Формула Ньютона-Лейбница (формула двойной подстановки)

(f непрерывна; F - первообразная для f).

Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).

Билет.

Опр.1 Разность между двумя соседними значениями аргумента наз. приращением аргумента и обозначается символом (дельта x)

Опр.2 Разность между двумя значениями функции наз. приращением функции и обозначается символом (дельта y)

Опр.3 Если б.м. приращаемого аргумента соответствует бесконечному множеству приращения функции т.е. выполняется равенство приделом y то такая функция наз. непрерывной.

Билет.

Правило четырёх шагов для определения производных .

Y=f(x)

1) y+ ∆y = f(x+ ∆x)

2)∆y=f(x+ ∆x)-f(x)

3) ∆y/ ∆x=f(x+ ∆x)-f(x)/ ∆x

4) y’=lim ∆y/ ∆x

∆x->0

Билет.

ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ – функция вида y = f(x), x О N, где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f(n) или y1, y2,…, yn,…. Значения y1, y2, y3,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.

Для стабилизирующейся последовательности (т. е. последовательности {xn} такой, что xn = a при n ≥ n0) в качестве Nε для любого ε можно взять n0.

Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся. Если никакое число не является пределом последовательности, то она называется расходящейся.

Можно показать, что числовая последовательность имеет только один предел.

Последовательность называется возрастающей, если для любого выполняется неравенство xn + 1 > xn.

Последовательность называется убывающей, если для любого выполняется неравенство xn + 1 < xn.

Если в этих определениях неравенство будет нестрогим, то последовательности будут называться соответственно неубывающей и невозрастающей.

Возрастающие и убывающие последовательности называют строго монотонными. Неубывающие и невозрастающие последовательности называют монотонными.

Билет.

Определение. Неопределенным интегралом от функции называется сумма какой-либо первообразной для этой функции и произвольной постоянной.

Простейшие свойства неопределенного интеграла

1) Производная от неопределенного интеграла по переменной интегрирования равна подынтегральной функции: .

Доказательство. Так как , где то .

2) Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

Доказательство. Найдем , что и требовалось доказать.

3) Неопределенный интеграл от производной от некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной: .

Доказательство. Пусть . Тогда , то есть .

Таким образом, сумма дифференцируемой функции и произвольной постоянной равна неопределенному интегралу от производной от этой функции:

.

4) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

.

Доказательство. Так как , то свойство 4 является фактически непосредственным следствием свойства 3.

Билет.

Функция – это математическая модель, позволяющая описать и изучить разнообразнве зависимости между реальными величинами.

Монотонность функции.

Функция f(x) называется возрастающей на данном промежутке А, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция f(x) называется убывающей на данном промежутке B, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Если функция возрастает (убывает) на данном промежутке, то она называется монотонной на данном промежутке.

Если функция является монотонной на всей области её определения, то функция называется монотонной.

Билет.

Областью определения уравнения f(x) = g(x) называют множество всех тех значений переменой x, при которых алгебраические выражения f(x) и g(x) имеют смысл (одновременно).

Все значения, которые принимает функция f (x) при значениях x, принадлежащих области определения функции, образуют область значений функции, ее обозначают E (f)

Функция у=f(x) называется чётной, если выполнены следующие условия:

1) если х принадлежит D(f). То и –х принадлежит D(f) (область определении симметричное множество)

2) f(-x) = f(x) для любого x из области определения

Функция y=f(x) называется нечётной, если выполнены следующие условия:

1) если x принадлежит D(f) то и –х принадлежит D(f)

2) f(-x)=-f(x) для любого х из области определения

Функцию, не являющуюся четной и не являющейся нечётной, называют функцией общего вида.

Билет.

Суммой векторов −a(a1;a2) и −b(b1;b2) называется вектор −ca1+b1;a2+b2 ,

т.е. −aa1;a2+−bb1;b2=−ca1+b1;a2+b2 .

Правило треугольника: Свойство дает следующий способ построения суммы произвольных векторов −a и −b. Надо от конца вектора −a отложить вектор равный вектору −b. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора −a, а конец - с концом вектора −b, будет суммой векторов −a и −b.

Правило параллелограмма: для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах.ъ

Разностью векторов −a(a1;a2) и −b(b1;b2) называют такой вектор −c(c1c2), который в сумме с вектором −b(b1;b2) дает вектор −a(a1;a2). Таким образом: −c(c1c2) + −b(b1;b2) = −a(a1;a2), откуда c1 = a1 - b1 и c2 = a2 - b2.

