Охарактеризуйте свойства симметрического линейного оператора

1) Линейный оператор является симметрическим тогда и только тогда, когда его матрица в любом ортонормированном базисе симметрична, т.е. совпадает с транспонированной матрицей оператора.

2) Собственные векторы симметрического линейного оператора, отвечающие различным собственным числам, ортогональны.

3) Собственному числу кратности m симметрического линейного оператора соответствует линейно независимая система из m собственных векторов этого оператора.

4) Для всякого симметрического линейного оператора (симметричной матрицы) существует ортонормированный базис, состоящий из его собственных векторов.

131. Дать определение линейной формы L[y].

Отображение линейного пространства во множество вещественных чисел называется линейной формой или линейным функционалом, если для любых векторов и из и любых чисел и выполняется условие:

132. Запишите общий вид линейной формы. Как вычисляются коэффициенты линейной формы?

Общий вид линейной формы:

Коэффициенты линейной формы подбираются следующим образом: каждый -тый коэффициент является , где – базис.

133. Как изменяются коэффициенты линейной формы при изменении базиса?

Коэффициенты линейной формы преобразуются по тому же закону, что и базисные векторы.

134. Дать определение билинейной формы В( , ).

Билинейная форма – функция , линейная каждому из аргументов:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ,

где .

Матрица билинейной формы:

Билинейная форма действует на аргументы:

135. Запишите общий вид билинейной формы. Как определяются элементы матрицы билинейной формы?

Общий вид билинейной формы:

Элементы матрицы билинейной формы определяются следующим образом:

136. Какая билинейная форма называется симметричной?

Билинейная форма называется симметричной, если можно поменять аргументы местами и это не повлияет на результат.

137. Как изменяется матрица билинейной формы при изменении базиса?

Матрица, представляющая билинейную форму в новом базисе, связана с матрицей, представляющей её в старом базисе, через матрицу, обратную матрице перехода к новому базису (матрице Якоби), через которую преобразуются координаты векторов.

Иными словами, если координаты вектора в старом базисе выражаются через координаты в новом через матрицу , или в матричной записи , то билинейная форма на любых векторах и запишется, как

,

то есть компоненты матрицы, представляющей билинейную форму в новом базисе, будут:

,

или, в матричной записи:

,

,

где — матрица прямого преобразования координат .

138. Дать определение квадратичной формы. Запишите общий вид квадратичной формы при n=3.

Квадратичная форма – функция, определённая в евклидовом пространстве соотношением , где матрица – симметрическая. Общий вид:

,

Где – некоторый ортонормированный базис в и . При :