Геометрические характеристики плоских сечений
(продолжение)
Изменение моментов при параллельном переносе осей
При решении практических задач приходится определять моменты инерции сечений относительно различных осей. В связи с этим не обязательно определять моменты инерции в новых осях путем интегрирования. Можно использовать значения моментов инерции в других осях. Поэтому очень важно установить зависимости между моментами инерции одной и той же фигуры относительно осей «старой» и «новой» системы прямоугольных координат. Переход от любой старой к любой новой системе координат может рассматриваться как два вида последовательных преобразований старой системы координат.
1) Путем параллельного переноса ее в новое положение.
2) Путем поворота ее относительно нового начала координат.
Выясним, как изменяются моменты инерции при параллельном переносе осей. Пусть моменты инерции в старой системе координат известны. Возьмем новую систему координат , оси которой параллельны прежним осям.
Выразим координаты элемента площади в новой системе через координаты в старой системе.
Тогда согласно исходному определению моментов инерции (8) и (10) имеем:
,
,
но .
Тогда получаем: . (12)
Если старые оси и проходят через центр тяжести сечения (центральные оси), то , и тогда
(13)
На основании (13) делаем следующий вывод. Из всех параллельных друг другу осей осевой момент инерции имеет наименьшее значение относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения. То есть чем дальше ось от центра тяжести, тем больше осевой момент инерции. Таким образом, центральные оси обладают свойством оптимальности в смысле минимальности осевых моментов. Именно поэтому в поперечных сечениях брусьев вводятся центральные оси.
Если одна из старых осей координат совпадает еще и с осью симметрии сечения, то и тогда
. (14)
Рассмотрим примеры применения параллельного перехода.
Моменты инерции прямоугольника относительно осей вычислены путем непосредственного интегрирования (8), (10). Определим моменты инерции относительно осей симметрии . Для этого воспользуемся алгоритмом (13).
откуда выражаем:
Интегрированием ранее получен результат: .
Выразим на основании (13)
.
Также получим:
.
Если треугольник будет равнобедренным, то и ось становится центральной. В таком случае .
Изменение моментов инерции при повороте осей
Предполагаем известными моменты инерции данного сечения в системе координат . Далее возьмем другую систему координат , повернутую на угол относительно прежней. Запишем формулы преобразования координат при повороте осей:
(16)
Далее выражаем:
(17)
Учитывая, что , то можно записать:
(18)
Оказывается, что при повороте осей координат осевые моменты изменяются, но их сумма остается постоянной.
(19)
Главные моменты инерции.Главные оси инерции.
Формулы (18) показывают зависимость моментов инерции от угла поворота осей координат. Если, например, ось совершит полный оборот, то получим бесконечное множество осей, проходящих через одну точку. Следовательно, можно говорить о бесконечном множестве осевых моментов инерции. А в любом множестве имеются экстремальные элементы. То есть при некоторых значениях угла величины осевых моментов инерции будут достигать своих экстремальных значений (максимум и минимум). Экстремальные значения (или максимальные и минимальные) осевых моментов инерции сечения называются главными моментами инерции. Следовательно, оси, относительно которых осевые моменты инерции принимают максимальное и минимальное значения, называются главными осями инерции.
Из формулы (19) следует, что если относительно одной оси осевой момент инерции принимает максимальное значение, то относительно другой перпендикулярной оси, осевой момент инерции минимален.
Если начало координат лежит в центре тяжести сечения, то оси называются центральными осями. Центральных осей можно провести бесконечное множество. Из всего этого множества центральных осей можно выделить оси, относительно которых, осевые моменты принимают экстремальные значения. Такие оси называются главными центральными осями. Осевые моменты инерции относительно главных центральных осей называются главными центральными моментами инерции.
В целях определения главных моментов инерции (т.е. и ), а также положения главных осей инерции решаем задачу экстремума
. (20)
Приравнивая к нулю, получаем
, (21)
где - угол, на который нужно повернуть систему координат, чтобы она стала главной.