Чтобы найти разность двух векторов, нужно: изобразить их исходящими из одной точки; дополнить чертеж отрезком так. чтобы получился треугольник; придать отрезку направление от вычитаемого к уменьшаемому; этот направленный отрезок и будет вектором разности.

Для любых векторов −a(a1;a2) и −b(b1;b2) справедливы равенства:

переместительный закон: −a+−b=−b+−a;

сочетательный закон: −a+(−b+−c)=(−a+−b)+−c;

из переместительного и сочетательного законов следует, что, складывая любое число векторов, можно как угодно переставлять и группировать слагаемые.

Билет.

Ра́диус — отрезок, соединяющий центр окружности (или сферы) с любой точкой, лежащей на окружности (или поверхности сферы), а также длина этого отрезка. Радиус составляет половину диаметра.

Вектор - это направленный отрезок.

На плоскости координаты вектора v относительно данного базиса (a, b) – это такая пара чисел (x; y), что v = xa + yb. Любой вектор имеет однозначно определенные координаты относительно любого базиса.

Длиной или модулем вектора называется длина отрезка, изображающего данный вектор. Длиной нулевого вектора называется число нуль.

Длина вектора на плоскости вычисляется по следующей формуле:

Длина вектора в трехмерном пространстве вычисляется по следующей формуле:

Формула длины вектора в n-мерном пространстве:

Билет.

.Функцию вида y=ax,где a – заданное число, x- переменная называют показательной. При a>0, a не равной 1.

Св-ва:

1. Область определения — множество R действительных чисел.

2. Область значений — множество R₊ всех положительных действительных чисел.

3. При а > 1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0<а<1 функция убывает на множестве R.

Графики показательных функций для случаев а>\ и 0<1<1 изображены на рисунках 1-2.

4. При любых действительных значениях х и у справедливы равенства

а^xа^y = а^x+y;

(ab)^x = a^xb^x;

(a^x)^y = а^xy.

Билет.

.Функцией y=logax, где a- заданное число, a>0, a не равно 1, называют логарифмической функцией. Логариф.функция, обратная показательной функции.

Св-ва:

1.Область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел.

2.Множество значений логарифмической функции – множество R всех действительных чиселю

3.Логарифмическая функция y=logax является возрастающей на промежутке x>0,если a>1, и убывающей, если 0<a<1.

4.Если a>1, то функция y=logax принимает положительные значения при x>1, отрицательные при 0<x<1.Если 0<a<1, то функция y=logax принимает положительные значения при 0<x<1, отрицательные при x>1.

Билет.

Если угол между векторами равен 90°, то такие вектора называются перпендикулярными.

Скалярным произведением векторов −a и −b называется произведение их длин на косинус угла между ними:

(−a−b)=−a−bcos(−a−b) .

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Скалярный квадрат вектора, то есть скалярное произведение его самого на себя, равно квадрату его длины.

Билет.

Виды квадратных уравнений.

Полным квадратным уравнением называют уравнение вида аx2 + bx + c = 0, у которого коэффициенты b и с отличны от 0.

Приведенным квадратным уравнением называют уравнение вида x2 + bx + c = 0, у которого старший коэффициент равен 1 (а = 1).

Неполным квадратным уравнением называют уравнение вида аx2 + bx = 0 или аx2 + c = 0 , в котором присутствуют не все слагаемые.

УРАВНЕНИЕ ВИДА ах4 + bx2 + c = 0 НАЗЫВАЮТ БИКВАДРАТНЫМ УРАВНЕНИЕМ.

Виды решений квадратных уравнений.

Дискриминантом квадратного уравнения аx2 + bx + c = 0 называют величину, которая обозначается буквой D и находится по формуле b2 – 4ac.

Теорема Виета:

Чтобы числа x1 и x2 являлись корнями уравнения:

ax² + bx + c = 0

необходимо и достаточно выполнения равенства

x1 + x2 = -b/a и x1x2 = c/a

Алгоритм решения биквадратного уравнения:

ВВЕСТИ НОВУЮ ПЕРЕМЕННУЮ t = X2, t > 0.

РЕШИТЬ ПОЛУЧЕННОЕ КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ.

ВЫПОЛНИТЬ ОБРАТНУЮ ЗАМЕНУ.

Билет.

Вектор– это направленный отрезок

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Необходимым и достаточным условием коллинеарности ненулевого вектора и вектора является существование такого числа , которое удовлетворяет равенству .

Билет.

Определённый интеграл. Свойства определённого интеграла.

Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).

Геометрический смысл

Определённый интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми x = a и x = b и графиком функции f(x).

Билет.

Билет.

