Построение графика функции двух переменных заданных в параметрической форме

Однако графики не всех поверхностей могут быть построены с помощью задания матрицы аппликат или способом, рассмотренным в разделе 3.2. Такие поверхности существуют уже среди поверхностей второго порядка: например, эллипсоид, каноническое уравнение которого имеет вид

. (1)

Невозможность построения графика поверхности упомянутыми способами объясняется следующим.

Зададим область изменения аргументов x, y:

- a £ x £ a, - b £ y £ b (2)

и выразим из (1) переменную z:

. (3)

Из (3) следует, что для некоторых значений x, y из области определения (2) переменная z может быть мнимой величиной. Это предопределяет невозможность построения графика с помощью задания матрицы аппликат.

Для таких поверхностей в MathCAD 2001 предусмотрен иной способ построения графиков. Но для этого необходимо перейти от явного или неявного задания поверхности к ее заданию в параметрической форме.

При параметрическом задании функции z = f(x,y) все три переменные x, y, z представляются как функции некоторых двух переменных u, v, называемых параметрами: x = x (u,v), y = y(u,v), z = z (u,v). Часто в качестве параметров u,v выбирают углы j, q, образуемые радиусом – вектором, проведенным из начала координат к некоторой точке M поверхности, и его проекцией на какую – либо координатную плоскость с осями координат. На рис 12 приведен пример выбора параметров j, q.

Рис.12.

Здесь: M – точка поверхности; M₁ – проекция точки M на плоскость XOY; r – радиус – вектор, проведенный из начала координат в точку M; r₁ – проекция вектора r на плоскость XOY; j - угол, образованный вектором r с осью OZ; q - угол, образованный вектором r₁ с осью OY.

Подчеркнем, что рис. 12 всего лишь пример выбора параметров. Параметры u, v могли бы быть выбраны и по-иному.

Если же параметры выбраны в соответствии с рис. 12, то уравнение эллипсоида в параметрической форме имеет вид

x(j,q) = a sin (j) sin (q),

y(j,q) = b sin (j) cos (q), (4)

z(j,q) = c cos (j).

Истинность параметрического представления (4) проверяется подстановкой (4) в уравнение (1).

Для построения графика функции двух переменных (поверхности), заданной в параметрической форме, следует:

1) задать область изменения индексов i, j;

2) задать область изменения параметров в виде индексированных переменных ( например, j _i, q_j);

3) задать поверхность в параметрической форме (например, x_i,j, y_i,j, z_i,j);

4) набрать и выполнить команду: Insert – Graph – Surface Plot;

5) в структурную метку шаблона графика, расположенную около начала координат, ввести имена координат – (x, y, z) (без индексов и в круглых скобках).

На рис. 13 приведен фрагмент программы MathCAD 2001 по построению графика поверхности эллипсоида.

Рис. 13.

Для многих поверхностей их параметрические представления найдены и приведены в учебниках и справочниках по математике. Но не всегда во время работы за компьютером эти могут оказаться “под рукой”. Поэтому полезно уметь самостоятельно переходить от задания поверхности в виде уравнения в прямоугольных координатах к ее параметрическому заданию. При этом для большинства поверхностей второго порядка удобно в качестве параметров выбирать координату z (будем этот параметр обозначать как h) и угол q.

На примере эллипсоида (1) рассмотрим, как при выбранных параметрах h, q получаются параметрические представления большинства поверхностей второго порядка.

Положим в (1): z = h. Получим

или

. (5)

Уравнение (5) – это уравнение эллипса с полуосями

и .

Параметрическое представление эллипса известно:

x= A sin (q), y = B cos (q).

Следовательно, параметрическое представление эллипсоида при выбранных параметрах h, q:

,

,

z = h.

Фрагмент программы построения поверхности эллипсоида приведен на рис. 15.

Рис. 15.