Указания к выполнению задания

Задание должно быть выполнено на листе формата А3, расположение альбомное и образец его выполнения смотри приложение И. Лист условно делится на две части, и в левой части выполняется задание 4.1.1 и 4.1.2, в правой части – задание 4.1.3.

По координатам точек А, В, С и D выполняем комплексный чертеж плоскости сигма, заданной треугольником АВС и точки D.

4.3.1 Порядок выполнения задания 3.1.1:

-в плоскости сигма проводим фронталь и горизонталь (для удобства данного чертежа фронталь и горизонталь проводим через вершину С, через вершину D проведем прямую l_, перпендикулярную плоскости сигма, для этого проводим l₂^ f₂ и l₁^ h_1;

- находим точку пересечения построенной прямой l с заданной плоскостью сигма (алгоритм решения данной задачи смотри в разделе 2.1 данного методического указания) l∩∑=К К₁D₁ и К₂D₂ – проекции перпендикуляра КD или расстояние от точки а до плоскости сигма;

-для нахождения натуральной величины отрезка DК можно воспользоваться любым известным способом. В нашем примере использован метод прямоугольного треугольника. Для этого из конца (любого) отрезка К₁D₁ восстановим перпендикуляр, на котором отложим DY = Y _к - Y _D и тогда К₁ = ‌‌ ‌‌‌‌׀ DК׀

4.3.2 Через середину отрезка DК необходимо провести плоскость сигма, параллельную плоскости сигма. Для этого отрезок DК делим на две части, получаем точку L (находим L₁ и L₂) и через точку L проводим плоскость ттэта, которую задаем двумя пересекающимися прямыми m и n - Θ(n∩m), при этом m׀׀АС, а n ׀׀АВ.

4.3.3 На поле чертежа справа выполняем комплексный чертеж плоскости сигма, заданной треугольником АВС и через вершину В проводим плоскость дельта, перпендикулярную стороне АС (плоскость дельта задаем горизонталью и фронталью). При этом строим f₂^А₂С_2, а h₁^А₁С₁. Чтобы найти линию пересечения этих двух плоскостей, нам достаточно найти точку пересечения плоскости дельта прямой АС, так как одна точка пересечения (В) у нас уже есть. Для этого через отрезок АС проводим фронтально-проецирующую плоскость Ф и найдем прямую 12, по которой плоскость дельта пересекается плоскостью фи (12=Δ∩Ф). точка К находится на пересечении прямых АС и 12 (К= АС∩12). Проводим линию пересечения двух плоскостей и определяем видимость.

Контрольные вопросы

4.4.1 Назовите алгоритм решения задачи на построение перпендикуляра из точки к плоскости.

4.4.2 Назовите алгоритм решения задачи на построение плоскости, перпендикулярной к данной прямой;.

4.4.3 Назовите алгоритм решения задачи на построение плоскости, параллельной заданной.

5 Расчетно-графическая работа по теме «Сечение поверхности сферы плоскостями»

Цель работы: изучить способы и приобрести умение в построении линий пересечения поверхности сферы плоскостями частного положения.

5.1 Содержание работы: выполнить линии пересечения поверхности сферы плоскостями частного положения (фронтально-проецирующими). Данные для выполнения задания берем по вариантам из таблицы 5.1, образец выполнения задания смотри приложение К.

Таблица 5.1 Задания по вариантам

В миллиметрах

№ вар.	А	В	С	D
Χ	Ζ	Χ	Ζ	Χ	Ζ	Χ	Ζ

Для всех вариантов центр сферы О (50; 60; 60), и радиус сферы равен 40мм.

Теоретический раздел

При построении линии пересечения одна из проекций линии пересечения задана (это фронтальная, так как известны координаты X и Z). В условии нашего задания секущие плоскости являются фронтально- проецирующими, поэтому решение задачи значительно упрощается. В случае, если секущая плоскость общего положения, следует воспользоваться одним из способов преобразования ее в плоскость частного положения (проецирующую). Естественно, что преобразованиям надо подвергнуть и заданную сферическую поверхность.

5.2.1 Сечение сферы плоскостью

Сечение сферы плоскостью рассмотрим на примере решения задачи. Пусть дана сфера и фронтально- проецирующая плоскость дельта (смотри рисунок 5.1). окружность, по которой плоскость дельта пересекает сферу проецируется на П₁ в виде эллипса. Две вершины этого эллипса точки 1 и 2 являются высшей и низшей точками (главные точки линии пересечения сферы поверхностью) сечения. Для их нахождения пользуются тем, что они являются очевидными, то есть находятся на пересечении секущей плоскости с главным меридианом сферы. Находим 1₂ и 2₂ и по линии связи и по принадлежности очерковой образующей определяем горизонтальные проекции точек 1 и 2 (1₁;2₁). Точки 3 и 4 тоже являются главными точками линии пересечения – это точки смены видимости на горизонтальной плоскости проекций и принадлежат экватору сферы, точки 5 и 6 определяют большую ось эллипса (1₂5₂ = 5₂2₂; 5₁6₁ = 1₂2 ).

Рисунок 5.1

Пример решения задачи, когда сфера пересекается плоскостью общего положения, смотри на рисунке 5.2

Рисунок 5.2

В нашем примере h(h₁,h₂) – горизонталь, f(f ₁,f₂) – фронталь

Рассматриваемый случай можно свести к предыдущему, проделав замену плоскостей проекций (П₂ на П₄). В новой системе П₁П₄ заданная плоскость стала проецирующей и горизонтальную проекцию сечения можно построить аналогично тому, как это было сделано на рисунке 5.1. Высшая и низшая точки сечения обозначены соответственно через 1и 2 (1₁;1₄) и (2₁;2₄). Цифрами 3(3₁;3₄) и 4(4₁;4₄) обозначены точки, расположенные на контуре горизонтальной проекции сферы и отделяющие видимую часть горизонтальной проекции от невидимой (точки видимости). Заметим, что эти точки (3 и 4) можно определить и непосредственно в системе П₂/П₁ при помощи плоскости Δ, проходящей через центр сферы || П₁ . Построение фронтальной проекции сечения можно выполнить независимо от уже построенной проекции сечения на плоскости П₁. Для этого следует перейти от системы П₂/П₁ к системе П₅/ П₂ (П₅^ П₂) и дальнейшие построения ничем не отличаются от предыдущих. Заметим, что через 5 и 6 обозначены точки соответственно наиболее и наименее удаленные от плоскости П₂. Точки 7 и 8 расположены на меридиане сферы и определяют границы видимости фронтальной линии сечения. Если найденных точек недостаточно для построения проекций сечения (при больших размерах чертежа), то промежуточные точки могут быть определены при помощи вспомогательных секущих плоскостей (параллелей сферы).

Рассмотрим еще один пример рассечения сферы плоскостями .

Сфера рассекается плоскостями по окружностям, которые проецируются в натуральную величину на плоскости, параллельные секущим плоскостям, и в отрезки прямых – на плоскости, перпендикулярные секущим плоскостям. На рисунке 5.3 показан пример – усеченная полусфера

Σ║П1, Г и Θ║П3). Отсеченная (отброшенная) часть полусферы показана сплошной тонкой линией.

Рисунок 5.3