Нділердің арифметикасы мен алгебрасы

Үнді математиктерінің шығармаларында математика қазіргідей арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия салаларына бөлінбей аралас білімдер негізінен нақты есептерді шешуге байланысты баяндалады.Бұл тұрғыда ол ежелгі Мысыр,Вавилон,Қытай математикасына көп ұқсайды.Бірақ олардың математикалық қорытулары мен пайымдауларында дәлелдеу дұрыстығына көз жеткізу әрекеттері кездеседі.Бұдан гректерден ауысқан теориялық математика дәстүрлерінің нышанын аңғарамыз.

Үнді матемаикасының негізі арифметикадан жатыр. Біздің орта мектепте оқып үйренетін геометрияның негізі грек математиктерінен, Евклидтің «бастамаларынан» басталса, арифметиканың түп төркіні үнді математикасының еңбектерінде жатыр.

Санаудың ондық позициялық жүйесі деп аталатын қазіргі жаппай қолданылып жүрген әрі ықшам,әрі қарапайым ыңғайлы нөмірлеудің ашылуы үнді математикасының тек математика ғана емес,бүкіл адамзат мәдениеті үшін де тамаша тартуы болды,. Бұл жүйе бойынша бар боғаны 10 таңба (0,1,2,....9) және олардың позициялық принципі бойынша алынған комбинациялары арқылы кез келген санды оңай кескіндеуге болады.Математика тарихшыларының топшалауы бойынша бұл жүйені үнділер б.з-ң бас кезінде шамамен II-IV ғасырларда жасаған болуы керек.

Француздардың ұлы математигі Лаплас үнді математиктерінің еңбектерін былай бағалады: «Үнділікте бізге барлық сандарды не бары 10 таңба арқылы өрнектеудің тамаша тәсілінтауып берді. Онда әрбір таңбаның шамасымен қатар орналасқанда мағынасы бар. Олардың қарапайым болып көрінетіндігі сонша біз олардың нағыз қадір қасиетін аңғара бермейміз.Ал,шынында,оның осы қарапайымдылығы және барлық есептеуді өте оңайлатуы,арифметиканы адамзаттың аса пайдалы құралдарының біріне айналдырады.Бағзы заманның ұлы перзенттері –Архимед пен Аполлонийдің кемеңгерлігі мұны кезінде байқай алмағанын еске алсақ,біз осы жаңалықтың барлық ұлылығын дұрыс бағалаймыз».

Үнділіктердің осы ондық позициялық санау жүйесіне негізделген арифметикасын орта ғасырларда араб математиктері қабылдады. Олардың еңбектері арқылы үнді санау жүйесі Таяу және Орта Шығыс елдерінде және Еуропаға тарайды. Кейде үнді цифрларі араб цифрлары деп қате атайды,шындығына келсек,оның түп төркіні –Үндістан.

Үнді математиктері қосу,азайту,көбейту,бөлу, дәрежелеу, түбір табу амалдарын қарастырады. Амалдарды орындау тәртібі, ережесі қазіргіден біраз ғана өзгешелеу.Олар жай және күрделі үштік ережені,жай және күрделі процентті есептеуді,пропорционалдық әдістерін білген:Қазір теңдеу құру арқылы шешілетін көп есептерді арифметикалық жолмен шешу тәсілдерін ұсынады.Үнді математиктері,мәселен, «Жалған жору» деп аталатын әдісті пайдаланып,бірсыпыра арифметикалық есептерді оп-оңай шығара білген.Ондай есептер көбіне өлең түрінде беретін болған.

Нөл ұғымын арифметикаға тұңғыш енгізген де үнділңктер болса керек.Санскрит тілінде нөл «сунья», «бос», «еш нәрсе жоқ» дегенді білдіреді,бұл араб тілінде «ассифр» деп аударылып,осыдан «цифра» термині қалыптасқан.Нөлдің «төркіні» гректер деп айтушылар да бар.

Қалай болғанда да Үнді математикасында нөлге үлкен мән берілген,оған амалдар жүргізу қарастырылған.Мысалы, а-0=а;a-a=0;a*0=0*a=0;0/a=0.Үлкен сандар үнділіктердің арифметикасында жиі кездеседі.Мысалы,а=3,q=5,S=22888183593 геометриялық прогрессияның мүшелер санын табу.Мұндай әрекеттер және санды 0-ге бөлу мәселесі оларда шексіз үлкен сан туралы ұғымды қалыптастырады.Бхаскарк а/0 өрнегін оған қандай сан қоссақ та(немесе алсақта) өзгермейтін шексіз үлкен сан деп есептеген әрі оны болмыстың шексіз тізбегінің өтер уақытына ұқсатқан.

