления и Показательная форма комплексного числа - student2.ru .

Вектор, противоположный вектору a, обозначается Показательная форма комплексного числа - student2.ru , то есть Показательная форма комплексного числа - student2.ru .

Определение 10.8 Разностью векторов a и b называется сумма Показательная форма комплексного числа - student2.ru .

Разность обозначается Показательная форма комплексного числа - student2.ru , то есть Показательная форма комплексного числа - student2.ru .

Определение 10.9 Произведением вектора a на вещественное число Показательная форма комплексного числа - student2.ru называется вектор b, определяемый условием

1) Показательная форма комплексного числа - student2.ru
и, если Показательная форма комплексного числа - student2.ru , то еще двумя условиями:

2) вектор b коллинеарен вектору a;

3) векторы b и a направлены одинаково, если Показательная форма комплексного числа - student2.ru , и противоположно, если Показательная форма комплексного числа - student2.ru .

Произведение вектора a на число Показательная форма комплексного числа - student2.ru обозначается Показательная форма комплексного числа - student2.ru (рис 1.4).

Показательная форма комплексного числа - student2.ru

Рис.10.4.Умножение вектора на число

Замечание 10.1 Когда речь идет о связи векторов с числами, то иногда числа называют скалярами. Таким образом, определение 10.9 задает умножение вектора на скаляр.

Рассмотрим некоторые свойства операций сложения и умножения вектора на число. Часть из них, которые будут особенно важны при обобщении понятия вектора, выделим в отдельную теорему.

Теорема 10.1 Для любых векторов Показательная форма комплексного числа - student2.ru и любых вещественных чисел Показательная форма комплексного числа - student2.ru выполняются следующие свойства:
1) Показательная форма комплексного числа - student2.ru (свойство коммутативности операции сложения);
2) Показательная форма комплексного числа - student2.ru (свойство ассоциативности операции сложения);
3) Показательная форма комплексного числа - student2.ru ;
4) Показательная форма комплексного числа - student2.ru ;
5) Показательная форма комплексного числа - student2.ru (свойство ассоциативности по отношению к числам);
6) Показательная форма комплексного числа - student2.ru (свойство дистрибутивности по отношению к умножению на число);
7) Показательная форма комплексного числа - student2.ru (свойство дистрибутивности по отношению к умножению на вектор;
8) Показательная форма комплексного числа - student2.ru .

Доказательство. Свойство 1 следует из того, что при сложении векторов по правилу параллелограмма (рис. 10.2) порядок слагаемых не влияет на построение параллелограмма. Доказательство свойства 2 следует из рисунка 10.5.

Показательная форма комплексного числа - student2.ru

Рис.10.5.Ассоциативность сложения

Свойства 3 и 4 очевидны при сложении векторов по правилу треугольника.

Докажем свойство 5. Векторы, стоящие в обеих частях доказываемого равенства, имеют одинаковую длину Показательная форма комплексного числа - student2.ru . Если это произведение равно нулю, то векторы в правой и левой частях доказываемого равенства нулевые и, следовательно, равны друг другу. В противном случае векторы Показательная форма комплексного числа - student2.ru и Показательная форма комплексного числа - student2.ru коллинеарны вектору a и имеют с ним одинаковое направление, если числа Показательная форма комплексного числа - student2.ru и Показательная форма комплексного числа - student2.ru одного знака, и направление, противоположное вектору a, если Показательная форма комплексного числа - student2.ru и Показательная форма комплексного числа - student2.ru разного знака. Следовательно, Показательная форма комплексного числа - student2.ru .

Свойство 6 очевидно, если Показательная форма комплексного числа - student2.ru . Если Показательная форма комплексного числа - student2.ru и векторы a и b неколлинеарны, то это свойство вытекает из подобия треугольников на рисунке 10.6.

Показательная форма комплексного числа - student2.ru

Рис.10.6.Свойство дистрибутивности

Случаи, когда Показательная форма комплексного числа - student2.ru или a и b коллинеарны, предоставляем проанализировать читателю самостоятельно.

Для доказательства свойства 7 заметим, что векторы Показательная форма комплексного числа - student2.ru и Показательная форма комплексного числа - student2.ru коллинеарны. Без ограничения общности можно считать, что Показательная форма комплексного числа - student2.ru (в противном случае поменяем местами Показательная форма комплексного числа - student2.ru и Показательная форма комплексного числа - student2.ru в доказываемом равенстве).

Пусть Показательная форма комплексного числа - student2.ru и Показательная форма комплексного числа - student2.ru одного знака. Тогда Показательная форма комплексного числа - student2.ru , Показательная форма комплексного числа - student2.ru .