Из формулы (21) видно, что
(22)
Таким образом, относительно главных осей инерции центробежный момент инерции равен нулю. Взаимно перпендикулярные оси, из которых хотя бы одна совпадает с осью симметрии сечения, всегда являются главными осями инерции.
Разрешая уравнение (21) относительно угла получим:
. (23)
Угол положительный, когда главная ось повернута относительно исходной оси на угол против часовой стрелки.
Чтобы найти главные центральные моменты инерции нужно в первые две формулы (18) подставить :
(24)
– главные оси инерции.
Можно дать другое выражение для определения экстремальных значений осевых моментов инерции.
(25)
Если известны главные центральные моменты инерции, то моменты инерции относительно осей, повернутых на некоторый угол , выражаются:
(26)
Эллипс инерции
Введем понятие еще об одной геометрической характеристике сечения, связывающей осевой момент инерции с площадью
и (27)
Величины и называются радиусом инерции
; . (28)
Если и главные моменты инерции, то и - главные радиусы инерции.
Эллипс, построенный на главных радиусах инерции, как на полуосях, называется эллипсом инерции. Эллипс инерции имеет уравнение:
. (29)
С помощью эллипса инерции можно графически определить момент инерции относительно любой оси повернутой по отношению к главным осям, например .
Пример определения положения главных центральных осей и главных моментов инерции составного сечения.
Имеется брус составного сечения: швеллер №20 и уголок . Это стандартные прокатные профили и информацию об их геометрических характеристиках нужно брать из таблицы сортамента согласно тому или иному ГОСТу.
h = 20 cм
b =7.6 cм
A= 23,4cм2
b = 8 cм
t =0.8 cм
A= 12,3cм2
Вначале определяем положение центра тяжести сечения. Для этого вводится система координат , в которой проще всего установить координаты центров тяжести составных частей. При этом используется информация, взятая из таблицы сортамента.
Вводим центральные оси сечения и определяем относительно них моменты инерции сечения. Нужно выбирать исходные центральные оси так, чтобы они были параллельными центральным осям составных частей сечения (в нашем случае швеллер и уголок), относительно которых моменты инерции либо известны (как в данном случае), либо легко определяются. В этом случае используются формулы параллельного перехода (13) и, конечно, свойство аддитивности.
Но вначале определим расстояния между общими центральными осями и центральными осями составных частей. Это производится в системе координат . Причем нужно из координат общего центра тяжести вычитать координаты центров тяжести составных частей либо наоборот. Но нельзя смешивать эти два правила. Иначе может произойти потеря знака у расстояний и это отразится на центробежном моменте и последующих результатах.
Применяя (13) получаем:
В последнем соотношении вначале нужно было вычислить центробежный момент для уголка, который не задается в таблице сортамента. Нужно воспользоваться третьей формулой (26), полагая (на рисунке для уголка оси являются главными для него)
.
Далее устанавливаем положение главных центральных осей сечения, то есть угол, на который нужно повернуть оси , чтобы они заняли положение главных осей. Используя (23) получаем:
То есть исходные центральные оси нужно повернуть на по часовой стрелке, чтобы они заняли положение главных центральных осей. Для определения главных моментов инерции воспользуемся (25)
Откуда находим
.
Целесообразно произвести проверку:
;
2171,92+280,92 =2453,37;
2114,54+338,83=2452,84.
С учетом ошибок округления при вычислениях это практически совпадение.
Осталось ввести главные центральные оси рассматриваемого сечения, обозначив их, например, . Далее следует установить соответствие между введенными главными осями и вычисленными ранее главными моментами инерции ( ). Принцип достаточно простой. Поскольку , то главная ось максимального момента инерции будет располагаться около оси , и тогда
;
.
Вычисляем главные радиусы инерции сечения
И на главных осях строим в масштабе сечения эллипс инерции согласно уравнению (29).
