Метод гармонической линеаризации
Введение
Релейные системы получили широкое распространение в практике автоматического регулирования. Достоинством релейных систем является простота конструкции, надежность, простота обслуживания и настройки. Релейные системы представляют собой особый класс нелинейных АСР.
В отличие от непрерывных в релейных системах регулирующее воздействие изменяется скачкообразно всякий раз, когда управляющий сигнал реле (чаще всего это ошибка регулирования) проходит через некоторые фиксированные (пороговые) значения, например, через нуль.
Релейные системы, как правило, обладают высоким быстродействием вследствие того, что управляющее воздействие в них изменяется практически мгновенно, а на исполнительное устройство действует кусочно-постоянный сигнал максимальной амплитуды. В то же время в релейных системах часто возникают автоколебания, что во многих случаях является недостатком. В настоящей работе исследуется релейная система с четырьмя различными законами управления.
Структура исследуемой системы
Исследуемая система (рис.) 1, включает в себя элемент сравнения ЭС, релейный элемент РЭ, исполнительный двигатель (идеальный интегратор с коэффициентом усиления =1), объект регулирования (апериодическое звено с тремя постоянными времени , , и коэффициентом усиления ). Значения параметров системы приведены в табл. 1 приложения А.
|
Статические характеристики (характеристики вход-выход) исследуемых релейных элементов приведены на рис. 2.
На рис. 2,а приведена характеристика идеального двухпозиционного реле, на рис. 2,б характеристика трехпозиционного реле с зоной нечувствительности. На рис. 2,в и 2,г приведены характеристики двухпозиционного реле с положительным и отрицательным гистерезисом соответственно.
Исследуемая АСР может быть смоделирована с помощью известных пакетов моделирования, например, SIAM или VisSim.
Замечание. В некоторых пакетах моделирования значение выходного
сигнала реле может принимать лишь значения ±1 вместо ±В, где В произвольное число. В таких случаях необходимо коэффициент усиления интегратора принять равным .
Порядок выполнения работы
Для выполнения работы каждый студент получает от преподавателя вариант исходных данных (см. раздел 2).
Работа выполняется в два этапа.
Первый этап – расчетно-исследовательский (может быть выполнен вне лаборатории).
Второй этап – экспериментальный (проводится в лаборатории). На этом этапе с помощью одного из пакетов производится моделирование переходных процессов в исследуемой системе для режимов, рассчитанных на первом этапе, и осуществляется проверка точности теоретических методов.
Необходимый теоретический материал изложен в разделе 4; в разделе 5 приведены контрольные вопросы.
3.1. Расчетно – исследовательская часть
1. Получить выражения для амплитудно-частотной и фазо-частотной, вещественной и мнимой характеристик линейной части системы.
2. Рассчитать и построить амплитудно-фазовую характеристику линейной части системы. Для расчета использовать программы из пакета ТАУ. Обязательно распечатать значения вещественной и мнимой частотной характеристик (10 – 15 точек, соответствующих третьему и второму квадрантам).
3. Рассчитать и построить годографы исследуемых релейных элементов, совместив их с АФХ линейной части. Особое внимание уделить случаю трехпозиционного реле (раздел 4.1, рис. 8).
4. Используя графоаналитический метод Гольдфарба, определить амплитуду и частоту автоколебаний и их устойчивость для всех четырех реле. Расчет параметров автоколебаний можно осуществить и аналитически. Качественно изобразить фазовый портрет системы для каждого из случаев.
5. Для трехпозиционного реле определить одно значение коэффициента усиления линейной части, при котором автоколебания отсутствуют, и граничное значение, при котором происходит срыв автоколебаний.
Экспериментальная часть
1. Используя один из доступных пакетов моделирования, собрать схему моделирования исследуемой АСР. По разрешению преподавателя можно воспользоваться готовой схемой. Настроить параметры схемы в соответствии с заданием.
2. Исследовать переходный процесс в системе с идеальным реле (вывести на печать), подавая на вход скачкообразное воздействие x(t)=40*1(t). Измерить амплитуду и частоту автоколебаний, сравнив их с расчетными значениями. Повторить эксперимент, установив не нулевые начальные условия (например, у(0)=10, у(1)(0)=-5).
3. Исследовать переходный процесс в системе с трехпозиционным реле для двух различных значений амплитуды входного сигнала x(t)= 40*1(t) и x(t)=15*1(t). Вывести на печать переходные процессы, измерить амплитуду и частоту автоколебаний (если они существуют), сравнить их с расчетными значениями, сделать выводы.
4. Исследовать переходные процессы в системе с трехпозиционным реле для других значений коэффициента усиления линейной части (см. п.5, раздел 3.1).