Конус – тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность.
Круглый конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

Усеченный конус – часть конуса, расположенная между его основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.

Билет.

Билет.

7) Формула перехода к новому основанию:

Билет.

Тела вращения — объёмные тела, возникающие при вращении плоской фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости.

Примеры тел вращения

• Шар — образован полукругом, вращающимся вокруг диаметра разреза
• Цилиндр — образован прямоугольником, вращающимся вокруг одной из сторон

• За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь его развертки: Sбок = 2πrh.
• Конус — образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов

• За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки: Sбок = πrl Площадь полной поверхности конуса: Sкон = πr(l+ r)
• Тор — образован окружностью, вращающейся вокруг прямой, не пересекающей его

Цили́ндр (др.-греч. κύλινδρος — валик, каток) — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её.

Билет.

Многогранник есть поверхность, составленная из многоугольных кусков.

Если эта поверхность сама себя не пересекает, то она есть полная поверхность некоторого геометрического тела, которое также называется многогранником

Призма — многогранник, две грани которого являются конгруэнтными (равными) многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками. Или (равносильно) — это многогранник, в основаниях которого лежат равные многоугольники, а боковые грани — параллелограммы.

Параллелепи́пед — призма, основанием которой служит параллелограмм, или (равносильно) многогранник, у которого шесть граней и каждая из них параллелограмм.

Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые

В отличие от прямоугольного параллелепипеда, все грани которого — прямоугольники, в прямом параллелепипеде в основании находится параллелограмм, а прямоугольниками являются только четыре боковые грани.

Билет.

Если положение точки при её движении по числовой прямой задаётся функцией S = f(t), где t – время движения, то производная функции S – мгновенная скорость движения в момент времени t. По аналогии с этой моделью вообще говорят о том, что производная функции у = f(x) – скорость изменения функции в точке х.

В соответствии с физическим смыслом производной, вторая производная – скорость изменения первой производной, т.е., согласно физическим терминам, ускорение изменения исходной функции.

Билет.

Пирамида – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину. Пирамида является частным случаем конуса.

Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Усеченная пирамида – часть пирамиды, заключенная между её основанием, боковыми гранями и сечением этой пирамиды плоскостью, параллельной основанию.

Билет.

Экстремум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве.

1)Точка x0называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки x0,что для всех xне равное x0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x)<f(x0).

2) Точка x0 называется точкой минимума функции f(x),если существует такая окрестность точки x0,что для всех xне равное x0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x)>F(x0).

Теорема: Если x0 – точка экстремума дифференцируемой функции f(x), тоf’(x0) = 0.

Теорема: путсь функция f(x) дифференцируема на интервале (a;b), x0 принадлежит (a;b), f’(x0) = 0

Тогда:

1)если при переходе через стационарную точку x0 функции f(x) ее производная меняет знак с «плюса» на «минус», т.е. f’(x0)>0 слева от точки x0 и f’(x0)<0 справа от точки x0 ,то f’(x0) – точка максимума функции f(x).

2) если при переходе через стационарную точку x0 функции f(x) ее производная меняет знак с «минуса» на «плюс», то f’(x0) – точка минимума функции f(x).

Билет.

Билет.

Е (число).

Данное число иногда называют неперовым в честь шотландского учёного Непера

Однако это название не совсем корректно, так как у него логарифм числа x был равен .

Константу впервые вычислил швейцарский математик Бернулли в ходе решения задачи о предельной величине процентного дохода. Бернулли показал, что процентный доход в случае сложного процента имеет предел: и этот предел равен 2,71828…

Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b, встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 1690—1691 годы.

Букву e начал использовать Эйлер в 1727 году.

Соответственно, e обычно называют числом Эйлера. Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву c, буква e применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением.

Почему была выбрана именно буква e, точно неизвестно.

Комплексное число.

Ко́мпле́ксные чи́сла (устар. Мнимые числа), — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма , где и — действительные числа, — мнимая единица.

Билет.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел состоит в том, что каждому комплексному числу z = x + yi ставится в соответствие точка (x, y) координатной плоскости таким образом, что действительная часть комплексного числа представляет собой абсциссу, а коэффициент при мнимой части – ординату точки.

Таким образом, устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством комплексных чисел и множеством точек координатной плоскости. Подобным образом было установлено соответствие между множеством действительных чисел и множеством точек числовой прямой.

Всякое комплексное число z = (x, y) можно изобразить как точку на плоскости с координатами x и y. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, при этом ось Ox называется действительной, а Oy - мнимой.

Билет.

Билет.

Билет.

Билет.

Билет.