Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера

Рассмотрим степень с комплексным показателем z = χ + iy, где e = 2,7182… – основание натурального логарифма, то = , т.е.

= (11)

Если х = 0, то получим соотношение, которое называется формулой Эйлера

= (12)

Показательная функция имеет период, равный 2πi, т. е. . При z = 0получим соотношение .

Тригонометрическую форму комплексного числа z = r( можно записать виде: z = r , = r (13)

Эта запись называется показательной или экспоненциальной формой комплексного числа.

Для комплексных показателей справедливы основные правила действий с показателями:

1) Правило: При умножении чисел показатели складываются.

r₁ (14)

2) Правило:При делении чисел показатели вычитаются.

(15)

3) Правило:При возведении в степень показатели перемножаются.

(r )ⁿ = (16)

* (k = 0,1,2,…,n – 1) (17)

Формула Эйлера (12) устанавливает связь между тригонометрическими функциями и показательной функцией. Заменим в этой формуле у на φ и на – φ, получим

= =

Складывая и вычитая эти равенства, получим:

(18)

(19)

Формулы (18) и (19), также называются формулами Эйлера.Они выражают тригонометрические функции через показательные.

Пример 11:Представьте в показательной форме комплексное число z = - 2 + 2 i.

Решение: Используя формулу (5), находим r = = 4. По формуле (13) найдём

= ; = .По формуле (18) и (19) вычислим значение = - и = , т.о. φ = -

Ответ: z = 4

У п р а ж н е н и я д л я с а м о п р о в е р к и:

1. Найдите модуль и главное значение аргумента комплексных чисел: а) z = 1 + i; б) z = 2 - 2i.

2. Решите квадратные уравнения: а) х² + х + 1 = 0; б) х² + 1 = 0

3. Даны два числа z₁ = 2 + 3i; z₂ = 1 – 2i. Найдите сумму и разность этих чисел.

4. Найдите х и у из уравнения: (1 + 2i)x + (3 – 5i)y = 1 – 3i.

5. Дано z₁ = z₂ = Найдите z₁z₂

6. Представьте в экспоненциальной форме комплексное число 2 + 2i.

7. Дано z₁ = 2e ^{– I}; z₂ = 0.5e^0.5i. Найдите: z₁z₂

Ответы:1.а) r = ; φ = . б) r = ; φ = - . 2. а) - ; б) . 3. 3 + I и 1 + 5i. 4. x = - ; y = . 5. ( ). 6. 2 . 7. e^{- 0.5i}.

Пределы.

Определение1:Число А называется пределом функции f(х) при х →а, если для любого число ε > 0 можно указать δ >0, что для любого х ≠ а, удовлетворяющему неравенству 0<|х – а |<δ, выполняется неравенство |f(х) – А |<ε. В этом случае пишут = А.

Определение 2:Функция f(х) называется бесконечно малой при х →а, если = 0

Пример1:

Определение 3: Функция f(х) называется бесконечно большой при х →а, если = ± ∞.

Пример2: .

Свойства бесконечно малой и бесконечно большой функций:

1.Если f(х) – бесконечно малая функция, то - бесконечно большая функция.

2.Если f(х) – бесконечно большая функция, то - бесконечно малая функция.

Теоремы о пределах.

Теорема 1:Если существуют пределы функций f(х) и g(х), то существует и предел их суммы, равный сумме пределов функций f(х) и g(х):

(f(х) + g(х))= + g(x).

Теорема 2:Если существуют пределы функций f(х) и g(х), то существует и предел их произведения, равный произведению пределов функций f(х) и g(х):

(f(х) * g(х))= f(x)*.

Теорема № 3:Если существуют пределы функций f(х) и g(х), предел функции g(х) отличный от 0, то существует и предел их отношения, равный отношению пределов функций f(х) и g(х):

Следствия.

Следствие 1:Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Следствие 2:Предел степени равен степени пределов.

= ( )ⁿ.

Следствие 3: = с.