Дії над числами в позиційних системах числення, відмінних від десяткової
Порівняння чисел, записаних у системі числення з основою р, виконується так само, як і в десятковій системі числення: порівнюються цифри, починаючи зі старших розрядів.
Дії над числами в не десяткових системах числення виконуються за тими ж правилами, що і в десятковій системі числення. Перш за все для додавання і множення одноцифрових чисел складаються відповідні таблиці. Вони використовуються як при відніманні і діленні одноцифрових чисел, так і при діях з багатоцифровими числами.
Таблиця додавання з р = 5
| + | 1 2 3 4 |
| 2 3 4 10 3 4 10 11 4 10 11 12 10 11 12 13 |
Таблиця множення з р = 5
| × | 1 2 3 4 |
| 1 2 3 4 2 4 11 13 3 11 14 22 4 13 22 31 |
Виконаємо додавання і віднімання чисел, записаних у п’ятірковій системі числення: + 3421(5) _ 3421(5)
342(5) 342(5)
4313(5) 3024(5)
Виконаємо множення і ділення чисел п’ятіркової системи числення:
×4203(5) _ 221432(5) 28(5)
24(5)211 4203(5)
32322(5) _104
13411(5) 103
221432(5) _132
132
Здійснити перехід від запису числа у десятковій системі числення до запису у не десятковій системі можна за допомогою послідовного ділення. Розглянемо це на конкретному прикладі:
869 = х(4) 869 4
868 217 4 Отже, 869 = 31211(4)
1 216 54 4
I р. 1 52 13 4
II p. 2 12 3
III p. 1 V р.
IV p.
Розглянемо обернену задачу до попередньої: 31211(4) = х(10)
31211(4) = 3∙44 + 1∙43 + 2∙42 + 1∙4 + 1 = 3∙256 + 1∙64 + 2∙16 + 1∙4 + 1 = 768 + 64 + + 32 + 4 + 1 = 869.
Питання для самоконтролю
1. Як розвивалось поняття натурального числа. Що замість чисел використовували люди у давнину?
2. Як утворились назви натуральних чисел? Які існують символи для запису чисел?
3. Дайте означення відрізку натурального ряду чисел?
4. Сформулюйте означення лічби елементів множини.
5. Що означає упорядкованість, нескінченність і дискретність множини цілих невід’ємних чисел?
6. Поясніть порівняння чисел.
7. Дайте означення суми двох цілих невід’ємних чисел. Назвіть компоненти дії додавання.
8. Сформулюйте теорему про існування суми та її єдиність.
9. Назвіть закони додавання та їх наслідки.
10. Дайте теоретико-множинне означення різниці двох цілих невід’ємних чисел, назвіть компоненти дії віднімання.
11. Сформулюйте теорему про існування та єдиність різниці.
12. Дайте означення різниці двох цілих невід’ємних чисел через зв’язок віднімання з додаванням.
13. Сформулюйте правила віднімання числа від суми і суми від числа.
14. Дайте визначення текстової задачі, назвіть її складові.
15. Які існують способи розв’язування текстових задач?
16. Назвіть етапи розв’язування задачі та способи реалізації кожного етапу.
17. Перелічіть прості текстові задачі на додавання та віднімання.
18. Дайте означення добутку двох цілих невід’ємних чисел як числа елементів декартового добутку двох скінченних множин.
19. Дайте означення добутку двох цілих невід’ємних чисел через суму. Назвіть компоненти дії множення. На що вказує кожен компонент?
20. Сформулюйте теорему про існування добутку та його єдиність.
21. Сформулюйте закони множення.
22. Дайте означення частки цілого невід’ємного числа і натурального через розбиття скінченної множини на рівнопотужні підмножини без спільних елементів. Чому означення складається з двох частин?
23. Як називаються компоненти дії ділення?
24. Дайте означення частки цілого невід’ємного числа і натурального через зв’язок ділення з множенням.
25. Поясніть неможливість ділення на нуль.
26. Сформулюйте теорему про існування і єдиність частки цілого невід’ємного числа і натурального.
27. Сформулюйте правила ділення суми і добутку на число.
28. Дайте означення ділення цілого невід’ємного числа на натуральне з остачею.
29. Перелічіть прості текстові задачі на множення та ділення.
30. Що називається системою числення?
31. Поясніть основи десяткової системи числення. Чому вона вважається позиційною?
32. Сформулюйте алгоритм додавання багатоцифрових чисел в десятковій системі числення.
33. Сформулюйте алгоритм віднімання багатоцифрових чисел в десятковій системі числення.
34. Сформулюйте алгоритм множення багатоцифрових чисел в десятковій системі числення.
35. Сформулюйте алгоритм ділення багатоцифрових чисел в десятковій системі числення.
36. Дайте означення відношення подільності на множині натуральних чисел. Поясніть властивості цього відношення.
37. Які числа називаються простими, які складеними? Яким є число 1?
38. Сформулюйте теореми про подільність суми, різниці і добутку.
39. Поясніть ознаки подільності на 2 і 5, 3 і 9, 4 і 25, на складені числа.
40. Дайте означення спільного дільника, найбільшого спільного дільника, назвіть його властивості.
41. Дайте означення спільного кратного, найменшого спільного кратного, назвіть його властивості.
42. Поясніть два способи знаходження найбільшого спільного дільника (НСД) і найменшого спільного кратного (НСК).
43. Перелічіть стародавні системи числення і назвіть їх відмінності. Якими з цих систем користуються ще й до цього часу?