В заключении к теме отметим некоторые важные моменты. В дальнейшем под геометрией поперечных сечений должны подразумеваться, во-первых, главные центральные оси и, во-вторых, помимо площади нужно определять моменты инерции относительно этих осей. Главные центральные оси это своего рода аналоги геометрическим осям симметрии сечений, если геометрическая симметрия отсутствует. Симметрия в смысле проявления прочностных и жесткостных свойств бруса при нагружении его внешними поперечными силами (т. е. изгибе).
Если брус имеет постоянное сечение с неизменной ориентацией по всей длине, то вводится понятие главных плоскостей бруса. Главная плоскость содержит продольную ось и одну из главных центральных осей всех поперечных сечений. Таким образом, у бруса постоянного сечения имеются две взаимно перпендикулярные главные плоскости (геометрическая плоскость симметрии автоматически главная).
Главные плоскости (как и плоскости симметрии) имеют важную особенность. При нагружении бруса внешними поперечными силами в главной плоскости происходит изгиб в той же плоскости (плоский изгиб). При изгибе в одной главной плоскости брус (балка) проявляет максимальные прочностные и жесткостные свойства, а при нагружении в другой главной плоскости, наоборот, самые минимальные прочностные и жесткостные свойства. Достаточно взять обычную ученическую линейку, чтобы убедиться в сказанном.
Эллипс инерции (если он построен) как раз указывает не только положение главных плоскостей бруса (как и положение главных центральных осей симметрии сечения), но и на то какая плоскость имеет наивысшую прочность и жесткость, и какая плоскость наиболее слабая у бруса данного поперечного сечения.
Лекция № 12
Плоское напряженное состояние.
При расчете или проверке на прочность базовым является так называемый критерий (условие) прочности. Но чтобы сформулировать этот критерий нужно разобраться в том, что происходит в точках нагруженного твердого тела.
Ранее мы выяснили, что в нагруженном объекте происходит взаимодействие всевозможных смежных объемов по границе их контакта. Границу мы ассоциируем с достаточно малой в размерах плоской площадкой. На таких площадках смежные (прилегающие) объемы находятся в силовом взаимодействии. Такое взаимодействие может быть охарактеризовано (описано) вектором полного напряжения в каждой точке и на всевозможных площадках. Причем если мы зафиксируем некоторую точку нагруженного тела, то при изменении ориентации площадки изменяется и вектор полного напряжения. Это значит, что в данной точке действует бесконечное число векторов полного напряжения. Кроме того, для фиксированной точки и фиксированной площадки вектор можно разложить на две составляющие и , то есть вводится понятие нормального и касательного напряжения на площадке.
Определение. Напряженным состоянием в точке называют совокупность напряжений (нормальных и касательных) действующих по всевозможным площадкам, проведенным в этой точке.
Методологически целесообразно различать и отдельно рассматривать несколько видов напряженного состояния. Вводится понятие трех взаимно перпендикулярных площадок в точке (фактически вводится база трехмерного пространства). Такие площадки удобнее всего представлять как грани бесконечно малого (элементарного) параллелепипеда. Каждую пару параллельных граней можно представлять как одну площадку с двумя сторонами.
Каждый вид напряженного состояния характеризуется определенной совокупностью напряжений, действующих на грани элементарного параллелепипеда (т. е. на трех взаимно перпендикулярных площадках), определенным образом сориентированного.
Наиболее простым видом является линейное (одноосное) наряженное состояние. Линейное напряженное состояние имеет место в растянутых или сжатых стержнях. Оно было подробно изучено ранее в разделе стержни. Если в окрестности некоторой точки выделить («вырезать») элементарный параллелепипед, две грани которого перпендикулярны линии действия приложенной силы, то напряжения будут действовать только на двух гранях, все остальные будут свободны от напряжений. То есть из трех взаимно перпендикулярных площадок в точке нагруженной будет только одна (она совпадает с поперечным сечением). Причем на ней действует только нормальное напряжение.
