Операции симметрии, применяемые к молекуле

Рассмотрим множество операций симметрии, используемых для описания молекулы. В качестве характерного примера рассмотрим молекулу хлористого метила (1):

(На рисунке атомы водорода пронумерованы таким образом, чтобы они переходили друг в друга при применении операций симметрии.) Операция симметрии определяется как операция, при применении которой конфигурация объекта не изменяется. Такое определение операции симметрии необходимо, но совсем не обязательно, чтобы такая операция была физически осуществимой; она должна быть только вполне определена по отношению к данному элементу симметрии. (Элемент симметрии определяется как геометрический элемент, такой, как плоскость, линия, точка, относительно которого выполняется операция симметрии.) Системы могут быть классифицированы по отношения как к элементам симметрии, так и к операциям симметрии. Однако, так как конкретные элементы симметрии и операции симметрии раздельно не определяются, то эти классификации, по существу, эквивалентны. Тем не менее, в такой терминологии существует некоторая неоднозначность. При обсуждении точечной симметрии элемент симметрии есть геометрический элемент, относительно которого выполняется операция симметрии. В абстрактной теории групп элементы группы являются операциями, определяющим группу. Итак, операции симметрии есть то же самое, что и элементы точечной группы. Однако, операции симметрии – это не то же самое, что и элементы симметрии.

Хлористый метил обладает тремя типами элементов симметрии; к нему можно применить шесть операций симметрии, связанных с этими элементами. Первая из них – это тождественная операция. Эта операция либо ничего не делает с системой, либо возвращает её в исходную конфигурацию:

(2.4)

Очевидно, что любая группа обладает единичным элементом независимо от того, включает ли она другие элементы или нет. Хотя включение тождественной операции во множество операций, описывающих систему, представляется тривиальным, тем не менее, это должно быть сделано для того, чтобы операции симметрии образовывали математическую группу.

По-видимому, наиболее явный элемент симметрии, которым обладает хлористый метил, - это ось вращения. Если молекулу повернуть на угол 120 или 240⁰ вокруг связи С – Cl, то получим конфигурацию, эквивалентную исходной:

	(2.5)
	(2.6)

Введём символы для обозначения таких поворотов. Если поворот на угол 2π/n приводит к исходной конфигурации, то он называется поворотом типа C_n. Поворот на угол, кратный некоторому элементарному углу (т. е. на угол m2π/n), обозначается символом . Если этот кратный поворот может быть выражен как поворот более низкого порядка, то используется предыдущее обозначение. Например, выражается как С₂, как С₃ и т. д. (в наше случае ) возвращает систему в её исходную конфигурацию, и, следовательно, эта операция эквивалентна тождественной. В формулах (2.5) и (2.6) поворот выполняется против часовой стрелки, если смотреть со стороны связи Сl – С вниз. Можно также принять, что повороты осуществляются по часовой стрелке. (Это соглашение используется многими авторами.) В математике принято, что повороты осуществляются против часовой стрелки, однако, с физической точки зрения оба соглашения одинаково допустимы. Как только правило выбрано, его следует строго придерживаться. Элемент С_n называется собственной осью поворота n-го порядка.

Третьим типом элементов симметрии, которым обладает хлористый метил, является плоскость симметрии. Существует три плоскости симметрии, каждая из которых определяется плоскостью

Н – С – Сl. Они обозначаются греческой буквой σ. В данном случае нижний индекс v обозначает вертикальную ось симметрии, содержащую ось поворота. (Ниже мы определим другие типы плоскостей симметрии, которые обозначаются символами σ_h и σ_d. Операции σ_v для хлористого метила таковы:

	(2.7)
	(2.8)
	(2.9)

Отметим, что все плоскости симметрии молекулы СН₃Сl пересекаются по оси С₃. Все элементы симметрии любого физического объекта пересекаются в некоторой точке. Вследствие этого такой тип симметрии обычно называется точечной симметрией и соответствующие группы симметрии – точечными группами.

Упражнение 2.2^*. Определить элементы симметрии следующих молекул:

а) дихлорметан

б) трёхфтористый бор

г) циклогексан (в форме кресла)