Математика тарихшылары алгебралық білімдердің дамуында үнді математиктерінің үлкен үлесі болғанын атап көрсетеді.Үнділіктер тек бүтін,бөлшек сандар ғана емес,теріс және иррационал сандарға да амалдар қолдана білген.Бұл математика тарихындағы үлкен жетістік болды,өйткені гректер теріс,иррационал сандарды сандар санатына қоспаған.

Б.з-ң V ғасырында-ақ үнді математиктері оң санды «мүлік»,ал теріс санды «қарыз» мағынасында өрнектеген,оларға кәдімгідей амалдар қолданған.Мысалы,Брахмагупта кейіннен Бхаскараекі мүліктің қосындысы –мүлік,қарыз бен қарыз қосылса –қарыз,мүлік пен қарыз қосылса –олардың айырмасы,нөл мен қарыз қосылса –қарыз,мүлік пен мүлік, сондай-ақ қарыз бен қарыз көбейтілсе –«мүлік» деген сияқты бірсыпыра ережелер келтіреді.

Теріс сандарды үнділіктер өз бетінше таптыма,әлде көрші Қытай математикасынан алды ма,бұл жағы беймәлім.

Үнді математиктері иррационалдықтарды емін-еркін қолдана білген.Оларға маселен, √(a+√b)=√((a+√a²)/2 +√((a-√a²)/2

√(a-b+2√ab)=√a+√b формулалары белгілі болған.

Үнді математикасында алгебралық символиканың бастамасы бар,бір ерекшелік шамалар әріппен емес сөздің буынымен белгіленеді.Мәселен,.х-йават-йа:х²-варга-ва:х³-гхана-гха:х⁴-ва-ва:х⁵-ва-гха т.с.Бос мүшені корсету үшін сәйкес санның алдында руп-ру танбасын қолданған.Тендеудің оң жағының астына жазады.Мысалы,Брахмагупта 10х-8=х²+1 тендеуін былай өрнектейді.

«йа» «ва» о «йа» 10 «ру» 8

«йа» «ва» 1 «йа» о «ру» 1

Үнді матеметиктерінің квадырат тендеулер жөнңндегі еңбектерінің де маңызы үлкен.Квадырат тендеулерді шешу мәселесі математикада өте ертеден келе жатқан мәселе екені өткен тарауларда айтылды.Үнді математиктері Брахмагупта мен Бхаскара енбектерінде квадрат тендеуді шешу әдістері көп ілгері дамытылды.Олар теріс жане иррационал сандарды қолданып,әр түрлі квадрат тендеуді бірыңғай канондық түрге келтіріп шешу ережелерін береді.

Күрделі процентке берілген есеп tх+pх=qр тендеуіне келеді.Бірақ үнді математигі бұны жазбастан,шешу ережесін бірден береді.Ол квадрат тендеуді шешудің біз білетін

х=(√ qpt-(p/2)²-(p/2))/t

формуласымен парапар.

Европада квадырат тендеуді шешудің осындай жалпы әдісін жасау әрекеттері алғаш рет француз математигі Франсуа Виеттің еңбектерінде кездеседі.

Үнді математиктері үшінші және төртінші дәрежелі тендеуге келтіретін кейбір есептерді шеше білген.Бірақ жалпы формуласын білмеген.Мысалы,Бхаскара әдейі тандап алынған х⁴-2х²-400х=9999 тендеуін шешу үшін оның екі жағына да 4х²+400х+1 көпмүшені қосады:

х²+2х²+1=4х²+400х+10000:

(х²+1)²=(2x+100)²:х²+1 =2х+100,х =11.

Астрономиялық есептеулер барысында қойылған бірінші және екінші дәрежелі анықталмаған тендеулерді шешуде үнді математиктері көрнекті табыстарға жетеді.Егер Диофант анықталмаған тендеулердің рационал шешулерін табуға ұмтылса,үнділіктер тек бүтін,оң сандар арқылы шешу әдістерін ұсынады.Мысалы,ху= ах+ву+с(1) анықталмаған тендеуді (х-b)Х Х(у-а)= с+ав(2) түріне келтіреді.Мұның дұрыстығын олар геометриялық жолмен көрсетеді.Енді(2) теңдіктің оң бөлігін екі бүтін көбейткіштің көбейтіндісіне келтіріп,теңестіру жолымен (1) тендеудің бүтін шешулерін табады.

Бхаскара у²-ax²=1 анықталмаған тендеуді шешудің циклдік әдісін ұсынады.Бұл тендеу қазір Пелль тендеуі деп аталады.