Плоское (двухосное) напряженное состояние характерно тем, что напряжения действуют уже на двух парах параллельных граней элементарного параллелепипеда. Примером объекта работающего в условиях плоского напряженного состояния может служить пластина, нагруженная силами в плоскости пластины. Кроме того, на гранях параллелепипеда действуют как нормальные, так и касательные напряжения.
Самый общий вид это объемное (трехосное) напряженное состояние. Оно характеризуется тем, что в точках нагруженного объекта напряжения действуют на всех трех взаимно перпендикулярных площадках при любой их ориентации.
Нам предстоит подробно изучить плоское напряженное состояние. Дело обстоит так. Пусть в точке выбраны три площадки, нормалями к которым служат оси координат . На одной из этих площадок (с нормалью ) напряжения отсутствуют. На двух других напряжения считаются известными. Требуется определить напряжения на любой наклонной площадке по отношению к площадкам с нормалями и (т. е. и ).
Определим напряжения на наклонной площадке.
Ввиду малости размеров площадок считаем, что напряжения на них распределены равномерно:
(1)
(2)
(3)
Из последнего уравнения (3) следует закон парности касательных напряжений
(4)
Касательные напряжения на двух взаимно-перпендикулярных площадках равны по величине и противоположены по знаку.
Два первых уравнения равновесия дают:
(5)
Учитывая что , (6)
и поделив оба уравнения на размер , получим:
или окончательно:
(7)
Эти формулы позволяют определить значения нормальных и касательных напряжений на любых площадках, проходящих через данную точку, если известны напряжения и .
Пусть , тогда учитывая что
, , ,
получаем
Из двух последних равенств следует что , а из двух первых имеем .
То есть если поворачивать две взаимно перпендикулярные площадки вокруг оси , то нормальные и касательные напряжения на них изменяются. Но при этом сумма нормальных напряжений на любых двух взаимно-перпендикулярных площадках остается постоянной и выполняется закон парности касательных напряжений.
ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ. ГЛАВНЫЕ ПЛОЩАДКИ
При реальных инженерных расчетах определить напряжения на всех площадках, проходящих через данную точку невозможно. В этом и нет необходимости. Из всего множества значений напряжений достаточно знать экстремальные (т.е. макс. и мин.) их значения.
Максимальные и минимальные нормальные напряжения называются главными напряжениями, а площадки, на которых они действуют, называются главными площадками.
Для определения главных напряжений решаем задачу экстремума для функции , приравнивая нулю производную по :
.
То есть
, (8)
где - угол наклона главной площадки по отношению к площадке, на которой действует напряжение .
Можно заметить что,
.
Следовательно, на главных площадках касательное напряжение равно нулю.
Далее из соотношения (8) выражаем
(9)
Это уравнение дает два значения угла .
Угол положительный, когда площадку, где действует надо повернуть на этот против часовой стрелки, чтобы она стала главной.
Теперь определяем главные напряжения в рассматриваемой точке. Для этого используем первую формулу (7):
(10)
Одно из этих напряжений максимальное, а другое минимальное в данной точке. Если требуется определить главные напряжения в точке, не устанавливая положение главных площадок, то можно использовать формулу
. (11)
Главные напряжения принято обозначать: ; .
Если совместить направление главных напряжений с направлением осей координат, то на основании (7) можно записать формулы, по которым можно вычислить напряжения на наклонных площадках по отношению к главным площадкам
(12)
Экстремальные касательные напряжения.
Согласно (7) при изменении положения площадок меняются как нормальное, так и касательное напряжения. Следовательно, правомерен вопрос об экстремальных касательных напряжениях в точке и положении площадок, на которых они действуют. Решаем задачу экстремума для функции :
,
или .
