Оптимизация надежности и объемов испытаний элементов систем при нормальном законе распределения параметров работоспособности

Согласно результатам, полученным в работе [ 7 ], нижняя граница надежности элемента , прогнозируемая после проведении k испытаний , в случае нормального распределения параметров работоспособности, может быть оценена по соотношению

,

где коэффициент вариации коэффициента параметрического запаса ;

уровень доверительной вероятности;

математическое ожидание коэффициента запаса; k- число испытаний;

функция нормированного нормального распределения .

Таким образом потребный уровень математического ожидания коэффициента запаса удовлетворяет соотношению

После преобразований будем иметь

,

Введя обозначения , получим .

Таким образом , где .

Следовательно, требуемый уровень надежности может быть подтвержден при различных комбинациях параметров t_mi и . Среди многообразия этих значений целесообразно выбрать те, которые обеспечивают заданный уровень вероятности отказа при минимальных затратах средств.

Очевидно, уровень избыточности элементов системы t_mi будет определять производственные и эксплуатационные расходы на выполнение программы:

где N – объем выпускаемой продукции;

коэффициент чувствительности, характеризующий удельные затраты на обеспечение единицы надежности, выраженной в гауссах.

Параметр определяется уровнем избыточности элемента. В частности, при использовании «горячего» резерва вероятность отказа резервной группы оценивается по соотношению

,

где вероятность отказа нерезервированного элемента; условная кратность резерва.

Отсюда .

Очевидно стоимость резервированного элемента будет равна

,

где стоимость нерезервированного элемента;

вероятность отказа нерезервированного элемента;

затраты на единицу надежности, выраженной в беллах.

Переходя к оценке надежности в гауссах, получим

, где ; .

Очевидно параметр b характеризует удельные затраты на единицу надежности, выраженной в гауссах.

Зависимость стоимости от кратности резерва можно представить в виде

.

Вид функции зависит от типа резервирования .Очевидно, в случае «горячего» резерва , имеем .

. Для «холодного» резерва стоимость резервной группы представим в виде

,

где m – общее число элементов в резервной группе.

Отсюда .

Для нахождения m воспользуемся приближенной оценкой [5].

.

После логарифмирования, получим

.

Характер изменения m по для различных представлен на рис. 2.8

Рис. 2.8 Зависимость числа элементов m в резервной группе от

кратности резерва .

При проведении практических расчетов зависимость , в реальном диапазоне изменения надежности, можно аппроксимировать прямой

.

В частности, для рассматриваемого случая, получим

В дальнейшем найдем аналогичные соотношения для элементов с параметрической избыточностью. При решении поставленной задачи, вероятность отказа элементов с параметрической избыточностью условно представим в виде

где - вероятность отказа элемента, соответствующая коэффициенту запаса ; условная кратность резерва.

Согласно результатам, полученным в работе [ 7 ], надежность элемента ,прогнозируемая после проведении k испытаний , может быть оценена по соотношению

,

где коэффициент вариации коэффициента запаса;

уровень доверительной вероятности;

математическое ожидание коэффициента запаса.

Знание , позволяет оценить условную кратность резерва

,

В дальнейшем будем считать, что стоимость резервированного элемента пропорциональна коэффициенту запаса . Тогда функцию можно оценить по соотношению .

Характер изменения функции представлен на рис. 2.9 .

Рис. 2.9 Характер изменения функции для элементов с параметрической избыточностью.

При построении графика было приняты следующие исходные данные:

1.3 ; 0,95 ; 0,1 ; 2, 5, 10.

Как видно из графика функция слабо зависит от объема испытаний k . Приближенно для функции может быть принята линейная аппроксимационная зависимость

.

С учетом полученных результатов, выражение для стоимости примет вид

,

где

Отсюда

, где .

Для рассмотренного в примере случая :

Соответственно затраты на экспериментальную отработку будут определяться объёмами испытаний элементов

где C_i - затраты на проведение одного испытания i-го элемента,

– затраты, не зависящие от варьирующихся параметров.

Таким образом, решение задачи сводится к минимизации функции суммарных затрат

(2.36)

В качестве дисциплинирующего условия рассмотрим правую границу неравенства ( 2.35 )

В дальнейшем для нахождения оптимального решения задачи рассмотрим функцию Лагранжа

Оптимальные параметры будут удовлетворять системе алгебраических уравнений:

При нахождении производной , предполагая, что число испытаний существенно меньше объема транспортной программы N, вторым слагаемым в выражении (2.36) можно пренебречь. Поэтому в дальнейшем удельные затраты на проведение одного испытания будем считать постоянными для каждого i-го элемента системы.

Производя дифференцирование, получим:

(2.37)

Разрешая систему уравнений относительно K_i, найдем

(2.38)

Соотношение (2.38) позволяет оценить оптимальный объем испытаний с точностью до целых. Таким образом оптимальные объемы испытаний отдельных элементов не зависят от требований, предъявляемых к надежности систем и определяются соотношением удельных затрат на обеспечение единицы надежности, закладываемой на этапе проектирования, и затрат на проведение одного испытания .

Соответственно, из первого уравнения системы (2.37) получим:

где

Подставляя в граничное условие , приходим к соотношению: .

Отсюда ( 2.39 )

Таким образом, оптимальные уровни вероятности отказа пропорциональны удельным затратам и заданным требованиям к вероятности отказа системы .

Заметим, что предположение о постоянстве , принятое выше, может не выполняться при создании единичных КА, затраты на разработку и экспериментальную отработку которых, существенно превышают затраты на изготовление и применение этих комплексов. Они составляют до 70% от общих затрат на всю программу. В этом случае решение должно быть уточнено.