Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
Метод Гаусса является наиболее распространённым методом решения систем линейных уравнений как вида (1), так и произвольных систем m линейных уравнений c n неизвестными.
Метод Гаусса - это метод последовательного исключения неизвестных. Исключение неизвестных осуществляется при помощи следующих преобразований системы:
· умножения уравнения системы на число, отличное от нуля;
· перестановки местами двух уравнений системы;
· прибавления к одному уравнению системы другого, умноженного на какое-либо число.
Процесс исключения неизвестных состоит в переводе исходной системы линейных уравнений в такую равносильную систему, в которой каждое следующее уравнение содержит по крайней мере одним неизвестным меньше, чем предыдущее. Если этот процесс завершён, то решение системы находится следующим образом: из последнего уравнения определяется одно из неизвестных, затем подстановкой в предыдущее уравнение определяется другое неизвестное, далее вновь подстановкой в предшествующее уравнение находится ещё одно неизвестное и т.д., пока не определяются все неизвестные.
Процесс последовательного исключения неизвестных может быть реализован различными вычислительными схемами, например, схемой с выбором главного элемента в столбце. Суть её заключается в следующем.
Рассмотрим систему (1). Выберем среди коэффициентов а11 , а21, ... , аn1 при неизвестном х1 наибольший по абсолютной величине. Уравнение с выбранным наибольшим коэффициентом при х1 поставим первым в системе (1). Пусть наибольшим по абсолютной величине будет коэффициент а11. Разделим обе части первого уравнения на а11, получим уравнение вида
, (5)
где 
.
С помощью уравнения (5) исключим во всех уравнениях системы (1), начиная со второго, слагаемые, содержащие х1. Для этого умножим обе части уравнения (5) последовательно на а21 , а31 , ... , аn1 и вычтем соответственно из 2-го, 3-го, ..., n -го уравнений системы (1).
В результате получим систему (n - 1)-го порядка вида
(6)
где 
Аналогично преобразуем систему (6). Выберем среди коэффициентов 
при неизвестном х2 наибольший по абсолютной величине. Пусть наибольшим будет коэффициент 
. Уравнение с этим коэффициентом при х2 поставим первым в системе (6) и т.д. После n таких шагов получим систему с треугольной матрицей вида
(7)
эквивалентную системе (1).
Преобразование системы (1) в равносильную систему (7) называется прямым ходом метода Гаусса.
Нахождение переменных из системы (7) называется обратным ходом. Действительно, из последнего уравнения найдём хn, подставим его в предпоследнее уравнение, найдём хn-1 и т.д. Подставив в первое уравнение найденные хn, хn-1, ..., х2, получим х1.
Мы рассмотрели идею метода Гаусса (схема с выбором главного элемента в столбце) на примере вычисления системы линейных уравнений вида (1). Если рассматривать общий случай – решение системы, в которой число уравнений не равно числу неизвестных, то в конце преобразований можем получить систему не с треугольной матрицей (7), а ступенчатую.
Коэффициенты 
называются главными (ведущими) элементами метода Гаусса.
Обычно все вычисления при использовании метода Гаусса заносят в таблицу. Для проверки правильности нахождения промежуточных и конечных результатов в таблицу включают столбец контрольных сумм å. Над контрольными суммами (как при прямом, так и при обратном ходе) производятся те же действия, что и над элементами матрицы. Если в вычислениях не будет ошибок, то контрольная сумма å в каждой строке будет совпадать с суммой элементов данной строки S.
Для системы линейных уравнений 3-го порядка
таблица выглядит следующим образом.
| Коэффициенты при неизвестных х1 х2 х3 | Свободный член | Контрольная сумма å | Разность К = å - S | ||
| а11 а21 а31 | а12 а22 а32 | а13 а23 а33 | с1 = а14 с2 = а24 с3 = а34 |    | |
c12 =  | c13 =  | c14 =  | c15 =  | К1 | |
 =а22 -а21c12  = а32-а31c12 |  = а23-а21c13  = а33-а31c13 |  = а24-а21c14  = а34-а31c14 |  = а25 - а21c15  = а35 - а31c15 | К2 К3 | |
 =   |  =  |  =  | К4 | ||
 |  |  | К5 | ||
 =  |  =  | К6 | |||
| х3 = |  | К7 | |||
х2= =  |  | К8 | |||
 |  | К9 |
К1 = c15 - (1 + 
), К2 = 
- 
, К3 = 
- 
,
К4 = 
- ( 
), К5 = 
- ( 
), К6= 
- ( 
),
К7 = 
, К8 = 
, К9 = 
.
Пример.Решите систему уравнений методом Гаусса по схеме с выбором главного элемента в столбце
с точностью до 10-2.