Откуда выражаем
. (13)
Отсчет угла такой же, как и для угла . Уравнение (13) также дает два решения для угла и . На одной из площадок действует , а на другой . Из закона парности следует, что
Сравнивая выражения для и , отмечаем что
.
Разрешая это тригонометрическое уравнение, получаем:
;
; или .
Полученный результат означает что площадки, на которых касательные напряжения экстремальны (площадки сдвига) повернуты по отношению к главным площадкам под углом . То есть, если известно положение главных площадок в точке, то известно и положение площадок сдвига.
Графический метод определения на наклонных площадках.
Вычисление и в зависимости от главных напряжений может быть проведено и графически.
На отрезке АВ как на диаметре строим круг с центром в точке С. Этот круг называется кругом напряжений. Для определения нормального напряжения и касательное напряжение по площадке, нормаль которого составляет с наибольшим главным напряжением , угол , надо построить в точке С центральный угол .
Тогда координаты точки D соответственно равны и .
из имеем
Лекция № 13
Объемное напряженное состояние
Наиболее общим типом напряженного состояния является объемное (или трехосное) напряженное состояние. Через данную точку нельзя провести ни одной площадки, напряжения на которой были бы ровны нулю в отличие от линейного и плоского напряженного состояния. Если в окрестности, какой - либо точки нагруженного тела взять элементарный параллелепипед, то на его гранях будут действовать девять компонентов напряжений. Если эти компоненты записать в таблицу, то получим так называемый тензор напряжений.
(1)
В случае объемного напряженного состояния также выполняется закон парности касательных напряжений.
(2)
Таким образом, тензор напряжений (1) имеет 6 независимых компонентов. Другими словами, напряженное состояние в какой-либо точке считается известными, если известны 6 компонентов напряжений, действующих на трех взаимно перпендикулярных площадках (т.е. известен тензор напряжений).
Главные площадки. Главные напряжения.
Напряжения на любой наклонной площадке с нормалью выражаются через напряжения и углы между нормалью и осями Среди множества наклонных площадок существуют такие на которых , а .Эти площадки называются главными, и нормальные напряжения на них – главными напряжениями.
Посмотрим как определяются главные напряжения через напряжения действующие на площадках с нормалями Предположим, что ориентация главной площадки нам известна. Тогда сечение параллельное главной площадки имеет нормаль и отсекает от граней элементарного параллелепипеда треугольные участки. Получим фигуру – «тетраэдр».
Обозначим:
(3)
Рассмотрим уравнение равновесия полученного тетраэдра, спроектировав все силы на каждой из осей. Сила, действующая на наклонной площадке равна , где – площадь наклонной площадки, учитывая (3) получим выражения для других площадей:
, ,
Силы, действующие на эти площадки, есть напряжения на площадь грани.
Сумма проекций на ось дает:
(5)
Получим систему уравнений относительно главных напряжений.
Т.к. , все они нулю одновременно равняться не могут. Чтобы существовало решение системы (5) необходимо равенство нулю определителем.
(6)
Раскрыв определитель, получим кубическое уравнение.
(7)
Три корня полученного уравнения дают три главных напряжения .
Коэффициенты – называются инвариантами напряженного состояния и имеют вид:
(8)
Условием о правилах обозначений главных напряжений.
Максимальные касательные напряжения.
В окрестности каждой точки существует три площадки на которых касательные напряжения принимают экстремальное значение (площадки сдвига).
Используем понятие плоского напряженного состояния, можно получить:
Т.к.
(10)
Определение напряжений на площадках наклоненных по отношению к главным площадкам. Пусть главные напряжения известны. Найти напряжение на площадке с нормалью .
Если площадь наклонной площадки равна , то площади других граней тетраэдра равны:
; ;
Спроектировав все силы, действующие на тетраэдр на нормаль , получим:
или:
(11)
Для определения сначала определим полное напряжение на наклонной площадке. Оно равно равнодействующей от напряжений
и
(12)