Пусть Показательная форма комплексного числа - student2.ru и Показательная форма комплексного числа - student2.ru имеют разные знаки. Тогда Показательная форма комплексного числа - student2.ru , Показательная форма комплексного числа - student2.ru . Получили, что Показательная форма комплексного числа - student2.ru в обоих случаях.

Векторы f и g имеют одно направление. Оно совпадает с направлением a при Показательная форма комплексного числа - student2.ru и противоположно при Показательная форма комплексного числа - student2.ru . Следовательно, Показательная форма комплексного числа - student2.ru . Свойство 7 доказано.

Свойство 8 очевидным образом вытекает из определения 10.9 произведения вектора на число.

Из свойства ассоциативности следует, что в сумме векторов, содержащей три и более слагаемых, можно скобки не ставить. Как найти сумму нескольких слагаемых, не используя попарных сумм, видно из рисунка 10.7.


Показательная форма комплексного числа - student2.ru

Рис.10.7.Сумма нескольких слагаемых


Сформулируем еще несколько очевидных свойств операций сложения и умножения вектора на число:
9) равенство Показательная форма комплексного числа - student2.ru верно тогда и только тогда, когда или Показательная форма комплексного числа - student2.ru , или Показательная форма комплексного числа - student2.ru ;
10) вектор, противоположный вектору a, равен Показательная форма комплексного числа - student2.ru , то есть Показательная форма комплексного числа - student2.ru ;
11) для любых векторов a и b существует такой вектор x, что Показательная форма комплексного числа - student2.ru .

№7

Основные сведения из векторной алгебры. Различают два рода величин: скалярные и векторные.

1. Если некоторая величина вполне определяется ее числовым значением, то ее называют скалярной. Примерами скалярных величин могут служить: масса, плотность, работа, сила тока, температура. Скаляры являются алгебраическими величинами и с ними можно производить любые алгебраические действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и т. д.

2. Если при определении некоторой величины для ее полной характеристики, кроме числового значения, надо знать и ее направление, то такая величина называется векторной, или вектором. Примерами векторных величин являются скорость, ускорение, сила. Длина вектора называется также его модулем, или абсолютной величиной.

3. Вектор обозначается графически отрезком прямой, на котором ставится стрелка, указывающая направление вектора (см. рисунок).

Показательная форма комплексного числа - student2.ru

Будем обозначать вектор одной буквой с черточкой над ней, например, Показательная форма комплексного числа - student2.ru , а модуль этого вектора - той же буквой, только без черточки над ней, т. е. a. Модуль вектора a часто обозначается Показательная форма комплексного числа - student2.ru .

Вектор будем также обозначать Показательная форма комплексного числа - student2.ru , где A - начало и B - конец вектора, а его модуль - теми же буквами, но без черточки наверху.

4. Вектор равен нулю, если его модуль равен нулю. Такой вектор называется нулевым.

5. Два вектора Показательная форма комплексного числа - student2.ru и Показательная форма комплексного числа - student2.ru называются равными, если: 1) равны их модули, 2) они параллельны и 3) направлены в одну и ту же сторону.

Два вектора с равными модулями, лежащие на параллельных прямых, но противоположно направленные, называются противоположными. Вектор, противоположный вектору Показательная форма комплексного числа - student2.ru , обозначается через Показательная форма комплексного числа - student2.ru .

6. Сложение векторных величин производится по правилу параллелограмма: сумма двух векторов Показательная форма комплексного числа - student2.ru и Показательная форма комплексного числа - student2.ru , приведенных к общему началу, есть третий вектор Показательная форма комплексного числа - student2.ru , длина которого равна длине параллелограмма, построенного на векторах Показательная форма комплексного числа - student2.ru и Показательная форма комплексного числа - student2.ru , а направлен он от точки A к точке B (см. рисунок):

Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru

Модуль вектора Показательная форма комплексного числа - student2.ru вычисляется по формуле

Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru (1)