ҮНДІЛЕРДІН ГЕОМЕТРИЯСЫМЕН ТРИГОНОМЕТРИЯСЫ.

Үнді оқымыстыларының геомтрия жөніндегі мағлұматтары олардың арифметика алгебра жөніндегі білімдерінен көп төмен. Олар бұл салада көбіне практикалық мазмұнды есептерді шешумен қанағаттанады. Кей жағдайда грек математиктеріне еліктеген. Мысалы, Брахмагуптаның геометриялық еңбектеріне Геронның ықпалы болғаны көрінеді. Ариабхатта санының жуық мәні үшін Аполлоний келтірген мәнді алады. Үнді математиктері геометриялық қорытындыларды сирек дәлелдеді. Олар пифагор теоремасының әртүрлі дәлелдер келтірген. Мысалы, Бхаскара «Білімдер тәжі» деп аталатын еңбегінде Пифагор теоремасын дәлелдеді. Үнді математиктері төртбұрыш ауданы үшін Герон формуласына ұқсатып, ережсін береді. Бұл формула дөңгелекке іштей сызылған тқртбұрыш үшін ғана дұрыс. Олар призма V-не дөңгелек қиық конус және шар V-не сәйкес және формулаларына пара-пар келетін ережелер арқылы табылады.

Математиканың даму сатысында үнді оқымыстылары тригонометриялық мағұлматтарды едәуір жетілдіріп, бұл тұрғыда грек математиктерінен ілгері кетеді.Птоломей еңбектерінде бұрышқа сәйкес хордаларды өлшеу негізінде тригонометрияның пайда болғанын ілгеріде айтқан болатынбыз.Үнділіктер ол хордалардың жартысын сәйкес бұрыштың жартысының синусымен алмастырады:sinα=хорда2α/2.

Бұл тригонометрияның өз алдына математиканың дербес саласы болып қалыптасуындағы маңызды бетбұрыс еді.Осының нәтижесінде тікбұрышты үшбұрыштардың бұрыштары мен қабырғаларын байланыстыратын түрлі қатынастарды тағайындауға жол ашылды.Ариабхатта шығармаларында синус, косинус, синус - верзус ұғымдары енгізіліп, оларды жүйелі түрде пайдаланылады.

Қазіргі жаппай қолданылып жүрген «синус»,«косинус» терминдерінің түп-төркіні үнді математикасынан шыққан.Хорданы олар «джива» -садақтың кермесі-деп алған да,хорданың жартысын «ардха-джива» деген,кейіннен ардха түсіп қалып,оны қысқаша «джива» деп кетеді.Арабтар «дживаны» өз тілдеріне келтіріп «джайб»-ойыс,қойнау түрінде пайдаланады.Мұны кейін Европа математиктері латын тіліне дәлме-дәл аударып,қазіргі «синус»терминін қалыптастырған.Косинусты үнділер «коттиджива» яғни «қалдықтың синусы» деп атаған.

Үнді математиктерінде мынадай тригонометриялық қатыстар кездеседі:sin²α+cos²α=1,sinα=cos(90⁰-α);sinversα=1-cosα;sin²α/2=(sinversα)/2.

Sin(α±β)=sinα*cosβ±cosα*sinβ, т.б.

Үнді математиктері мен астрономдары тұңғыш синустар кестесін құрады.Егер гректер радиусты 60 бөлікке тең деп алса,үнділер оны 3438 минут(алпыстық бөлшек) деп алады.Сонда sin60⁰=

Кейбір деректерге қарағанда үнділер сфералық тік бұрышты үшбұрыш үшін синустар теоремасын,тіпті косинустар теоремасын білген.Мұны анықтау келешектің ісі.

Тек тригонометрияда ғана емес,бүкіл ортағасырлық үнді математикасының көрнекті табысының бірі -олардың шеңбер доғасын тангенстік дәрежесі бойынша қатарға жіктеу әдісін ұсыну болып табылады. Мұның авторы оңтүстік Үндістаннан шыққан математик Нилоканта болды. Ол «Ғылыми жинақ » деп аталатын еңбегінде қазіргі матиматикалық таңбалалану бойынша түріндегі нәтижені табады.Осының жәрдемімен Нилоканта х=1 деп алып қатары арқылы ¶-дің жуық мәні үшін 3,1415926539 санын есептеп шығарады.Мұның оң таңбасы дұрыс.Сөйтіп үнді математикасында тек элементтер математика мәселелерімен қатар жоғарғы математиканың,атап айтқанда,қатарлар теориясының элеметттері болған.