5. Исследовать переходные процессы в системе с двухпозиционными реле с гистерезисом при нулевых и не нулевых начальных условиях и x(t)=40*1(t). Вывести на печать переходные процессы, измерить амплитуду и частоту автоколебаний (если они существуют), сравнить их с расчетными значениями, сделать выводы.
Теоретическая часть
Широко распространенным методом расчета нелинейных систем является метод гармонической линеаризации (описывающих функций) [1,2,3].
Метод позволяет определять параметры автоколебаний (амплитуду и частоту), устойчивость автоколебаний, устойчивость положения равновесия нелинейной АСР. На базе метода гармонической линеаризации разработаны методы построения переходных процессов, анализа и синтеза нелинейных АСР [4,5].
Метод гармонической линеаризации
Как уже отмечалось, в нелинейных и в особенности релейных АСР часто наблюдаются устойчивые периодические колебания постоянной амплитуды и частоты, так называемые автоколебания. Причем автоколебания могут сохраняться даже при значительных изменениях параметров системы. Практика показала, что во многих случаях колебания регулируемой величины (рис. 3) близки к гармоническим.
Близость автоколебаний к гармоническим позволяет использовать для определения их параметров – амплитуды A и частоты w0 – метод гармонической линеаризации. В основе метода лежит предположение, что линейная часть системы является фильтром низких частот (гипотеза фильтра). Определим условия, при которых автоколебания в системе могут быть близки к гармоническим. Ограничимся системами, которые как на рис. 3 могут быть приведены к последовательному соединению нелинейного элемента и линейной части. Предположим, что сигнал задания величина постоянная, для простоты примем его равным нулю. А сигнал ошибки (рис 3) является гармоническим:
(1)
Выходной сигнал нелинейного элемента как всякий периодический сигнал – на рисунке 3 это прямоугольные колебания – может быть представлен в виде суммы гармоник ряда Фурье.
(2)
Для простоты будем считать, что постоянная составляющая равна нулю, что характерно для астатических систем.
Допустим, что линейная часть системы является фильтром низких частот (рис. 4) и пропускает только первую гармонику с частотой w0. Вторая с частотой 2w0 и более высокие гармоники отфильтровываются линейной частью. В этом случае на выходе линейной части будет существовать практически только первая гармоника, а влиянием высших гармоник можно пренебречь
. (3)
Таким образом, если линейная часть системы является фильтром низких частот, а частота автоколебаний w0 удовлетворяет условиям
, (4)
то автоколебания в системе можно считать гармоническими.
Предположение, что линейная часть системы является фильтром низких частот, называется гипотезой фильтра. Гипотеза фильтра выполняется всегда, если разность степеней полиномов знаменателя и числителя передаточной функции линейной части
(5)
не меньше двух
. (6)
Условие (6) выполняется для многих реальных систем. Примером могут служить апериодическое звено второго порядка и реальное интегрирующее
,
. (7)
При исследовании автоколебаний, близких к гармоническим, в расчет принимается только первая гармоника периодических колебаний на выходе нелинейного элемента, поскольку высшие гармоники все равно практически отфильтровываются линейной частью. В режиме автоколебаний осуществляется гармоническая линеаризация нелинейного элемента. Нелинейный элемент заменяется эквивалентным линейным с комплексным коэффициентом усиления (описывающей функцией) , зависящим от амплитуды входного гармонического сигнала:
, (8)
где и – действительная и мнимая части ,
– аргумент ,
– модуль .
В общем случае зависит как от амплитуды так и частоты автоколебаний и постоянной составляющей . Физически комплексный коэффициент усиления нелинейного элемента , чаще называемый коэффициентом гармонической линеаризации, есть комплексный коэффициент усиления нелинейного элемента по первой гармонике. Модуль коэффициента гармонической линеаризации
(9)
численно равен отношению амплитуды первой гармоники на выходе нелинейного элемента к амплитуде входного гармонического сигнала.
Аргумент
(10)
характеризует сдвиг по фазе между первой гармоникой выходных колебаний и входным гармоническим сигналом. Для однозначных нелинейностей, таких как, например, на рис. 2,а и 2,б, действительное выражение и
.
Для неоднозначных нелинейностей, рис. 2,в, 2,г, определяется по формуле
, (11)
где S – площадь петли гистерезиса. Площадь S берется со знаком плюс, если петля гистерезиса обходится в положительном направлении (рис. 2,в) и со знаком минус в противном случае (рис. 2,г).
В общем случае и вычисляются по формулам
,
, (12)
где , – нелинейная функция (характеристика нелинейного элемента).