Показательная форма комплексного числа - student2.ru

7. Сумму нескольких векторов, например Показательная форма комплексного числа - student2.ru , Показательная форма комплексного числа - student2.ru , Показательная форма комплексного числа - student2.ru и Показательная форма комплексного числа - student2.ru , строят так: берут произвольную точку O плоскости и из нее строят вектор Показательная форма комплексного числа - student2.ru , равный вектору Показательная форма комплексного числа - student2.ru ; из точки A проводят вектор Показательная форма комплексного числа - student2.ru , равный вектору Показательная форма комплексного числа - student2.ru , из точки B - вектор Показательная форма комплексного числа - student2.ru , равный вектору Показательная форма комплексного числа - student2.ru и, наконец, из точки C строят вектор Показательная форма комплексного числа - student2.ru , равный вектору Показательная форма комплексного числа - student2.ru . Вектор Показательная форма комплексного числа - student2.ru , замыкающий полученную ломаную линию OABCD, и будет суммой векторов Показательная форма комплексного числа - student2.ru , Показательная форма комплексного числа - student2.ru , Показательная форма комплексного числа - student2.ru и Показательная форма комплексного числа - student2.ru (см. рисунок ниже):

Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru

По такому же правилу строится и сумма любого числа векторов.

Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru

8. Разностью двух векторов Показательная форма комплексного числа - student2.ru и Показательная форма комплексного числа - student2.ru называется такой третий вектор Показательная форма комплексного числа - student2.ru , который равен сумме векторов Показательная форма комплексного числа - student2.ru и Показательная форма комплексного числа - student2.ru (см. рисунок). Вектор Показательная форма комплексного числа - student2.ru параллелен вектору Показательная форма комплексного числа - student2.ru , равен ему по модулю, но противоположно направлен:

Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru

Показательная форма комплексного числа - student2.ru

9. При умножении вектора Показательная форма комплексного числа - student2.ru на скаляр k получается вектор Показательная форма комплексного числа - student2.ru , модуль которого равен модулю вектора Показательная форма комплексного числа - student2.ru , умноженному на k, т. е.b = ak. Направления векторов Показательная форма комплексного числа - student2.ru и Показательная форма комплексного числа - student2.ru совпадают, если k > 0, и они противоположны, если k < 0. Имеем

Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru , или Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru .

10. Два вектора, лежащие на параллельных прямых, независимо от того, направлены они одинаково или противоположно, называются коллинеарными.

11. Единичным вектором, или ортом данного вектора, называется вектор, совпадающий по направлению с данным вектором и имеющий модуль, равный единице.

12. Проекцией вектора Показательная форма комплексного числа - student2.ru на ось Показательная форма комплексного числа - student2.ru называется длина отрезка A'B', заключенного между проекциями конца и начала вектора на эту ось. Этой длине приписывается знак плюс, если направление отрезка A'B' совпадает с направлением оси, и знак минус, если его направление противоположно направлению оси.

Проекция вектора на ось есть скалярная величина, равная произведению модуля проектируемого вектора на косинус угла между положительными направлениями оси и вектора (см. рисунок).

Показательная форма комплексного числа - student2.ru

Проекция вектора Показательная форма комплексного числа - student2.ru на ось Показательная форма комплексного числа - student2.ru обозначается через al или Показательная форма комплексного числа - student2.ru , а угол между осью Показательная форма комплексного числа - student2.ru и вектором Показательная форма комплексного числа - student2.ru будем обозначать так: Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru . Таким образом,

Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru (2)

Если Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru - углы, образованные вектором Показательная форма комплексного числа - student2.ru с координатными осями Ox, Oy и Oz прямоугольной системы координат, то проекции вектора Показательная форма комплексного числа - student2.ru на координатные оси будут равны

Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru (3)

В дальнейшем предполагается, что система координат - прямоугольная.

Модуль вектора через его проекции на оси прямоугольной системы координат вычисляется по формуле

Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru (4)

т. е. модуль вектора равен арифметическому значению квадратного корня из суммы квадратов его проекций.

Вектор равен нулю, если все три его проекции равны нулю (этим положением пользуются, например, в механике при выводе необходимых и достаточных условий равновесия тела под действием системы сил, проходящих через одну точку).

Если векторы Показательная форма комплексного числа - student2.ru и Показательная форма комплексного числа - student2.ru равны, то равны и их проекции:

a1x = a2x; a1y = a2y; a1z = a2z. (5)

Если для вектора Показательная форма комплексного числа - student2.ru известны координаты его начала A(x1, y1, z1) и координаты его конца B(x2, y2, z2), то проекции вектора Показательная форма комплексного числа - student2.ru на координатные оси определяются по формулам

ax = x2 - x1; ay = y2 - y1; az = z2 - z1, (6)

а модуль вектора в этом случае определится по формуле

Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru (7)

Очевидно, что по формуле (7) следует вычислять и расстояние между точками A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2).

13. Проекция суммы векторов на какую-нибудь ось равна алгебраической сумме проекций этих векторов на ту же ось.