Решение. Вычисления, проведённые с помощью табличного процессора Excel, занесём в таблицу.
| Коэффициенты при неизвестных х1 х2 х3 | Свободный член | Контрольная сумма å | Разность Кi = å - Si | ||
| 3,10 | -1,9 | -1,2 | 1,1 | 1,10 | |
| 1,2 | 3,1 | -0,5 | 1,7 | 5,5 | |
| -0,3 | -0,5 | 0,7 | 0,8 | 0,7 | |
| -0,6129 | -0,3871 | 0,3548 | 0,2258 | -0,1290 | |
| 3,8355 | -0,0355 | 1,2742 | 5,2290 | 0,1548 | |
| -0,6839 | 0,5839 | 0,9065 | 0,7677 | -0,0387 | |
| -0,0093 | 0,3322 | 1,3633 | 0,0404 | ||
| 0,5775 | 1,1336 | 1,7001 | -0,0111 | ||
| 1,9629 | 2,9436 | -0,0192 | |||
| 1,9629 | 2,9436 | -0,0192 | |||
| 0,3504 | 1,3906 | 0,0402 | |||
| 1,3294 | 2,2176 | -0,1118 |
Получим решение заданной системы уравнений:
х = 1,3294; у = 0,3504; z = 1,9629.
С точностью до сотых получим ответ:
х » 1,33; у » 0,35; z » 1,96.
Видим, что вычисление по данной схеме «вручную» является довольно трудоёмким занятием, которое можно облегчить, применяя компьютер. Однако этот процесс можно значительно упростить, если преобразования Гаусса проводить не с самими уравнениями системы, а с матрицей их коэффициентов.
Рассмотрим систему m линейных уравнений c n неизвестными. Если к основной матрице А системы прибавить вектор-столбец свободных коэффициентов, то получим расширенную матрицу системы:
.
Иногда в расширенной матрице столбец свободных членов отделяют от других элементов пунктирной чертой.
Преобразованиям систем линейных уравнений отвечают следующие элементарные преобразования матриц:
· умножение строки на число, отличное от нуля;
· перестановка местами двух строк;
· прибавление к одной строке другой, умноженной на какое-либо число.
Две матрицы, приводящиеся одна к другой при помощи конечного числа элементарных преобразований, называются эквивалентными. Очевидно, что эквивалентным матрицам отвечают равносильные системы уравнений.
Таким образом, суть метода Гаусса состоит в преобразовании исходной расширенной матрицы к матрице ступенчатого (или треугольного) вида (прямой ход), из которой затем последовательно (обратным ходом) получаются значения всех неизвестных.
При этом возможны три случая:
1) система несовместна, если в процессе преобразований получено противоречивое равенство (строка расширенной матрицы вида: 0 0 0 … 0 
);
2) система имеет единственное решение, если основная матрица системы приведена к треугольному виду;
3) система имеет бесконечное множество решений, если основная матрица системы приведена к ступенчатому виду.
Пример.Решите систему уравнений методом Гаусса
Решение. Для данной системы запишем соответствующую расширенную матрицу и с помощью элементарных преобразований
приведём её к ступенчатому виду:
.
Здесь мы применили следующие элементарные преобразования:
1) переставили местами 4-ю и 1-ю строки;
2) последовательно ко 2-й, 3-й и 4-й строкам прибавили первую строку, умноженную соответственно на (- 1), (- 3), (- 2); тем самым в 1-м столбце получили все нули, кроме первого элемента;
3) последовательно к 3-й и 4-й строкам прибавили вторую строку, умноженную соответственно на (- 4) и (- 5); тем самым во 2-м столбце получили нули, кроме первых двух;
4) из 4-й строки вычли 3-ю, получили нулевую строку;
5) удалили нулевую строку.
В результате расширенную матрицу размера 4 
4 привели к ступенчатому виду (матрице размера 3 4), при этом основная матрица приведена к треугольному виду.
Полученная ступенчатая матрица равносильна системе уравнений:
Из последнего уравнения z = - 4. Подставив z = - 4 во второе
уравнение, получим y = - 2. Подставив z = - 4 и y = - 2 в первое уравнение, получим x = - 1. Итак, система имеет единственное решение: x = - 1; y = - 2; z = - 4.
Пример.Решите систему уравнений методом Гаусса
Решение. Для данной системы запишем соответствующую расширенную матрицу и с помощью элементарных преобразований
приведём её к ступенчатому виду:
.
Здесь мы применили следующие элементарные преобразования:
1) последовательно ко 2-й и 3-й строкам прибавили первую строку, умноженную соответственно на (- 1), (- 3);
2) к 3-й строке прибавили вторую строку, умноженную на (- 2). При этом получили противоречивое равенство:
0·х + 0·у + 0·z = -1,
следовательно, система уравнений несовместна.