Правила дифференцирования
ТРЕБОВАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
1. Вариант задания совпадает с номером студента в списке группы (на все работы в течение года).
2. Выполненная РГР должны быть представлена до указанного срока.
ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
1. При выполнении контрольных расчетно-графических работ необходимо строго придерживаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил не зачитываются и возвращаются для переработки.
2. Работа должна быть выполнена в тетради для расчетно-графических работ (в клетку, 48 листов, одна на весь курс) чернилами любого цвета, кроме красного.
3. На обложке тетради должно быть ясно написано: «Тетрадь для расчетно-графических работ по элементам высшей математики, фамилия, имя студента, номер группы, номер варианта».
Каждая расчетно-графическая работа начинается с ее названия.
5. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по положенному варианту. В конце работы следует поставить дату ее выполнения.
5. Решения задач следует располагать в порядке номеров, указанных в задании, сохраняя номера задач.
6. Перед решением каждой задачи надо полностью написать ее условие. В том случае, если несколько задач, из которых студент выбирает задачу своего варианта, имеют общую формулировку, следует, переписывая условия задачи, заменить общие данные конкретными, взятыми из соответствующего номера.
7. Решения задач и пояснения к ним следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения, все вычисления должны быть, оформлены в тетради, при необходимости делаются четкие и соразмерные чертежи карандашом линейкой.
Расчетно-графическая работа по теме:
«Производная и ее приложения»
Методические указания
При вычислении производных целесообразно воспользоваться основными правилами дифференцирования суммы, разности, произведения и частного функций, а также правилом дифференцирования сложной функции.
Правила дифференцирования
1. Производная постоянной равна 0. С’ = 0
2. Производная аргумента равна 1. x’ = 1
3. Если функции u(x) и v(x) имеют производные во всех точках интервала Х, то
(u ± v)’ = u’ ± v’ для " х Î D
4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго.
(uv)’ = u’v + uv’
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
(Сu)’ = Cu’
5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле, если v(x) ¹ 0.
6. Если y = f(u) и u = j (x) – дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции равна производной функции по промежуточному аргументу u умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной.
y’ = f’(u) × u’
Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько.
Знание правил дифференцирования и таблицы производных позволит выполнить задания 1-4.
Таблица производных основных элементарных функций
1. с¢ = 0. 2. х¢ = 1. 3. (х n) ¢ = n x n-1. 4.  . 5.  . 6. (a x) ¢ = a x ln a. 7.  . 8. (ln x) ¢ =  9. (lg x) ¢ =  . | 10. (e x ) ¢ = e x. 11. (sin x) ¢ = cos x. 12. (cos x) ¢ = – sin x. 13. (tg x) ¢ =  . 14. (ctg x) ¢ =  . 15. (arcsin x) ¢ =  . 16. (arccos x) ¢ = –  . 17. (arctg x) ¢ =  . 18. (arcctg x) ¢ =  . |
Для выполнения задания 5необходимо воспользоваться правилом нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
Правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на [a, b]:
1) найти критические точки (точки в которых производная функции равна нулю или не существует) функции на интервале (a, b);
2) вычислить значения функции в критических точках;
3) вычислить значения функции на концах отрезка;
4) среди вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее значение.
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х3 – 12х на отрезке [– 3, 4].
- Решение: Найдем критические точки функции на промежутке (–3; 4).
1) Вычислим производную функции у ¢= 3х2 – 6 = 3(х2 – 4);
Приравняем ее к нулю у ¢= 3(х2 – 2) = 0, следовательно
х1 = 2 и х2 = –2 Î[– 3, 4] - критические точки функции.
2) Вычислим значение функции в критических точках f (– 2) = 16, f (2) = – 16.
3) Вычислим значение функции на концах отрезка f (– 3) = 9, , f (4) = 16;
4) Выберем из полученных в пунктах 2 и 3 наибольшее и наименьшее значения
fнаим (2) = – 16, fнаиб (– 2) = 16, fнаиб (4) = 16. ►
Для выполнения заданий 6 необходимо воспользоваться схемой исследования функции и основными приложениями производной (см. лекцию №12)