Из векторного равенства

Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru (8)

следуют такие три скалярные равенства:

ax = a1x + a2x + a3x + ... + anx;
ay = a1y + a2y + a3y + ... + any; (9)
az = a1z + a2z + a3z + ... + anz.

14. Если Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru - векторы, по модулю равные единице и направленные по координатным осям Ox, Oy и Oz, то разложение вектора Показательная форма комплексного числа - student2.ru по трем координатным осям выражается формулой

Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru (10)

где ax, ay и az - проекции вектора a на координатные оси - называются координатами вектора (если вектор Показательная форма комплексного числа - student2.ru имеет координаты ax, ay,az, то это обозначается так: Показательная форма комплексного числа - student2.ru {ax, ay, az}). Если вектор Показательная форма комплексного числа - student2.ru имеет начало в начале координат, а его конец A имеет координаты x, y и z, то тогда его проекции на координатные оси равны координатам его конца:

ax = x; ay = y; az = z.

В этом случае вектор Показательная форма комплексного числа - student2.ru называется радиусом-вектором точки A. Радиус-вектор точки обозначается обыкновенно через Показательная форма комплексного числа - student2.ru (см. рисунок):

Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru (11)

а модуль радиуса-вектора точки A(x, y, z) вычисляется по формуле

Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru (12)

Показательная форма комплексного числа - student2.ru

15. Углы, образуемые вектором Показательная форма комплексного числа - student2.ru с координатными осями Ox, Oy и Oz, определяются из формул (3) и (4):

Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru

Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru (13)

Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru

Косинусы, определяемые по этим формулам, называются направляющими косинусами вектора Показательная форма комплексного числа - student2.ru .

Для направляющих косинусов вектора имеет место формула

Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru (14)

т. е. сумма квадратов косинусов углов, образуемых вектором с тремя взаимно перпендикулярными осями, равна единице.

Если Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru , т. е. если Показательная форма комплексного числа - student2.ru - единичный вектор, обозначаемый обыкновенно Показательная форма комплексного числа - student2.ru , то его проекции на координатные оси вычисляются по формулам

Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru (15)

т. е. проекции единичного вектора Показательная форма комплексного числа - student2.ru на оси прямоугольной системы координат Ox, Oy и Oz равны соответственно направляющим косинусам этого вектора. Имеет место формула

Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru (16)

16. Если даны два вектора

Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru

Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru

то Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru

и

Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru (17)

17. Скалярным произведением двух векторов Показательная форма комплексного числа - student2.ru и Показательная форма комплексного числа - student2.ru называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов Показательная форма комплексного числа - student2.ru и Показательная форма комплексного числа - student2.ru обозначается символом Показательная форма комплексного числа - student2.ru . Если обозначить угол между векторами Показательная форма комплексного числа - student2.ru и Показательная форма комплексного числа - student2.ru через Показательная форма комплексного числа - student2.ru , для скалярного произведения будем иметь

Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru (18)

Из формулы (8) следует, что скалярное произведение двух векторов Показательная форма комплексного числа - student2.ru и Показательная форма комплексного числа - student2.ru - это произведение модуля одного из них на проекцию второго на направление первого вектора (см. рисунок):

Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru (19)

откуда Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru .

Показательная форма комплексного числа - student2.ru

Скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю, так как в этом случае Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru .

Скалярное произведение имеет свойства, аналогичные свойствам произведений чисел:

Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru

(переместительное свойство умножения);

Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru

(распределительное, или дистрибутивное свойство произведения).

Если векторы Показательная форма комплексного числа - student2.ru и Показательная форма комплексного числа - student2.ru заданы проекциями на координатные оси

Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru

Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru

то их скалярное произведение вычисляется по формуле

Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru (20)

а косинус угла Показательная форма комплексного числа - student2.ru между этими векторами определяется по формуле

Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru (21)

Если углы, образуемые вектором Показательная форма комплексного числа - student2.ru с координатными осями, обозначить через Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru , а углы, образуемые вектором Показательная форма комплексного числа - student2.ru с координатными осями, - через Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru , то косинус угла Показательная форма комплексного числа - student2.ru между векторами Показательная форма комплексного числа - student2.ru и Показательная форма комплексного числа - student2.ru определяется по формуле

Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru (22)

Если векторы Показательная форма комплексного числа - student2.ru и Показательная форма комплексного числа - student2.ru перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, и тогда

axbx + ayby + azbz = 0, (23)

или

Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru (24)

18. Векторным произведением векторов Показательная форма комплексного числа - student2.ru и Показательная форма комплексного числа - student2.ru называется вектор Показательная форма комплексного числа - student2.ru , который определяется следующими условиями:

1) Его модуль равен Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru где Показательная форма комплексного числа - student2.ru - угол между векторами Показательная форма комплексного числа - student2.ru и Показательная форма комплексного числа - student2.ru .

