Операторы дифференцирования и передаточные функции. Преобразования Лапласа

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами удобно записывать в символической операторной форме

, (3-10)

где символ назван оператором дифференцирования,

n-ая производная от будет .

Дифференциальные уравнения высокого порядка, имеющие производные в левой и правой части, в операторной форме примет вид

, (3-11)

где ,

.

Многочлен называют собственным оператором объекта (элемента), а многочлен -входным оператором. Собственный оператор характеризует собственное движение описываемого объекта (элемента), то есть движения при отсутствии внешних воздействий. Входной опрератор характеризует воздействие, приложенное к объекту (элементу). Отношение входного оператора к собственному оператору называют передаточной функцией объекта (элемента АСР), описываемого линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.

,

тогда решение уравнения (3-11) может быть найдено в виде алгебраического уравнения

(3-12)

Идею перехода к алгебраическому методу решения дифференциальных уравнений дал английский физик Хэвисайд, который и ввел символ .

Однако при решении ряда задач с не нулевыми начальными условиями использование оператора дифференцирования не давали адекватного ответа.

Строгое математическое обоснование такого перехода дал Пьер Симон Лаплас и этот метод получил название операционного исчисления или метод преобразований Лапласа, согласно которому решение дифференциальных уравнений переводится из плоскости оригиналов (плоскости действий переменной t) в плоскость изображений (переменной S). Выполняя действия над изображением оригинала получают изображение ответа. А затем по изображению ответа ищут его оригинал.

Допустим имеем функцию , предположим, что эта функция удовлетворяет условиям Дерихле, существо которых:

а) непрерывность функции и ее производных, это значит в исследуемом интервале функция не имеет разрыва,

б) функция абсолютно интегрируема, т.е. интеграл функции от 0 до ∞ есть конечное число

Возьмем интеграл от функции

, где комплексная переменная,

тогда интеграл уже не будет функцией от , но станет функцией от S.

Обозначим

Этот интеграл назван изображением функции по Лапласу, а то действие, которое отражает этот интеграл, называется прямое преобразование Лапласа. Принято записывать прямое преобразование по Лапласу как , которое называют так же L-преобразованием.

Для большого количества функций изображения найдены.

Например, изображение постоянной величины: .

будет , если в действительной плоскости , то в плоскости изображений 1 становится величиной .

Изображение производной : ; .

Американский математик Карсон предложил ввести преобразования вида , то есть практически изменил масштаб величины. Законы, установленные Лапласом, остаются, но при этом остается 1, а число числом .

Запишем исходное уравнение

(3-13)

в изображениях по Лапласу, умножив обе части уравнения на , получим

(3-14)

Проинтегрируем уравнение (3-14) в области от 0 до ∞

(3-15)

Пусть имеем нулевые начальные условия, то есть ; , тогда в изображениях по Лапласу уравнение (3-15) примет вид

(3-16)

или (3-17)

Последнее означает, что решение дифференциального уравнения в действительной плоскости –плоскости действительной переменной перевели в плоскость изображения- плоскость комплексной переменной , и решают это уравнение как алгебраическое.

Далее по найденному изображению ответа находят его оригинал.

Для нахождения оригинала ответа надо воспользоваться обратным изображением Лапласа

,

для этого существует таблица функций обратных переходов.

Преобразуем дифференциальное уравнение, описывающее движение системы (3-11), по Лапласу, предположив нулевые начальные условия при его решении, введем обозначения:

и ,

где и - изображения функции оригинала и

получают

, (3-18)

здесь ,

При нулевых начальных условиях .

Используя обозначение , решение уравнения (3-18) примет вид

Это уравнение связывает изображения выходной координаты системы с изображением -входного воздействия.

Функция - характеризует динамические свойства системы и называется передаточной функцией . Она представляет собой отношение изображения по Лапласу выходной координаты системы к изображению по Лапласу входного воздействия при нулевых начальных условиях. Подобное определение функции не находится в противоречии с ранее данным определением передаточной функции , т.к. для решения системы дифференциальных уравнений при нулевых начальных условиях комплексная переменная отождествлена с оператором дифференцирования .

Таким образом, зная передаточную функцию системы и определив изображение воздействия , приложенного к системе, можно найти изображение выходной координаты системы y(t), а затем, переходя от изображения y(s) к оригиналу , получить процесс изменения выходной координаты при наличии входного воздействия.

Имея передаточную функцию нетрудно определить амплитудно-фазовую характеристику этой системы, заменив на

,

где: -частота нанесения входного воздействия и при установившемся колебательном движении системы – частота изменения ее выходной координаты.