Абсолютна величина числа позначається символом

Із означення абсолютної величини випливає, що нерівності і , де рівносильні, тобто .

Теорема. Абсолютна величина суми двох чисел не більше від суми абсолютних величин чисел, тобто .

Доведення. За означення абсолютної величини

для будь-яких чисел . Додаючи почленно ці нерівності, одержимо

.

Остання нерівність рівносильна нерівності

.

Теорема. Абсолютна величина різниці двох чисел не менше від різниці абсолютних величин чисел, тобто

.

Доведення. Для будь-яких чисел маємо

За попередньою теоремою

.

Звідси одержуємо

.

Зазначимо, що мають місце співвідношення

ТЕМА 2. ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ

ЛЕКЦІЯ 5

1. Означення числової послідовності.

2. Арифметичні дії над числовими послідовностями.

3. Обмежені і необмежені числові послідовності.

4. Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності.

5. Основні властивості нескінченно малих послідовностей.

Означення числової послідовності

Числовою послідовністю називається відображення .

Отже, якщо кожному натуральному числові поставлено у відповідність дійсне число , то множина дійсних чисел

(1)

називається числовою послідовністю.

Числа називаються елементами (або членами) послідовності. Символ називається загальним елементом послідовності, а його номером. Скорочено послідовність (1) позначається так: . Наприклад, є послідовність .

Послідовність вважається заданою, якщо вказано правило, за яким кожному натуральному числові поставлено у відповідність дійсне число . Найчастіше числову послідовність задають формулою загального ( го) члена послідовності: . Наприклад, формула задає числову послідовність

Числову послідовність можна задати рекурентною формулою, тобто формулою, в якій указується правило, за котрим можна виразити наступний її член через попередні. Наприклад, арифметична прогресія з першим членом та різницею визначається рекурентною формулою

або .

Рекурентною формулою

задається послідовність

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,…,

що відома в математиці як " ряд Фібоначчі", а її члени – як числа Фібоначчі. Ці числа мають ряд цікавих властивостей. Нині вони використовуються при обробці інформації на ЕОМ, при відшуканні оптимальних методів програмування тощо.

Арифметичні дії над числовими послідовностями

Нехай задано послідовності і .

Добутком послідовності на число називається послідовність , тобто

.

Сумою послідовностей і називається послідовність :

;

різницею – послідовність :

;

добутком – послідовність :

;

часткою - послідовність :

; де .