2) Вектор Показательная форма комплексного числа - student2.ru перпендикулярен к плоскости, определяемой перемножаемыми векторами Показательная форма комплексного числа - student2.ru и Показательная форма комплексного числа - student2.ru .

3) Вектор Показательная форма комплексного числа - student2.ru направлен так, что наблюдателю, смотрящему с его конца на перемножаемые векторы Показательная форма комплексного числа - student2.ru и Показательная форма комплексного числа - student2.ru , кажется, что для кратчайшего совмещения первого сомножителя со вторым первый сомножитель нужно вращать против часовой стрелки (см. рисунок).

Показательная форма комплексного числа - student2.ru

Векторное произведение векторов Показательная форма комплексного числа - student2.ru и Показательная форма комплексного числа - student2.ru обозначается символом Показательная форма комплексного числа - student2.ru :

Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru (25)

или

Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru (26)

Основные свойства векторного произведения:

1) Векторное произведение Показательная форма комплексного числа - student2.ru равно нулю, если векторы Показательная форма комплексного числа - student2.ru и Показательная форма комплексного числа - student2.ru коллинеарны или какой-либо из перемножаемых векторов является нулевым.

2) При перестановке местами векторов сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный (см. рисунок):

Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru

Векторное произведение не обладает свойством переместительности.

Показательная форма комплексного числа - student2.ru

3) Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru (распределительное свойство).

Выражение векторного произведения Показательная форма комплексного числа - student2.ru через проекции векторов Показательная форма комплексного числа - student2.ru и Показательная форма комплексного числа - student2.ru на координатные оси прямоугольной системы координат дается формулой

Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru (27)

которую можно записать с помощью определителя

Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru (28)

Проекции векторного произведения на оси прямоугольной системы координат вычисляются по формулам

Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru (29)

и тогда на основании (4)

Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru (30)

Механический смысл векторного произведения состоит в следующем: если вектор Показательная форма комплексного числа - student2.ru - сила, а вектор Показательная форма комплексного числа - student2.ru есть радиус-вектор точки приложения силы, имеющий свое начало в точке O, то момент силы Показательная форма комплексного числа - student2.ru относительно точки O Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru есть вектор, равный векторному произведению радиуса-вектора Показательная форма комплексного числа - student2.ru точки приложения силы на силу Показательная форма комплексного числа - student2.ru , т. е.

Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru

19. Векторно-скалярное произведение трех векторов Показательная форма комплексного числа - student2.ru , Показательная форма комплексного числа - student2.ru и Показательная форма комплексного числа - student2.ru или смешанное их произведение вычисляется по формуле

Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru (31)

Абсолютная величина векторно-скалярного произведения равна объему параллелепипеда, построенного на векторах Показательная форма комплексного числа - student2.ru , Показательная форма комплексного числа - student2.ru и Показательная форма комплексного числа - student2.ru . Объем пирамиды, построенной на векторах Показательная форма комплексного числа - student2.ru , Показательная форма комплексного числа - student2.ru и Показательная форма комплексного числа - student2.ru , получим по формуле

Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма комплексного числа - student2.ru (32)

причем знак перед определителем должен быть выбран так, чтобы объем V был положительным (предполагается, что векторы Показательная форма комплексного числа - student2.ru , Показательная форма комплексного числа - student2.ru и Показательная форма комплексного числа - student2.ru не лежат в одной плоскости).

20. Три вектора Показательная форма комплексного числа - student2.ru , Показательная форма комплексного числа - student2.ru и Показательная форма комплексного числа - student2.ru называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной и той же плоскости. Для того, чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равно нулю.

Ба́зис (др.-греч. βασις, основа) — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества — базисных векторов.

Линейные комбинации

Конечная сумма вида

Показательная форма комплексного числа - student2.ru

называется[3] линейной комбинацией элементов Показательная форма комплексного числа - student2.ru с коэффициентами Показательная форма комплексного числа - student2.ru .

В действительности данное определение (и приводимые ниже) приложимо не только к комбинациям векторов, но и к комбинациям любых других объектов, для которых подобные суммы вообще имеют смысл (например, к комбинациям точек аффинного пространства).

Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.

Линейная комбинация называется[4] барицентрической, если сумма её коэффициентов равна 1, и сбалансированной, если эта сумма равна 0.

Наши рекомендации