44. Назвіть відмінності позиційних і непозиційних систем числення.
45. Поясніть алгоритм переходу з десяткової системи числення в позиційну систему, відмінну від десяткової. Як виконати перевірку?
46. Що спільне в алгоритмах виконання арифметичних дій в десятковій системі числення і в системах, відмінних від десяткової?
Система вправ
1. Два гуртки – зоологічний та ботанічний – об’єднались в один гурток юних натуралістів. Множина учнів, що займались у зоологічному гуртку: А = {Соколова, Волкова, Білова, Андрєєв, Іванов, Михайлова}. Множина учнів, які займались у ботанічному гуртку: В = {Іванов, Михайлова, Орлова, Єрмакова}.
а) Напишіть множину членів гуртка юних натуралістів;
б) Знайдіть кількість елементів множин А, В, А 
В;
в) Чи є правильною рівність n(A) + n(B) = n(А В)?
2. У першому класі учні знайомляться із записами: 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3+2=5. Які теоретико-множинні поняття при цьому неявно використовуються?
3. Замість зірочки (*) поставте знак =, < або > , що отримати істинне висловлення:
а) 4968 + 7369 * 4968 + 7370;
б) 2819 + 6785 * 2820 + 6734;
в) 71598 + 39 * 71600 + 36.
4. Які умови повинні виконуватись для множин А і В, щоб були істинними висловлення:
а) n(A) + n(B) > n(А В);
б) n(A) + n(B) = n(A);
в) n(A) + n(B) = n(В).
5. Дано множини B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} і D = {0, 2}.
а) Знайдіть: n(B), n(D), n(B\D), n(B) – n(D);
б) Чи є істинним висловлення n(B) – n(D) = n(B\D);
в) У якому відношенні повинні знаходитись множини А і В, щоб n(A) – n(B) = n(A\B)?
6. Чи може різниця двох цілих невід’ємних чисел:
а) дорівнювати від’ємнику;
б) дорівнювати зменшуваному?
7. Виконати дії раціональним способом, пояснити застосовані властивості: а) 17527 – (2080 + 4527), в) (5762 + 416) + 1238,
б) (527 +658) + (342 + 173), г) (6902+899) – 349.
8. Запишіть суму у вигляді добутку:
а) 5607 + 5607 + 5607 + 5607 + 5607;
б) (34 + 78) + (34 + 78) + (34 + 78) + (34 + 78);
в) х + х + х + х + х + х + х + х + х + х;
г) (у +7) + (у +7) + (у +7) + (у +7) + (у +7) + (у +7).
9. Запишіть у вигляді суми:
а) 384 ∙ 9; в) 0 ∙ 8; д) (а + 7) ∙ 4; ж) 52;
б) 1 ∙ 10; г) а ∙ 5; е) (с + b) ∙ 7; з) а2.
10. Обчисліть раціональним способом, використовуючи комутативний закон множення:
а) 5 ∙ 3764 ∙ 2; в) 8 ∙ 5379 ∙ 125;
б) 4 ∙ 6978 ∙ 25; г) 4 ∙ 375 ∙ 250.
11. Обчисліть частку двома способами:
а) (390 + 39) : 13; в) (64 ∙ 32) : 8;
б) (270 + 37) : 37; г) 1470 : ( 147 : 3).
Підкресліть раціональний спосіб. Відповідь обґрунтуйте.
2. Скласти усі види простих задач, які б розв’язувались наступною дією: а) 8 + 5; б) 17 – 9; в) 7 ∙ 4; г) 24 : 8.
13. Скласти задачу на ділення на рівні частини і переробити її так, щоб дістати ще дві задачі: на ділення на вміщення і на зменшення числа у кілька разів.
14. Знайти НСК і НСД чисел: а) 1320 і 385, б) 1820 і 858.
15. Виконати дії з докладним коментуванням:
а) 645 б) 364 в) _928 г) 14724 36
+189× 73459
16. Які з висловлень істинні, а які хибні? Поясніть чому.
а) 273 кратне числу 5;
б) 273 не кратне числу 5;
в) 3 є дільником числа 273;
г) Не правильно, що 3 є дільником числа 273.
17. Доведіть, що при будь-якому невід’ємному значенні n число n3 – n ділиться на 3.
18. Довести, що з трьох послідовних натуральних чисел одне і тільки одне з них ділиться на 3.
19. Запишіть числа 2453, 13728, 110012 у вигляді суми степенів основи системи числення.
20. Які з чисел записані правильно, а як і ні: 31145, 37568, 1212112, 121013?
21. Перевести число з десяткової системи числення в іншу і виконати перевірку: а) 21410 = ... 7 ; б) 30510 = ... 8.
22. Які цифри повинні стояти замість зірочок (числа записані в десятковій системі числення)?
а) +*246 б) _ *3*8
3*1*123*
4960 4143
23. Прочитайте і запишіть в десятковій системі числення наступні числа: III, IV, VIII, IX, XL, L, CM, C, M, XXXIX, CCCXXXVIII.
24. Запишіть в римській нумерації числа: 38, 41, 102, 1979, 2009.
25. При діленні цілого невід’ємного числа а на натуральне число b дістанемо неповну частку q і невід’ємну остачу r . Знайти:
а) q і r , якщо а = 112, b = 36,
б) b і q, якщо а = 100, r = 6,
в) b і r , якщо а = 351, q = 14.
Розділ IV