Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Рассмотрим колебательную систему, состоящую из точечного груза массы и четырех связанных с ним пружин. Если масса движется по гладкой горизонтальной поверхности (на рисунке показан вид сверху), то ее мгновенное расположение описывается двумя смещениями из положения равновесия (точки О) - и . Говорят, что такая система обладает двумя степенями свободы. Если колебания являются гармоническими , то уравнение траектории движения шарика можно получить следующим образом. Перепишем уравнения колебаний в виде:

Умножим первое уравнение на , а второе – на и вычтем из первого уравнения второе, получим

. (1)

Умножим первое уравнение на , а второе – на и вычтем из первого уравнения второе, получим

. (2)

Возведем в квадрат каждое из равенств (1) и (2) и сложим их, получим

(3)

В общем случае груз будет совершать периодические движения по эллиптическим траекториям. Направление движения вдоль траектории и ориентация траектории зависят от начальной разности фаз .

ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1. Каковы результаты сложения двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одной и той же частоты, кратных частот? Каков будет результат при соотношении частот : а) 1:2; 2) 1:3?

ЗАДАЧИ

1. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями . Найти уравнение траектории, построить ее и указать направление движения..

2. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями . Найти уравнение траектории, построить ее и указать направление движения..

3. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями . Найти уравнение траектории, построить ее и указать направление движения..

4. Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами и амплитудами . Начальные фазы колебаний . Определить амплитуду и фазу результирующего колебания, найти его уравнение и построить с соблюдением масштаба векторную диаграмму сложения амплитуд.

5. Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами и амплитудами . Начальные фазы колебаний . Определить амплитуду и фазу результирующего колебания, найти его уравнение и построить с соблюдением масштаба векторную диаграмму сложения амплитуд.

6. Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами и амплитудами . Начальные фазы колебаний . Определить амплитуду и фазу результирующего колебания, найти его уравнение и построить с соблюдением масштаба векторную диаграмму сложения амплитуд.

7. Сложить с помощью векторной диаграммы и аналитически два колебания и .одинаково направленных колебаниях

8. Точка участвует в двух одинаково направленных колебаниях и . Определить амплитуду результирующего колебания, его частоту и начальную фазу колебаний. Найти уравнение движения. Построить векторную диаграмму.

9. Складываются два гармонических колебания одинаковой частоты и одинакового направления: и . Начертить векторную диаграмму для момента времени . Определить аналитически амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Отложить результирующую амплитуду и фазу на векторной диаграмме. Найти уравнение результирующего колебания ( в тригонометрической форме через косинус). Задачу решить для двух случаев: 1) 2) .

10. Точка совершает одновременно два гармонических колебания, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям и выражаемых уравнениями и . Найти уравнение траектории точки и построить график траектории. Указать на графике точку, соответствующую началу движения.

11. Точка совершает одновременно два гармонических колебания одинаковой частоты, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям и выражаемых уравнениями: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . Найти для восьми случаев уравнение траектории точки, построить ее с соблюдением масштаба и указать направление движения. Принять: . По

12. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям и описываемых уравнениями: ; 2) ; 3) ; 4) . Найти уравнение траектории точки, построить ее с соблюдением масштаба и указать направление движения.

Семинар 14