С учетом вышеизложенного, при исследовании автоколебаний, близких к гармоническим, нелинейная АСР (рис. 3) заменяется эквивалентной с коэффициентом гармонической линеаризации вместо нелинейного элемента (рис. 5). Выходной сигнал нелинейного элемента на рис. 5 обозначен как , это
подчеркивает, что нелинейный элемент генерирует только
первую гармонику колебаний. Формулы для коэффициентов гармонической линеаризации для типовых нелинейностей можно найти в литературе, например, в [1,2,5]. В таблице приложения В приведены характеристики исследуемых релейных элементов, формулы для и их годографы. Там же приведены формулы и годографы для обратного коэффициента гармонической линеаризации , определяемого выражением
, (13)
где и действительная и мнимая часть . Годографы и строятся в координатах , и , соответственно.
Запишем теперь условия существования автоколебаний. Система на рис. 5 эквивалентна линейной. В линейной системе существуют незатухающие колебания, если она находится на границе устойчивости. Воспользуемся условием границы устойчивости по критерию Найквиста:
. (14)
Уравнение (14) естьусловие существования автоколебаний, близких к гармоническим. Если существуют действительные положительные решения А и w0 уравнения (14), то в нелинейной АСР существуют автоколебания близкие к гармоническим. В противном случае автоколебания отсутствуют или не являются гармоническими. Уравнение (14) распадается на два – относительно действительной и мнимой части:
;
(15)
или
;
. (16)
Поделив обе части уравнения (14) на и принимая во внимание формулу (13), получим условие существования автоколебаний в форме Гольдфарба Л.С.:
. (17)
Уравнение (17) также распадается на два:
,
(18)
и в некоторых случаях ими удобнее пользоваться для определения параметров автоколебаний.
Гольдфарб предложил графоаналитический метод решения системы (17) и определения устойчивости автоколебаний.
В координатах , и , строятся годографы и (рис. 6,а). Если годографы пересекаются, то автоколебания существуют. Параметры автоколебаний – А и w0 определяются в точках пересечения – частота w0 по годографу , амплитуда по годографу . На рис. 6,а – две точки пересечения, что указывает на наличие двух предельных циклов.
|
Для определения устойчивости автоколебаний согласно Гольдфарбу штрихуется левая сторона АФХ линейной части при движении вдоль АФХ в направлении возрастания частоты (рис. 6).
Автоколебания устойчивы, если в точке пересечения годограф нелинейного элемента переходит из незаштрихованной области в заштрихованную при движении в сторону возрастания амплитуды А.
Если переход происходит из заштрихованной области в не- заштрихованную, то автоколебания не устойчивы.
На рис. 6,б качественно изображен фазовый портрет соответствующий двум предельным циклам на рис. 6,а. Точке пересечения с параметрами и на рис. 6,а соответствует не устойчивый предельный цикл на рис. 6,б, точке с параметрами и устойчивый предельный цикл. В случае однозначных нелинейностей мнимая часть годографа нелинейного элемента равна нулю. Точка пересечения годографов лежит на вещественной оси, чаще всего, это отрицательная полуось, рис. 7. Система уравнений (18) принимает вид
,
. (19)
Частота автоколебаний определяется из второго уравнения системы (19) и для однозначных нелинейностей зависит только от свойств линейной части АСР и не зависит от вида нелинейности. После определения частоты из первого уравнения находится значение , а затем амплитуда автоколебаний.
Для трехпозиционного реле (рис. 7,а) прямой и инверсный коэффициенты гармонической линеаризации и двузначные функции амплитуды
,
, (20)
имеющие экстремум (максимум)
,
, (21)
при значении амплитуды
. (22)
Одному значению усиления в общем случае соответствует два значения амплитуды А1 и А2 (рис. 7,а), а обе ветви годографа (рис. 7,б) сливаются и для удобства анализа изображаются как две параллельные ветви. Таким образом, в системе существуют два предельных цикла одинаковой частоты, но различной амплитуды. Устойчивость автоколебаний предлагается оценить по методу Гольдфарба самостоятельно. По рис. 7,а легко проследить влияние коэффициента усиления линейной части Кл на параметры автоколебаний. Уменьшив величину Кл можно добиться срыва автоколебаний, в этом случае годографы и не пересекаются. Этого же эффекта можно добиться, увеличив зону нечувствительности d или уменьшив амплитуду выходного сигнала реле В. Существует некоторое предельное значение Кл, при котором АФХ линейной части касается Ошибка! Ошибка связи. при этом , а значение амплитуды равно . Естественно, это приводит к качественному изменению фазового портрета системы.