Үнді математикасы IX-XV ғасырларда өркен жайған араб елдеріндегі математиканың дамуына ұласады,оның бастау көзі -XV-XVIғасырлардан басталады.Үнді математикасы тарихында тоқырау орын алады. Оның негізгі себебі қоғамның саяси экономикалық құрлысының төмендеуініен еді.

Европалықтардың,атап айтқанда, ағылшындардың отаршылдық жаулап алу саясаты Үдістанда ғылым мен техниканың дамуын онан сайын тежеп тастайды. Үнді елінің ұлы перзенттерінің бірі «Джабахарлал Неру» өзінің ағылшын түрмесінде отырып жазған кітабында колониализмнің кертартпалығының бет пердесін әшкерелеп, оның үнді мәдениеті экономикасна 170 жыл бойы жасаған қиянатын тебіріне баяндайды.Сондықтан да жаңа заманда жоғары математиканы дамытушы оқымыстылар қатарынан Үнді ғалымдарының аты кездеспейді.Алайда,ХХ ғасырдың бас кезінде Үндістанда б.з-ң көрнекті математиктерінің бірі Раманужанның (1887-1920) таланты жарқ ете қалды.

Раманужанның дарыны мен тағдыры атақты Эверест,Галуа,Нильс Абельдердің тағдырына ұқсас.Ол 33 жасында қайтыс болады.Ол арнаулы математикалық дайындықтан өтпеген,институт,университет бітірмеген адам.Раманужан оқып,ғылыми жұмыстарға талпына бастаған қарсаңда Үндістанда Европа математикасы деңгейінде білім беретіндей оқу орны болмаған.Ол 27 жасқа келгенше математиканы тек өз бетінше оқиды,ағылшын тілін де нашар білген.

Раманужан төртінші класта оқып жүргенде қолына кездейсоқ түскен тригонометрия оқулығымен танысады.Осы кітаптың әсерімен ол бесінші класта синус пен косинусты жорамал аргументті көрсеткіштік функциялар арқылы өрнектейтін формулаларды өз бетінше тыңнан қорытып шығарады.Бірақ оларды Европада XVIII ғ. Эйлер ашқан болатын.Кейінірек ол жоғары математика жөніндегі некен-саяқ кітаптармен танысады.Ол өз қорытындыларын,ашқан жаңалықтарын қойын дәптеріне жаза берген.Раманужанның даңқы тез арада бүкіл Үндістанға жайылады.Алайда мұнда оның математикалық таланты дұрыс бағаланбады.Оның үстіне ол күнкөріс үшін қызмет істеуге мәжбүр болады.Ақыры 27 жасында Раманужан ағылшынның көрнекті математигі Хардимен хат арқылы танысады.Хардиға жазған бір хатында ол қатарлар теориясы,аналитикалық функциялар т.б математика тараулары бойынша 120 математикалық тұжырымдар келтіреді.Рас,олардың біразы сол кездің өзінде Европада бар еді.Харди Раманужанның асқан математикалық талантын бағалап,Англияға,Кембридж университетіне шақыртады.Алайда діни соқыр сенімдегі ата-анасының ықпалынан шыға алмай,ол бұл шақыруды қабылдамайды.

Кейіннен Хорди және Үндістандағы басқа жанашыр ғалымдардың қолқалауымен ол Кембриджге келеді. Ол мұнда бес жыл туберкулез ауруымен алысып жүріп аса жемісті еңбек етеді. Раманужан 30 жасында Англия Ғылым академиясының толық мүшесі, Кембридж университетінің профессоры болып сайланды. Ол мұндай дәрежеге,лауазымға ие болған ен бірінші үндіс болатын.Бірақ Раманужан өз елінде,туыс-туған,дос-жарандар арасында болу мақсатымен Мадрас университетіне ауысады.Мұнда келгеннен кейін науқасы асқынып,1920 жылы қайтыс болады.

Раманужаннан қалған бай матеметикалық мұраны Харди мен Литлвуд зерттеп,жинақ түрінде жарыққа шығарады.Олардың берген бағасы бойынша ойлау терендігі,табандылығы,зейінділігі,тапқырлығы жөнінде Раманужан өз замандастарынан едәуір биік тұрған.

Раманужанның асқан дарындылығы ұлы үнді халқының рухани күшін бейнелесе,оның қайғылы тағдыры отаршылдық бұғаудың езгісіне түскен елде таланттадың өсу жолының қаншалықты тар да қиын екенін корсетеді.Ұлттық бостандық алып қайта өрлеу,көтерілу сатысына түскен Үнді елінің мәдениеті мен ғылымы қазір жана,күшті қарқынмен даму үстінде.